七年级数学优质课《镶嵌》教学设计及说明

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资料 《镶嵌》教学设计
——铺地板中的数学
广东省中山市中山纪念中学　赵桂枝
一、课题学习的目的和意义：

“课题学习”作为初中数学四大领域之一，是新课程标准的一大特色。是在教师的指导下，以问题为核心、以问题解决为目标开展的探究式学习活动。在初中阶段，通过一些具有挑战性的研究课题，让学生获得初步的研究经验，发展一定的研究能力。

七年级学生的自我意识、好奇心、表现欲和认知能力都处在上升的阶段。这一时期，对培养学生的学习兴趣、动手能力和思考能力至关重要，也是预防厌学情绪的关键时期。所以，我们可以充分利用如《镶嵌》这样的课题学习来保护和提升学生学习数学的热情和信心，使学生开阔眼界、拓展知识、培养问题意识和创新精神。

二、课题学习内容分析：

平面镶嵌知识在生活中有着广泛的应用，其中最典型最常见的就是铺地板。其特点是使用的基本图形简单，构造的图案美观，随处可见。符合初中生的认知水平，能够吸引初中生的兴趣，具有说服力。所以本节课，我们从生活中的“铺地板”入手，研究其中蕴含的平面镶嵌知识。

在《新课程标准》中对镶嵌作出明确的要求：知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。而平面镶嵌知识在生活中也有着广泛的应用，其中最典型最常见的就是铺地板。其特点是使用的基本图形简单，构造的图案美观，随处可见。符合初中生的认知水平，能够吸引初中生的兴趣，具有说服力。

所以本节课，从生活中的“铺地板”入手，研究其中蕴含的平面镶嵌知识。试图通过研究用一种正多边形进行铺地板的条件，使学生了解平面镶嵌的含义，能够综合应用多边形内角和知识解决平面镶嵌问题，力图培养学生的动手能力、探究能力、问题意识和合作意识，体会数形结合的数学思想以及从特殊到一般的数学方法。

此外，由用一种正多边形铺地板可以延伸到对用两种正多边形进行铺地板，用三种正多边形进行铺地板的思考和研究，也可以拓展到对用任意三角形和任意四边形进行铺地板的研究。从深度和广度上都有进一步探究的空间。

三、课题学习的方法：

小组合作、实验探究。

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四、课题学习流程：

五、课题学习的过程：

1、 课前准备阶段

1.1教师集体备课，确定课题学习方案。

课题学习不仅对于学生来说是一种新的学习方式，对于教师来说也是一次对新的教学方式的挑战。怎样开展初中数学课题学习课程，怎样根据生活实际和教材确定合适的课题，怎样把握课堂探究的重点，怎样把握研究的深度和广度，怎样挖掘平面镶嵌的内涵。仅凭一个人的力量是有限的。所以，在开展课题学习之前，备课组的老师们通过进一步学习相关的理论，上网查找资料，研讨，对课题学习及平面镶嵌有了更深的认识，共同制定出本节课题学习的方案。

                                          

1.2操作材料准备，探究活动报告、多媒体课件制作。

操作活动中需要用到边长为5cm的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形若干个。如果让学生制作会遇到工作量大、耗时长、误差大、不可重复使用等问题，增加学生负担，影响拼接效果。经集体备课决定由学校统一制作，作为校本教具使用。既为学生减轻了负担，又保证了操作活动中拼接图形的效果。

