河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷

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河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷
本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.
第I卷
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求.
1. 复数z1=3+i，z2 =1-I则z= 的共轭复数在复平面内的对应点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 若 -， ，则角θ的终边所在的直线为
A. 7x+24y=0 B. 7x-24y=0
C. 24x+7y=0 D.24x-7y=0
3_在数列{an}中，an+1=can(c;为非零常数），前n项和为Sn= 3n+k,则实数k为
A.-1 B.0 C.1 D.2
4. 设a,β分别为两个不同的平面，直线l a，则“l丄β”是“a丄β成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 若 ，则a，b，c的大小关系为
A. c>b>a B. b>c>a C. a>b>c D. b>a>c
6. 已知函数f(x)的导函数为 ,且满足 ,则  =
A. 1 B. —1 C. –e-1 D. —e
7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是

8. 在二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的
项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为
A.      B.     C.      D.  
9. 如图所示,F1 F2是双曲线 （a>0,b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支 的两个交点分别为A，B,且ΔF2AB是等边三角形，则双曲线的 离心率为
A.      B.  
C.      D.  
10. 函数f(x)=axm(1-x)2在区间[0，1]上的图象 如图所示，则m的值可能是
A. 1 B. 2
C. 3 D.4
11. 设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的工都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组 ’则m2+n2的取值范围是
A. (3,7) B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49)
12. 已知函数 ，则方程 所有根的和为
A. 0 B.       C .       D.  
第II卷
本卷包括必考題和选考題两部分.第13题〜第21題为必考题，第22题〜24题为选考 題.考生根据要求作答.
二、填空題:本大题共4小题，每小题5分.
13.等差数列{an}的前7项和等于前2项和，若a1=1,ak+a4=0，则k=______.
14. 已知O为坐标原点，点M(3,2),若N(x,y)满足不等式组 则 的最大值为______.
15.已知不等式 ，若对任意x∈[l,2],且y∈[2,3],该不等式恒成立,则 实数a的取值范围是______.
16.过点M(2，-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B,若线段AB的中 点纵坐标为6,则p的值是______.
三、解答题:解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.

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17.        (本小题满分12分）
如图所示,一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50 公里/小时的速度勻速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方 向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公 里，距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个 人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车 的人至少以多大的速度勻速行驶才能实现他的愿望，此时 他驾驶摩托车行驶了多少公里？





18.        (本小题满分12分）
每年的三月十二日，是中国的植树节.林管部门在植树前，为 保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批 树苗中各抽测了 10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种 树苗”,测得高度如下(单位:厘米）
甲：137，121,131，120,129，119,132，123,125,133
乙：110,130,147,127,146,114，126,110,144，146
(I)根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写 的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度 的统计结论；
(II)设抽测的10株甲种树苗髙度平均值为 将这10株树 苗的高度依次输人按程序框图进行运算，（如图）问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；
(III)若小王在甲批树苗中随机领取了 5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布， 求小王领取到的“良种树苗”株数X的分布列.




19.        (本小题满分12分）
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，
(I)当λ= 时,求证AB1丄平面A1BD;
(II)当二面角A—A1D—B的大小为 -时,求实数λ的值.




20.        (本小题满分12分）
已知椭圆C:  的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切.
(I)求曲线D的方程；
(II)设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M在椭圆C上;②点O为ΔAPM的重心.若存在，求出点P的坐标；若不存在,说明理由.（若三角形 ABC的三点坐标为A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3，y3)，则其重心G的坐标为 ， ))





21.        (本小题满分12分）
已知函数f(x)=lnx与g(x)=kx+b(k,b∈R)的图象交于P，Q两点，曲线y=f(x)在P，Q两点处的切线交于点A.
(I)当k = e，b=-3时,求f(x) — g(x)的最大值(e为自然常数）
(II)若 |，求实数k，b的值.

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选做题(本小题满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用铅笔在对应 方框中涂黑）
22.选修4—1:几何证明选讲
如图，已知 0和 M相交于A、B两点，AD为 M的直径，直线BD交 O于点C,点G为弧BD中点，连结 AG分别交 0、BD于点E、F，连结CE.
(I）求证:AG•EF=CE•GD；
(II)求证：




23.        选修4一4:坐标系与参数方程
已知直线C1:  ’（t为参数），曲线C2:   (θ为参数).
(I)当a= 时,求C1与C2的交点坐标；
(II)过坐标原点0作C1的垂线,垂足为A,P为OA中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.



