新人教版八年级数学《16.1 二次根式》教材内容解析与重难点突破

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《16.1 二次根式（第1课时）》教材内容解析与重难点突破
湖北省通山县教育局教研室　袁观六
一、教材分析



本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.



教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.



本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；教学难点是：理解二次根式的双重非负性.



二、重难点分析



（一）了解二次根式的概念



突破建议



让学生经历二次根式概念抽象的过程.



二次根式概念的获得，要让学生经历其抽象的过程，借此培养学生的抽象概括能力，加深学生对二次根式概念的理解.教学时，要充分利用教材的“思考”栏目，从生活中的实际问题引入，以激发学生的学习兴趣．可参考如下过程设计：



问题1  你能用带有根号的的式子填空吗？



（1）面积为3的正方形的边长为       ，面积为的正方形的边长为       .



（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．



（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t为 _____．

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让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．

问题2  上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.

问题3  你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？

让学生体会由特殊到一般的过程，由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

教师追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？

引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．

（二）理解二次根式的双重非负性

突破建议

在辨析中理解二次根式的双重非负性

二次根式的双重非负性，要让学生在辨析中加以理解．教学时，可参考如下问题设计：

问题1  当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？

在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．

问题2  你能比较与0的大小吗？

通过与0的大小的比较，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身非负数的理解．

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《16.1 二次根式（第2课时）》教材内容解析与重难点突破



湖北省通山县教育局教研室　袁观六

一、教材分析

二次根式的性质是二次根式化简和运算的基础，应让学生熟练掌握和灵活运用.

对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过 “探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．

本节课的教学重点是：理解二次根式的性质；教学难点是：二次根式性质的灵活运用.

二、 重难点分析

（一）理解二次根式的性质

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在探究的过程中得出二次根式的性质

对于二次根式的性质，重在让学生理解，而不是把结论直接告诉学生，让学生去机械记忆.因此，在教学过程中，要充分利用教材的“探究”栏目，让学生经历二次根式性质的探究过程，引导学生由具体到抽象，得出一般性结论，并发现开方运算与平方运算的关系.培养学生由特殊到一般的思维方式，提高归纳、总结的能力.教学时，可参考如下的问题设计：

问题1  你能解释下列式子的含义吗？

，，，.

让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.

问题2  根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.

； ；； .

学生独立完成填空后，重在让学生展示其思维过程，看学生是怎样得出结论的.由于，，学生很容易得出，.对于、，学生理解起来有一定得到困难，需要教师的引导：根据算术平方根的意义，可设()，则，把代入，可得，同理可得.

问题3  从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？

引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）.

对于（≥0）这个性质，可以类似设计如下三个问题：

问题1  你能解释下列式子的含义吗？

，，，.

问题2  填空：

=，=，=，=.

问题3  从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？

引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）

问题4  谈一谈你对与的认识.

引导学生从式子的读法、意义、被开方数的取值范围、运算结果等方面加以辨别.

（二）二次根式性质的灵活运用

突破建议

精心设计习题灵活运用二次根式的性质

二次根式性质的灵活运用，关键在于精心设计好每一道习题.让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.可参考如下的习题设计：

1.填一填：

(1)；(2)；(3)；(4).

说明：设计最基础的练习，学生根据二次根式的性质，能直接得出答案.

2.算一算：

（1）；（2）；（3）；（4）.

说明：设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.

3.想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？

说明：通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.