多媒体课件和探究活动报告由教师制作。

1.3成立课题学习小组，明确课题学习任务。

将全班分成6个小组，每组8人。其中数学思维好中差搭配，男女搭配，内向性格与外向性格搭配。选定组长，由组长组织本小组开展实验操作、自主探究活动。  

1.4搜集用地板砖铺成的地板图片。

由小组长组织本小组的同学尽可能多地收集生活中的地板图案。

2、 课堂实施阶段

2.1创设情境，引出课题。（2分钟）

教师用多媒体展示生活中的地板图案，并提出问题：你见过的地板砖都有哪些形状？看到这些形状你有没有产生过问题？设计意图：培养学生的问题意识。

学生观察图形，思考作答。

引出今天研究的课题：铺地板中的数学。

2.2动手操作，自主探究。（15分钟）

2.2.1让学生观察教师所给材料的特点：①都是正多边形②边长相同③边数相同或不同④边数不同的正多边形每一个内角的度数不同⑤边数相同的多边形形状大小完全相同。

设计意图：让学生了解原始材料的数学特征，为下面探究用一种正多边形进行铺地板的条件做准备。

2.2.2学生动手操作，尝试用一种正多边形进行拼接，思考讨论用一种正多边形进行铺地板需要满足的条件。

2.2.3填写探究报告。

注：对于探究能力较强探究速度较快的小组，可以建议他们利用剩余的时间继续探究

用多种正多边形铺地板的条件。

2.3交流互动，探讨课题。（10分钟）

每组选一个代表，说明本组的探究过程，展示探究成果。其他组的成员可以进行补充

或提出自己的疑问。最终得出用一种正多边形进行铺地板的条件。

2.4提出问题，深化课题。（10分钟）

将“用一种正多边形进行铺地板”的问题研究清楚后，鼓励学生继续思考，提出对继

续探究有价值的问题：如通过改变正多边形的种数可继续研究用两种、三种、甚者用n种正多边形进行铺地板的情形，体会从特殊到一般的数学思想，挖掘研究的深度。通过改变多边形的形状可继续研究用任意的三角形、任意的四边形进行铺地板的情形，拓宽研究的广度。

教师将学生的问题记录下来，快速分类。有的可以当堂解决，有的可以放到课后继续探究。

2.5归纳提炼，小结课题（3分钟）

充分让学生畅所欲言谈体会，教师做简练的评价，顺势给出平面镶嵌的概念，并为课后撰写数学小论文提供适合学生认知水平和能力的题目。

如：①对用一种正多边形进行平面镶嵌的研究。②对用两种正多边形进行平面镶嵌的研究。③对用多种正多边形进行平面镶嵌的研究。④对用任意多边形进行平面镶嵌的研究。

3、 课后结题阶段

3.1将课堂探究的成果进一步整理，对自己有兴趣的问题作进一步的探究。

3.2上网查找撰写论文的一般形式和方法。

3.3根据探究结果撰写数学小论文。

五、课题学习成果：

关于镶嵌知识的数学小论文

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课堂探究过程表：

预计时间（分）	活动内容	教师活动	学生活动	预期效果
2分钟	创设情境， 引出课题。	教师用多媒体展示生活中地板图片，提出问题：你见过的地板砖都有哪些形状？看到这些形状你有没有产生过问题？引出今天研究的课题：铺地板中的数学。	1、欣赏图片。 2、观察并思考图片中图案的特点。 3、思考并回答教师提出的问题。	给学生展示生活中的图片，希望能够使学生认识生活中的数学，激发学生学习的兴趣和动机，培养学生的问题意识。
15分钟	动手操作， 自主探究。	深入到各小组，倾听学生们的讨论，鼓励学生大胆猜想，畅所欲言，对其中合理的回答给予肯定，对有困难的小组及时进行指导。	1、  以小组合作的形 式动手操作：用一种正多边形进行铺拼接。 2、  探究用一种正多 边形进行铺地板的条件，填写探究报告。 3、探究能力较强速度较快的小组，可利用剩余的时间继续探究用多种正多边形铺地板的条件。	希望学生通过动手操作实验获得一些感性认识，在此基础上经过思考，讨论，交流，上升到理性认识。 体会数形结合的思想和从特殊到一般的数学方法。
10分钟	交流互动，探讨课题。	在学生作答后进行归纳：用一种正多边形进行铺地板的条件： 在同一个顶点处用正多边形的内角刚好能组成一个360°的周角。 用式子可表示为:ax=360 x指正多边形的每一个内角的度数， a指正多边形的个数。	每组选一个代表，说明本组的探究过程，展示探究成果。其他组的成员可以进行补充或提出自己的疑问。	希望通过交流、讨论， 进一步加深学生对用一种正多边形铺地板的条件的理解。 培养学生的语言表达能力。
10分钟	提出问题，深化课题。	引导学生提出问题，如： 1、用一种正多边形进行铺地板一共哪有几种方案？ 2、用两种正多边形能否进行铺地板？如果可以，需要满足怎样的条件？ 3、用正五边形和正十边形能否进行铺地板？ 4、用三种正多边形能否进行铺地板？如果可以，需要满足怎样的条件？ 5、用四种正多边形能否进行铺地板？如果可以，需要满足怎样的条件？	思考，作答： 1、正多边形的内角最小是60°,能整除 360°的正多边形的内角只有60°, 90°,120°。所以用一种正多边形进行铺地板有正三角形，正四边形，正六边形三种方案。 2、可以。条件是：ax+by=360其中a、b、表示正多边形的个数，x、y表示每个内角的度数。 3、不可以。这是一个特例。在同一顶点处可以拼成360°的周角，但要继续铺下去，就会出现缝隙或重叠。 4、可以。条件是：ax+by+cz=360其中a、b、c表示正多边形的个数，x、y、z表示每个内角的度数。 5、不可以。因为用内角最小的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形各出一个。在同一顶点处所拼的角：60°+90°+108°+120°=378°>360°	能课上解决的就当堂解决，不能当堂解决的就放到课后继续探究。
3分钟	归纳提炼，小结课题。	教师做简练的评价，顺势给出平面镶嵌的概念，并为课后撰写数学小论文提供适合学生认知水平和能力的题目。如：①对用一种正多边形进行平面镶嵌的研究。②对用两种正多边形进行平面镶嵌的研究。③对用多种正多边形进行平面镶嵌的研究。④对用任意多边形进行平面镶嵌的研究。	学生畅所欲言谈体会	教师给出论文题目，希望为学生撰写数学小论文把握方向，降低难度。

