（1） d＞ R＋ r![]() 两圆外离； （2） d= R＋ r![]() 两圆外切； （3） R－ r＜ d＜ R＋ r（ R≥ r） ![]() 两圆相交； （4） d= R－ r（ R＞ r） ![]() 两圆内切； （5）0≤ d＜ R－ r（ R＞ r） ![]() 两圆内含。 环节四 辨析 教师：请大家思考如下问题： （1）为什么“外离”、“外切”对半径没有限制条件，而“相交”、“内切”、“内含”对半径有限制条件？ （2）在“内切”和“内含”中，R＞r指的是什么？ （3）为什么“相交”有R=r的条件？而“内切”、“内含”没有？ （4）“内含”时为什么要添上d≥0？d=0是什么含义？ 学生的回答比较混乱，道理说不清楚。由此可以看出，学生并没有掌握用两圆的半径、圆心距刻画两圆位置关系的方法。 环节五 练习巩固 例1 已知⊙ O1，⊙ O2的半径为 ![]() ， ![]() ，圆心距 ![]() ， ![]() =2。 （1）如果⊙ O1与⊙ O2外切，求 ![]() ； （2）如果 ![]() =7，那么⊙ O1与⊙ O2有怎样的位置关系？ （3）如果 ![]() =4，⊙ O1与⊙ O2又有怎样的位置关系？ 这是一道课本例题。教师采取让学生先动手解决，再让学生说答案的方式进行教学。因为可以套用前面的结论，所以比较顺利地完成本例的教学。但笔者发现，也有学生采用作图的方法，由此可以判断，这部分学生并没有掌握量化的方法。 例2根据条件填写下表： 这是教师补充的题目。仍然采用学生先做、再全班交流的方式进行教学。笔者观察学生的解答，发现很多学生出现不全面的回答，全班交流时也一样： 学生6：内切时R=10，因为10－7=3。 教师：“对吗？” 很多学生回答“对”。 学生7：我觉得还有一种情况，R=4，因为7－4=3。 教师：大家同意吗？为什么会出现两种情况呢？ 学生7：R可能比7大，也可能比7小。 教师：对！我再问一个问题：如果r=2，d=3，R应该是多少呢？ 学生8：只能为5。因为5与2的差是3，而2比3小，不可能是两圆中大的圆。 教师：很好！能否结合图形来说明呢？ 学生8：画一条长为3的线段。以一个端点为圆心，2为半径画圆，另一个端点在圆外。所以，半径为2的圆不可能在另一个圆的外部，也就不可能是大圆。 教师：对！利用数量关系判断时，如果再结合图形来思考，理解会更加深刻。数形结合是一种重要的数学思想。 环节六 课堂小结 教师：今天我们学习了两圆的位置关系。请同学生思考一下，通过学习，你有哪些收获？ 除列出知识点，学生还给出了一些宏观的回答，如：要注意应用数形结合的思想，要注意分类讨论，要注意联系实际等等。 教师：同学们说得都很好。回顾本课的学习过程，我们先从实际中发现两圆的各种位置关系；然后通过动手操作，对两圆的各种位置关系有了感性认识；通过理性思考，发现了两圆的位置关系取决于它们公共点的个数；从我们的课件演示中可以感受到，变化的过程中两圆半径和圆心距的变化；在此基础上我们得到了用圆心距、两圆半径的大小刻画两圆各种位置关系的方法。正如同学们说到的，解决问题时，要注意运用数形结合、分类讨论的数学思想。 环节七 布置作业 略。 二、问题分析 应当说，从一般的教育、心理的观点看，任课教师的表现是可以的。她有很强烈的实践课改新理念的愿望，课堂教学环节非常完整，注意数学与现实生活的联系，想方设法引发学生的兴趣，注重发挥学生的学习积极性，安排学生动手操作、观察、小组合作、师生交流互动等多种学习方式，不把自己的意志强加给学生，总是想法通过问题启发学生思考，恰时恰点地使用了信息技术，教学语言也比较简练，板书也做到了重点突出、线索清晰，为课堂总结打下了较好的基础。 但是，如果从“构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”的角度看，本课还有很大的改进余地。面对一个新的研究对象，如何发现和提出值得研究的问题，从哪些角度提出问题，按照怎样的线索、用什么方法研究问题等等，这些因素在本堂课中体现得不够。