新版新课标人教版八年级数学下册《17．1 勾股定理》重难点突破（第1课时

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2011版 《17．1 勾股定理》重难点突破（第1课时）
湖北省赤壁市教研室　来小静
1．发现直角三角形三边之间的关系



突破建议



1．教科书首先让学生探索发现解直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方，然后证明上述关系成立，最后让学生运用勾股定理解决问题．学生直接发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，有一定的难度，因此，教学时，先让学生发现以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积之间的关系．从等腰直角三角形入手，容易发现数量关系．



2．结合毕达哥拉斯的传说故事，可以提高学生学习的兴趣，另外，其中的图案对学生发现规律也有一定的提示作用．教学时，要引导学生先观察地砖中等腰直角三角形与周边直角三角形、正方形的关系，两看看等腰直角三角形三边所在的正方形的面积之间的关系，然后得出猜想．



3．让学生探究几个一般的直角三角形，这几个直角三角形是在正方形网格背景下的，看看是否有相同的数量关系．在这个“探究”栏目中，关键是计算以斜边为边长的正方形的面积．图中以斜边为边长的两个正方形的面积可以如下求出：

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也可以由四个直角三角形的面积加上一个小正方形的面积求出：

   

2．勾股定理的探究与证明

突破建议

1．在地板图案中，由于等腰直角三角形都是全等的，利用面积相等的思路比较容易观察出等腰直角三角形两直角边的平方和等于以斜边的平方．要注意引导学生观察、猜想，得出结论．

2． 在一般情况下直角三角形还有上述关系吗？为在得到结论。需要在网格背景下，进行实验操作，利用割补法，也能探索发现，比较特殊（主要是网格背景下直角三角形边长取整数）的直角三角形的三边之间也有相同的数量关系．从而说明猜想的正确性．

3．实验方法得到的结论是否可靠，需要理论证明．勾股定理的证明方法很多，教科书介绍的是我国古代数学家赵爽的证法，这是一种面积证法．在前面正方形网格中比较容易发现等腰直角三角形及一般直角三角形的三边关系．由于以前没有系统地讲过面积理论，学生对面积证法的推理根据会感觉不太明确．教学时，先要说明赵爽的证明思路：两直角边所在的正方形的面积之和等于斜边所在的正方形的面积．所以，要先作一个直角三角形，再将两直角边所在的正方形面积拼在一起，图形在经过适当的切割后再另拼接后，新图形的面积与原图形的面积是相等的．由赵爽弦图可知，以斜边为边长的正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．由此考虑以直角边为边长的两个正方形连在一起的图形是否也由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．教科书中图17．1-6展示了图形切割拼接的过程，从而由图形的面积关系得到了勾股定理的证明．