探究活动报告（一）

组别：            

组长：           

组员：         

探究活动名称：用一种正多边形地板砖铺地板

探究活动目的：探究用一种正多边形铺地板需要满足的条件

材料：边长为5cm的正三角形（30个）、正四边形（30个）、正五边形（30个）、正六边形（30个）、正八边形（10个）、正十边形（3个）。

组内分工：

活动步骤：

	正三角形	正四边形	正五边形	正六边形	正八边形	正十边形	正二十边形
每个内角的度数
能否铺地板

结论：

提出问题和建议：

探究活动报告（二）

组别：            

组长：           

组员：         

探究活动名称：用两种正多边形地板砖铺地板

探究活动目的：探究用两种正多边形铺地板需要满足的条件

材料：边长为5cm的正三角形（30个）、正四边形（30个）、正五边形（30个）、正六边形（30个）、正八边形（10个）、正十边形（3个）。

组内分工：

活动步骤：

正多边形An+Bn 组合	正多边形A1	正多边形B1	正多边形A2	正多边形B2	正多边形 A3	正多边形B3	正多边形 A4	正多边形B4
	正三角形	正四边形
每个内角的度数	60°	90°
能否铺 地板

结论：

问题和建议：

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《镶嵌》教学设计说明

——铺地板中的数学

广东省中山市中山纪念中学　赵桂枝

一、授课内容的数学本质与教学目标定位：

“课题学习”作为初中数学四大领域之一，是新课程标准的一大特色。是在教师的指导下，以问题为核心、以问题解决为目标开展的探究式学习活动。在初中阶段，通过一些具有挑战性的研究课题，让学生获得初步的研究经验，发展一定的研究能力。

七年级学生的自我意识、好奇心、表现欲和认知能力都处在上升的阶段。这一时期，对培养学生的学习兴趣、动手能力和思考能力至关重要，也是预防厌学情绪的关键时期。所以，我们可以充分利用如《镶嵌》这样的课题学习来保护和提升学生学习数学的热情和信心，使学生开阔眼界、拓展知识、培养问题意识和创新精神。

二、学习本内容的基础以及意义：                     

综合实践活动作为从小学到高中的必修课程，既有一定的连续性，随着学段的变化，侧重点也有所不同，初中阶段主要侧重于在实践基础上的“课题学习”。相对于小学，它对研究对象的广度和探究活动的深度要求有所提高。相对于高中，学生在活动设计，实施过程中的独立性，撰写论文、实验报告的规范性有待加强。

在《新课程标准》中对镶嵌作出明确的要求：知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。而平面镶嵌知识在生活中也有着广泛的应用，其中最典型最常见的就是铺地板。其特点是使用的基本图形简单，构造的图案美观，随处可见。符合初中生的认知水平，能够吸引初中生的兴趣，具有说服力。