下面我们来具体讨论几个问题。 1．本课的教学起点在哪里 关于课堂的起点，时下流行的是“情景引入”，往往展示一些现实情景，并要求学生举出生活实例，然后从中抽象出研究的对象。本课也不例外。这样的做法，许多时候是可行的，但并不全面。对“从现实引入”的更全面认识，应从数学知识的发生发展过程需要来考虑，这个“现实”既可以是“生活的现实”，也可以是“数学的现实”。这里，“数学的现实”是在数学知识发展过程中自然而然地提出的问题。随着数学学习的不断深入，学习内容的抽象程度不断提高，更应强调从数学知识发展的逻辑必然性中提出问题。 就本课而言，学生从小学就开始接触圆，对它的感性认识非常丰富；前面已经研究了圆的许多性质，对它的理性认识也达到一定水平。特别是，学生已经学过“点与圆的位置关系”、“直线与圆的位置关系”。“圆与圆的位置关系”与它们是“同质”的，而且这三种位置关系的刻画方法完全是一脉相承的，只是复杂程度更高而已。因此，本课的起点，不应是“现实生活中圆与圆的位置关系”，而应是“数学的现实”。具体的，可从如下问题开始： 问题一：前面我们研究过“点与圆的位置关系”、“直线与圆的位置关系”。在与圆相关的“位置关系”上，你认为还可以研究什么？ 问题二：都是研究“与圆相关的位置关系”，所以在研究的过程和方法上，必然有可借鉴的地方。你能回忆一下我们是如何研究前两种位置关系的吗？ 问题三：你认为我们可以怎样研究圆与圆的位置关系？ 2．本课的重点是什么 前已述及，平面几何的学科特点决定了它的学习重点应是几何直观和逻辑推理。显然，“几何直观”就需要充分发挥图形的直观功能，逐步使学生学会“看图思考”、“看图说话”，能从图形中看出门道——几何位置关系；而逻辑推理则必须讲究逻辑的起点、过程和结果（前因后果），以及推理的方法和概念的逻辑关系，使学生学会按逻辑关系“有序思考”。 如何才能实现这样的目的呢？这就要靠平时注重平面几何的“基本套路”的教学。本质上看，就是数学地认识问题、解决问题的方法的教学。 就本课而言，大思路上，前面两种位置关系的研究已经奠定了可以一以贯之的思想方法，即： （1）从定性到定量的过程； （2）定性研究中，发挥图形的直观功能，可以容易地得到位置关系的定性描述； （3）定量研究中，与确定圆的几何要素（圆心、半径）相联系，借助半径与“距离”（点到圆心的距离、直线到圆心的距离）的大小比较，获得定量刻画。 因此，研究两个圆的位置关系，可以引导学生按照如下思路展开： 定性刻画 先类比点与圆、直线与圆的位置关系的研究方法，借助图形直观，确定圆与圆的相离、外切、相交、内切、内含等五种关系。具体教学时，可以采用前面课例中老师给出的课件。要注意，两种直观方法，一种是“圆心的运动”，另一种是“半径的增加”，其中也有“本质的追究”和“有序的变化”的讲究，由此得到的判定方法都是看“公共点的个数”。不过，0个、1个时都要进一步区分两种情况。 定量刻画 再通过问题“在定量刻画点与圆、直线与圆的位置关系时，我们用了怎样的数量关系？”“你能总结一下其中的思想方法吗？”，引导学生回顾定量刻画点与圆、直线与圆的位置关系的思想方法，让学生在“与圆心和半径相联系，借助半径与‘距离’的大小比较进行定量刻画”的思想指导下，结合定性刻画的过程，确定“距离”是“圆心距”，“半径”是“两圆半径的和或差”，把“定性刻画”转化为“数量表示”，从而得到相应的定量刻画表达式。这里，每一种数量关系（不等式）都对应了唯一的位置关系，因此定量刻画是更精细、更准确的。 反观前面的课例，在环节二中，教师提出的问题“决定不同位置关系的关键因素是什么呢？”没有体现定性刻画点与圆、直线与圆的位置关系的奠基作用，导致学生的思考“一切从头开始”；在学生以“公共点的个数”为标准作出分类后，也没有追问“你是怎么得到的？”从而失去了思考方法教学的机会；虽然教师采用信息技术予以几何直观，但只问了“看看都有哪些位置关系？有大家刚才发现的位置关系吗？”而没有提示学生注意运动的过程及其本质的追究，导致学生的观察活动表面化。