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帮助学生积累基本数学活动经验──以“统计与概率”教学为例 启东市教育局教研室 蔡宏圣 数学基本活动经验，大致可分为数学实践经验与数学思维经验。就“统计与概率”领域的教学而言，我们要重视以下几个方面的问题。 一、数学实践层面上，要帮助学生积累数据分析的经验 在《不列颠百科全书》中，“统计学”是这样定义的：统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。这深刻地表明，运用统计和概率的知识解决问题，并不着眼分析问题内在的数量间关系，而是从分析与问题有关的数据特点入手。值得注意的是，这里的特点跟数据所表达的实际意义也没有任何关系，就是数据本身呈现的特点，例如，大批数据集中于那个值，那个数据出现的次数最多，最大数据和最小数据间的差距有多大，某个数据出现的可能性是多少等等。也就是说，统计与概率研究的是数据本身，即使也有计算和推理，也是为了更好地说明数据出现的特点，而不是为了探求数量变化的结果。可见，统计学的核心是数据分析。 应该说，“统计观念”和“数据分析观念”这两个词并没有本质的区别，但用“数据分析观念”更加突出了统计的核心就是数据分析，让人一目了然。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新标准”）对数据分析观念是这样表述的：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。”基于这些要求，我们在教学中可以着力帮助学生积累如下经验： 1.让学生面对真实的统计问题，体会数据是有用的。 数据分析观念，首要的是引导学生想到用数据、愿意亲近数据，初步培养通过数据来分析问题的习惯。这些课程目标的实现，要求统计教学不能只关注纯粹的统计技能、技巧，而要让学生有机会独立面对问题，尝试收集数据去解决问题。这样做，不仅可以加深学生对所学统计知识特点的理解，领悟新的统计知识的作用和使用情境，更重要的是培养学生运用数据说明问题、分析问题的主动性和敏锐性，而后者恰恰是数据分析观念的精髓。 要让学生充分体会学习新的统计知识的必要性，教师在使用教材时应善于将静态的教材文本转变为动态的过程。教材由于文本的限制，不可能将学生收集数据、整理数据的动态过程真实地呈现出来，只能传递让学生充分经历数据收集、整理、分析全过程的教学意图。对数据价值的感悟，只能在运用数据解决问题的全过程中来体会，没有这样的过程，也就不可能有经验的积累。 2. 让学生有机会体会数据的随机性。 “数据”常常会让人误以为必须是数的形式。对此，史宁中教授说，“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据”。而数据的随机，一方面指数据的得到每次都不可预见，毫无规律可言；另一方面，数据多了，分类汇总，分析归纳，又总能找到某些规律。这看似矛盾的两个方面，要组织专门的活动让学生来体会。比如，同学们的上学时间，每天都不相同，今天的上学时间和明天的上学时间之间也没有任何关系。但只要把一段时期内学生的上学时间汇总，就能发现诸多规律，例如最早上学往往比最迟上学的同学早多少时间，90%以上的学生在哪个时间段里上学，低年级学生和高年级学生间上学时间有无区别，等等。很显然，体会数据随机性的过程也就是学生感受统计意义的过程。 3.让学生有机会去体验和比较收集、整理数据的各种方法。 根据问题的不同，数据的收集及整理方法可以有多种，而且方法间没有对错之说。要积累数据分析的经验，就要对各种方法都有所体验。新标准在第一学段提出“了解调查、测量等收集数据的简单方法”；在第二学段提出“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”，“能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”等要求，为此，教师应该有意识地设计不同的统计问题，引导学生经历运用调查、实验、测量、查阅资料等方法收集数据的过程，体会各种方法运用的注意点，把握数据收集的原则。 数据的整理与表达，要允许学生经历个性化表达的过程，不急着用规范的统计图表去禁锢学生的思维，新标准在第一学段提出“并能用自己的方式（文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果”，就是这样的意图。各种呈现方式的特点，要让学生在充分的比较与交流中感悟，这些经历有利于学生体会到要依据解决问题的需要，选择和运用合适的方式来呈现数据整理的结果。 4.积累数据的研读经验，不断提高读图（表）的能力。 从统计图表中尽可能地捕捉有用信息，进而做出某些预测，这是统计素养高低的重要体现。有学者把学生对统计图的认识分为三个水平：（1）数据本身的读取，包括用能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的答案；(2) 数据之间的读取，这包括做比较 (例如比较好、最好，最高、最小等) 和对数据进行操作 (例如加减乘除) ；(3) 超越数据本身的读取，包括通过数据来进行推断预测推理，并回答具体的问题。 