所以本节课，从生活中的“铺地板”入手，研究其中蕴含的平面镶嵌知识。试图通过研究用一种正多边形进行铺地板的条件，使学生了解平面镶嵌的含义，能够综合应用多边形内角和知识解决平面镶嵌问题，力图培养学生的动手能力、探究能力、问题意识和合作意识，体会数形结合的数学思想以及从特殊到一般的数学方法。

此外，由用一种正多边形铺地板可以延伸到对用两种正多边形进行铺地板，用三种正多边形进行铺地板的思考和研究，也可以拓展到对用任意三角形和任意四边形进行铺地板的研究。从深度和广度上都有进一步探究的空间。

三、教学诊断分析：

课题学习对于教师来说是一次对新的教学方式的挑战。怎样开展初中数学课题学习课程，怎样根据生活实际和教材确定合适的课题，怎样把握课堂探究的重点，怎样把握研究的深度和广度，怎样挖掘平面镶嵌的内涵。仅凭一个人的力量是有限的。所以，在开展课题学习之前，备课组的老师们通过进一步学习相关的理论，上网查找资料，研讨，对课题学习及平面镶嵌有了更深的认识，共同制定出本节课题学习的方案。避免将课题学习上成一节常规课。

课题学习对于学生来说也是一种新的学习方式。从过去以“学会”为目的发展为以“会学”为目标。在这个过程中特别要求学生克服以往思维的“被动性”，培养细致观察、大胆猜想、积极尝试、追求真理的主动精神。

四、课题学习流程图：

五、本节课的教法特点以及预期效果分析：

1、本节课经历“从课外到课内再到课外”的一个学习过程，希望达到课题学习的效果。从课前选题到课内探究活动设计，再到课后指导学生撰写数学小论文，都致力于以学生为主体，以发展学生研究问题的能力为目标，试图通过这节课达到让学生经历一次“像数学家工作”一样的学习的目的。

2、本节课的课堂实施阶段设计了五个环节：

（1）创设情境，引出课题。

从生活出发，由生活中的“铺地板”，引出对用一种正多边形进行铺地板的研究。

（2）动手操作，自主探究。

在这一过程中，教师尽量放手，给学生充足的时间和自由发挥的空间。

（3）交流互动，探讨课题。

通过交流、讨论，进一步加深学生对用一种正多边形铺地板的条件的理解，以达到提高学生研究问题的兴趣和能力、培养学生语言表达能力的目的。

（4）提出问题，深化课题。

将“用一种正多边形进行铺地板”的问题研究清楚后，鼓励学生继续思考，提出对继续探究有价值的问题：如通过改变正多边形的种数可继续研究用两种、三种，甚者n种正多边形进行铺地板的情形，体会从特殊到一般的数学思想，挖掘研究的深度。如果时间允许的话，本节课还想通过改变多边形的形状继续研究用任意的三角形、任意的四边形进行铺地板的情形，进一步拓展研究的深度和广度。

（5）归纳提炼，小结课题。

在这一过程中，充分让学生畅所欲言谈体会，教师做简练的评价，顺势给出平面镶嵌的概念，并为课后撰写数学小论文提供适合学生认知水平和能力的题目。

3、本节课试图通过分组活动实现让每个学生都有所收获的目标。即将全班分成6个小组，每组8人。其中数学思维好中差搭配，男女搭配，内向性格与外向性格搭配。在探究活动中通过分工照顾不同层次的学生，同时利用优生帮带数学学习有困难的学生，以达到提高课堂探究效率，使每个学生都在原有的基础上得到提高的目的。

4、操作活动中需要用到边长为5cm的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形若干个。如果让学生制作会遇到工作量大、耗时长、误差大、不可重复使用等问题，增加学生负担，影响拼接效果。经集体备课决定由学校统一制作，作为校本教具使用。既为学生减轻了负担，又保证了操作活动中拼接图形的效果。

5、探究活动报告的设计在学生探究活动中起到引导的作用。用以解决学生无从下手的困难。其中探究活动报告（二）是为探究能力强，探究速度快的小组准备的。