在环节三中，问题“由点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的判定，大家想一想，圆和圆的位置关系是否也可由数量关系来判断？”虽有类比点和圆、直线和圆位置关系的提示，但“数量关系”太笼统，并没有使学生从类比中明确“用确定圆的要素来刻画两个几何图形位置关系”这一核心思想，因此类比的目的性不强、作用不大。同时，教师在教学中并没有引导学生充分利用定性刻画的结果，没有把“定量刻画”处理成“定性刻画”的数量表示过程。其结果是，学生没有建立起三种位置关系的内在联系，判定圆与圆的位置关系的“标准”模糊不清，学生的讨论杂乱无章，思考的过程是无序的，所获的结论也不是一以贯之的，在学生头脑中仍然没有形成三种位置关系的结构，所以不仅使知识的理解和记忆发生困难，而且从根本上说，是认识问题、解决问题的方法没有得到锻炼，“学会思考”也就大打折扣了，在后面例题教学中出现“丢三落四”的情况是必然的。 3．本课的难点在哪里，如何突破 在前述课例中，教师没有对本课的难点、成因及突破难点的方法作出分析，课堂教学中也没有进行认真处理，而是采取了“告诉”的办法，因此学生虽然知道了五种位置关系对应的量化表示，但他们却不知道是怎么得到的。虽然教师在接着的“辨析”过程中，提出了四个思考题，但学生回答起来很吃力。实际上，这些问题并不是学生在自己的思考过程中自然产生的，他们并不知道老师为什么要问这些问题，因此给出的回答也是既费时又费力，效果很不理想。 实际上，研究三种位置关系的思想方法虽然是一脉相承的，但圆与圆的位置关系比点与圆、直线与圆的位置关系复杂得多，因此学习的困难也更大。笔者的课堂观察发现，学生对圆与圆位置关系的定性刻画普遍没有困难；除了“借助圆的几何要素刻画两圆的位置关系”这一思想方法上的难点外，对于“相离”、“外切”和“内切”的定量刻画，在理解了思想方法后也不是难点；难点出在“相交”、“内含”的定量刻画。 前已述及，思想方法的突破需要通过概括点与圆、直线与圆的位置关系的定量刻画，把方法提升到“与确定几何对象的要素联系起来（更本质的，就是与基本概念相联系），借助几何要素的数量关系刻画位置关系”。而突破“相交”、“内含”这两个难点，则要体现“定性刻画”的数量化表示的思想，采取“利用极端位置”先易后难的策略，先得到“外切”时圆心距等于两圆半径之和、“内切”时圆心距等于两圆半径之差的绝对值，然后再给出“相交”、“内含”的定量刻画。 三、总结 总之，按照“构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”的要求，“圆与圆的位置关系”一课应抓住如下几点： 1．从定性分析到定量刻画。我们对事物的研究，一般都要经历这样的过程。这是一个由表及里、由浅入深、精益求精、直至根本的自然过程。 2．将点与圆、直线与圆的位置关系的刻画方法“一般化”，获得“利用两个几何图形的要素，确定它们之间的位置关系”的普适性思想方法，并用于研究圆与圆的位置关系。 3．利用极端位置，采取“先易后难”的策略，先搞定“外切”和“内切”的定量刻画，再突破“相交”和“内含”两个难点。 笔者相信，“前后一致、逻辑连贯的学习过程”是至精至简的，它简略了细枝末节，专注于数学的核心内容及其反映的数学思想方法，引导学生返璞归真地思考问题、解决问题，可以达到以简驭繁、以不变应万变的效果，不但使得数学易学、好懂，而且能使学生领悟数学思考方法的真谛，真正做到理解、会用，从而切实地减轻学习负担。如果广大教师能以提高学生认识问题和解决问题的能力为己任，认真分析、挖掘数学核心内容中蕴含的思维教育资源，并用与学生思维发展水平相适应的方式作出教学表达，抓住数学知识发展中的核心问题开展教学，就一定能实现“使学生学会思考”的崇高目标。 注：2003年初，杨乐院士（时任中国科学院数学与系统科学研究院院长）为教育部召开的“高中课程改革会议”而作。 | 
发表于 2014-3-5 15:46:50
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