这三个水平非常清楚地明示了，教学中引导学生积累数据研读经验的三个层次。比如，研读某同学的身高折线统计图，第一层次：根据统计图直接回答什么年龄身高多少；第二层次，可以引导学生思考数据之间的关系，比如，哪两年间身高长得最快？第三层次，据此推测，14岁时身高可能是多少？ 对于利用已有数据进行预测，要注意引导学生积累这些经验：其一，要紧紧基于已有数据提出想法，而不是胡乱瞎猜，比如“想成为篮球明星，14岁时身高会是200厘米”就是脱离了已有数据的主观想法。其二，可以收集更多的数据，综合考虑来更合理地预测。比如，可以再收集14岁孩子的平均身高，或者多个孩子12岁到 14岁身高的变化情况来帮助自己预测。只要有利于更合理地预测，可以鼓励学生用多种方法，从多个角度作出自己的判断。 二、数学思维层面上，要感悟不确定数学的思维方式 从数学的学术形态来说，统计的教学内容是“不确定性数学”，而传统的教学内容是“确定性数学”，两者之间有较大的区别。学习确定性数学，往往是在定义和假设的基础上，按照约定的规则进行严格的计算或推理，以探求数量或图形是怎样变化的，变化的结果怎样。而统计研究的是随机问题，事情发生的结果不可能遵循什么规则，完全是不可预见的、没有规律的。统计的价值就在于从看似杂乱无序的数据中，经过分类整理和分析，发现其中蕴藏的特点，以作出理性的判断与推理。因此，运用统计方法解决实际问题就呈现完全不同的特点，而且这些特点体现在统计活动的始终，并不仅仅体现在数据的分析阶段。所以，感悟不确定数学的思维方式并不是玄乎的一个口号，而应该通过扎扎实实地引导学生充分体验统计活动各阶段特点来落实，让学生大致感受统计活动各阶段的关键，体现出良好的统计素养。具体地说，要让学生领悟到： 1.数据收集的真实和随机。 用统计的方法解决问题，基本思路往往是根据所关心的问题收集数据，通过对数据的分析和判断，得到必要的信息去解释和作出决策。也就是说，用统计解决某个问题，并不直接研究这个具体问题的本身，而借助与这个问题相关数据的整理与分析完成的。无疑，没有数据，也就无从作统计分析和决策。对于一次有效的统计活动来说，面临的首要问题是如何获取“好”的数据？所谓“好”数据，一要真实，能客观地反映实际情况。与此同时，由于世界的多样和复杂，在很多统计活动中，人们不可能收集所有客观的数据，只能抽取部分数据作为数据总体的代表，通过研究抽取的部分数据的分布特点来推测数据总体可能出现的特点。因而，“好”数据不仅要真实，还应该是随机的。要获取“好”数据，自然要用“好”方法。考察方法的合理性看两点，一看能不能获取“好”数据，二看是不是简单。毫无疑问的是，对于要收集数据的实际问题了解得越多，越有利于选择合适的方法。例如，希望收集学生的身高数据，因为懂得不同年龄间的身高有显著差别，那便应该根据年龄分类收集数据，虽然比较麻烦，但能保证数据的真实性；而如果要知道学生喜欢吃的水果，这跟学生间的年龄差别没有多大联系，那就可以随机调查收集数据，不必分类了。如果几种方法都能获取真实和随机的数据，那就考察哪个方法更简单，越简单越能节省统计成本，也就越受欢迎。 2.呈现方式的简洁和合理。 在整理和描述数据的活动中，要把握的是如何以简洁而又合理的形式将数据整理的结果向他人表达清楚。简洁，即表达形式要简单、直观。表达统计结果的形式越简单、越直观，接纳统计结果的人就越多。对于一组数据，往往可以用多种统计图表和统计量来表示数据整理的结果，很难分出对错，只有哪个更合理。所谓合理，就是所用的统计形式能更客观地反映数据所指的具体事情的实际情况。例如，某公司员工的收入情况，如果收入比较均衡，那用平均数好一些；如果收入差距比较大，数据分布比较离散，那用中位数更好一些。 3.数据分析的归纳推理和结论开放。 学生在学习其他数学知识时，都是在某个演绎系统中按照定义和规则思考、解决问题，得到的结果是确定、无疑义的。但在统计活动中，对数据特点的分析和解释就完全不同了。不同之一，统计学习中，数据特点的揭示往往用归纳推理。不可能用演绎的方法对随机事件发生的结果作出确切的预测，实际上如果能用演绎的方法得出结果，那也就不能称之为随机事件了。在投掷硬币的活动中，落下的结果是不确定的，但经过一定次数的实验后，落下的情况分类一汇总，可以归纳出一定的结论来。虽然，有限的归纳不能得到确定的结果，但并不妨碍人类使用这大致的结果。例如，两种同样的产品，甲厂的次品率是千分之一，乙厂的次品率是十分之一。买东西时买到的商品质量在事前是不可预测的，因而就有可能买甲厂的产品正好买到次品，而买乙厂产品却买到了正品，即使如此，人们恐怕还是更愿意买甲厂的产品。又例如，明日降水概率是86％，这意味着在100次类似于明天的天气条件下，历史记录表明有八十多天是下雨的，“带雨具出门”和“不带雨具出门”，前者显然是更理性的选择。这些都说明，归纳推理同样是分析问题、发现规律、理性决策的好方法。不同之二，对数据的解释和分析没有唯一的标准答案。例如，甲、乙，丙三位学生参加航模比赛的三次成 | 
发表于 2014-5-3 21:22:08
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