24.        选修4一5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x—a|
(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
(II)在（I)的条件下,若f(x)+f(x + 5) m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.




2013年高中毕业年级第二次质量预测
数学（理科）   参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）
DDAA  BCCD  BACC
二、填空题（每小题5分，共20分）
    13．6；14．12；15． ；16．1或2．
三、解答题
17．解:作 垂直公路所在直线于点 ,则 ,
  ――――2分
设骑摩托车的人的速度为 公里/小时,追上汽车的时间为 小时
由余弦定理:  ――――6分
-――――8分
当 时, 的最小值为 , 其行驶距离为 公里――――11分
故骑摩托车的人至少以 公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了 公里. ――――12分
18．解: （Ⅰ）茎叶图略. ―――2分
统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;  
②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;

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③甲种树苗的中位数为 ，乙种树苗的中位数为 ;
④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，
乙种树苗的高度分布较为分散. ―――4分（每写出一个统计结论得1分）
（Ⅱ） ――――6分
表示 株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.
值越小，表示长得越整齐， 值越大，表示长得越参差不齐．――――8分
（Ⅲ）由题意，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为 ，则 ―――10分                                            
         所以随机变量 的分布列为
        0        1        2        3        4        5
                                                      
                                                                  ――――12分
19.解：（Ⅰ）取 的中点为 ，连结
在正三棱柱 中面 面 ，
          为正三角形，所以 ，
         故 平面 ．
         以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系 ，――――2分
         则 ， ， ， ， ．
         所以 ， ， ，
         因为 ，
         所以 ，又 ，
         所以 平面 ．                        ――――－6分
       （Ⅱ）由⑴得 ，所以 ， ， ，
         设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
         由 得平面 的一个法向量为 ，
         同理可得平面 的一个法向量 ，
         由 ，解得 ，为所求．――――12分

20．解：（Ⅰ）设 ，由题知 ，所以以 为直径的圆的圆心 ，
          则 ，
          整理得 ，为所求．                    ――――4分
（Ⅱ）不存在，理由如下：                        ――――5分
若这样的三角形存在，由题可设 ，由条件①知 ，
由条件②得 ，又因为点 ，
所以 即 ，故 ，――――9分
解之得 或 （舍），
当 时，解得 不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在．     ――――12分

21、解：（Ⅰ）设 ，
          则 ，                  ――――1分
            当 时， ，此时函数 为增函数；
            当 时， ，此时函数 为减函数．
          所以 ，为所求．       ――――4分
（Ⅱ）设过点 的直线 与函数 切于点 ，则其斜率 ，
  故切线 ，                  

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将点 代入直线 方程得：
     ，即 ，――――7分
    设 ，则 ，
    当 时， ，函数 为增函数；
当 时， ，函数 为减函数．
故方程 至多有两个实根，          ――――10分
又 ，所以方程 的两个实根为 和 ，
故 ，所以 为所求．――――12分



22．证明：（Ⅰ）连结AB、AC，∵AD为⊙M的直径，
∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，
∴∠CEF＝∠AGD=90°.        ――――2分
∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GAB=∠ECF. ――――4分
∴△CEF∽△AGD        ∴ ，        ∴AG•EF = CE•GD           ――――6分
（Ⅱ）由⑴知∠DAG=∠GAB=∠FDG，∠G=∠G，
∴△DFG∽△AGD，        ∴DG2=AG•GF.                                                ――――8分
由⑴知 ，∴                                                 ――――10分
23．解：（Ⅰ）当 时，C1的普通方程为 ，C2的普通方程为 ，
联立方程组 ，解得C1与C2的交点坐标为（1，0）， ．――――5分
（Ⅱ）C1的普通方程为 ，A点坐标为 ，
故当 变化时，P点轨迹的参数方程为 （ 为参数）
P点轨迹的普通方程为 ．
故P点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．――――10
24．解：（Ⅰ）由 得 ，解得 ．
又已知不等式 的解集为 ，所以 ，解得 .――――4分
（Ⅱ）当 时， ，设 ，
于是 　　　　　　　　　　　　　――――6分
所以当 时， ；        当 时， ；        当 时， ．
综上可得， 的最小值为5．――――9分
从而若 ，即 对一切实数 恒成立，
则 的取值范围为（-∞，5]．――――10分