巧找突破口

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在解答某些数学题时，可能常常碰到这样的情形：开始觉得题目很难，不知从何处下手，但一旦找到解决问题的突破口，又会觉得要解答的问题很简单，因此，如何找突破口是解答这类应用题的关键。那么，怎样找到解决问题的突破口呢？下面列举几种常见的方法：


一、取特值突破

例1：a、b、c、d都是质数，并且a＋b=33，b＋c=44，c＋d=66，那么d等于多少？

分析与解：要求d等于多少，就要先求出c是多少，而要求c是多少，就要先求出b是多少；要求b是多少，就要先求出a是多少，但a是多少也未知。从何处突破呢？已知a＋b=33，如果两个质数的和是奇数，则其中一个质数必定是偶数，而偶数中的质数只有2，所以a和b必定有一个数是2，又因为b＋c=44，则b一定是奇数，所以a是偶数，即a等于2，则b＝33－2＝31，c＝44－31＝13，d＝66－13＝53。

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二、从矛盾处突破

例2：一家三口人，小明的爸爸比妈妈大2岁，现在他们一家人的年龄之和是75岁，10年前全家人的年龄之和是48岁，小明爸爸今年多少岁？

分析与解：10年前全家人的年龄之和是48岁，则10年后全年人的年龄之和应该是48＋10×3=78（岁），与题中“现在他们一家人的年龄之和是75岁”相矛盾，为什么会产生矛盾呢？因为10年前小明还没有出生，“全家人的年龄之和是48岁”只是爸爸和妈妈的年龄之和，可以此为突破口先求出小明的年龄：75－（48＋10×2）＝7（岁），所以现在爸爸、妈妈的年龄之和是75－7＝68（岁），爸爸的年龄是：（68＋2）÷2＝35（岁）。


三、从反面突破

例3：一只皮箱的密码是一个三位数，小光说：“它是954。”小明说：“它是358。”小亮说：“它是214。”小强说：“他们每人都只猜对了位置不同的一个数字。”这只皮箱的密码是多少？

分析与解：小光、小明和小亮“每人都只猜对位置不同的一个数”，从反面去想就是“如果相同位置上的数有两人猜相同的话就猜错了。”因为小光和小亮个位上都猜的是4，所以个位上猜4是错误的，即密码个位上只能是小明猜的8，同样道理，小光和小明十位上都猜的是5，所以十位上猜5是错误的，密码十位上只能是小亮猜的1；而小光猜对的一定是百位上的数，即密码的百位数字是9。这样，从反面突破，可推算出这只皮箱的密码是918。

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四、推理突破

例4：若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个棋子分别装在盒子里，其中只有一个盒子没有装棋子。然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排一下。小明回来仔细检查一番，他认为没有人动过这些盒子和棋子。问共有多少个盒子？

分析与解：根据题意，可作如下推理：因为小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，而小明认为没有人动过这些盒子，说明又出现了一只空盒子，则现在的这只空盒子原来装有1个棋子。既然原来有一只盒子装有1个棋子，即小光重新操作后，必定也有一只盒子装有1只棋子，则原来有一只盒子装有2只棋子；同样的道理，现在装有2只棋子的盒子原来装有3只棋子，现在装有3只棋子的盒子原来装有4只棋子……依此类推，原来各个盒子里装有棋子的个数从小到多的个数分别是：

0、1、2、3、4、5、6……

那么，原来最多的一盒里到底有多少个棋子呢？这就要从总个数是五十多个想起，可作如下试算：

0＋1＋2＋3＋4……＋9＝45

0＋1＋2＋3＋4……＋9＋10＝55

0＋1＋2＋3＋4……＋9＋10＋11＝66

因此，原来棋子的总个数只能是55个，共有11个盒子。