如图,从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度? 可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此,四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°. 类似地,你能知道五边形、六边形…n边形的内角和是多少度吗? 观察下面的图形,填空: 五边形 六边形 从五边形一个顶点出发可以引 条对角线,它们将五边形分成 个三角形,五边形的内角和等于 ; 从六边形一个顶点出发可以引 条对角线,它们将六边形分成 个三角形,六边形的内角和等于 ; 从n边形一个顶点出发,可以引 条对角线,它们将n边形分成 个三角形,n边形的内角和等于 . n边形的内角和等于(n-2)·180° 从上面的讨论我们知道,求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求.现在以五边形为例,你还有其它的分法吗? 分法一:如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形. ∴五边形的内角和为5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°. 图1 图2 分法二: 如图2,在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形. ∴五边形的内角和为(5-1)×180°-180°=(5-2)×180°=540°. 如果把五边形换成n边形,用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)×180°. 3.例题 例1 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系? 如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,求∠B与∠D的关系. 分析:∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系? 解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360° 又∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C)=180° 这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补. 例2 如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少? 如图,已知∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值. 分析:多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系?六边形的内角和是多少度? 解:∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BCD=180° ∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180° ∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA =6×180° 又∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=(6-2)×180°=4×180° ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°=360° 这就是说,六边形形的外角和为360°. 如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果: n边形的外角和等于360°. 对此,我们也可以这样来理解.如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°. 4.课堂练习 课本24页练习1、2、3题. 5.课堂小结 n边形的内角和是多少度? n边形的外角和是多少度? 6.布置作业: 教科书习题11.3第1,3,5,7,10题. 五、目标检测设计 1.十边形的内角和为( ). A.1 260° B.1 440° C.1 620° D.1 800° 【设计意图】考查学生对多边形内角和公式掌握程度,要特别注意对公式的理解记忆. 2.一个多边形每个外角都是60°,这个多边形是__________边形,它的内角和是_______度,外角和是__________度. 【设计意图】考查学生能否灵活运用多边形的内角和与外角和公式,要注意审题. 3.一个多边形的内角和等于1 440°,则它的边数为__________. 【设计意图】本题是告诉内角和求边数,主要考查多边形内角和公式的整体运用. 4. 如图,在四边形ABCD中,∠1,∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角,且∠B+∠ADC=140°,则∠1+∠2等于( ). A.140° B.40° C.260° D.不能确定 【设计意图】考查四边形的内角和与邻补角问题,解题时需要综合考虑,或许有更好的方法. |