美国数学课程标准中“问题解决”的变化及启示

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摘要：全美数学教师理事会（NCTM）在2000年出版发行了《学校数学教育的原则和标准》,与之前相比，此文件中“问题解决”这一过程标准，在坚持以前的一些基本观点的同时，进一步明确“问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式”；而且增加了新的目标──“够检验和反思数学问题解决的过程”。由此可见，“课程标准”的制定必然有一个继承和不断改进的过程。自我国的数学课程标准将“解决问题”作为课程目标提出以来，在课程设计和教学实践中出现了一些变化和问题。在借鉴他国经验的同时，应根据我国的国情，继承和发展我国在“解决问题”方面的各种理论和实践成果，研究出培养学生解决问题能力的课程设计方案。



关键词：数学课程标准；问题解决



中图分类号：G623.5    文献标识码：A





我国中小学数学课程改革正在深入发展。不难看出在新的课程标准中，有许多概念和理念是借鉴了国外的一些经验。本文先对美国数学课程标准中的“问题解决”这一内容的变化进行分析，在此基础上，对我国当前小学数学课程改革中“解决问题”的现状进行反思，并试图从国内外“问题解决”理论和实践研究的成果中寻找解决问题的思路。



一、美国中小学数学课程标准中“问题解决”的变化



自1989年起，全美数学教师理事会( NCTM )制订和颁布了《学校数学课程与评价标准》（1989年）、《数学教学专业标准》（1991年）及《学校数学教育的评估标准》（1995年）等一系列文件，对促进美国的数学教育发挥了十分重要的作用，但同时也存在着多种不同的评价或看法。在总结各地数学教学的实际和各种反馈意见的基础上，全美数学教师理事会对以上一些文件进行更新，于2000年制订了新的《学校数学教育的原则和标准》( 以下简称《原则和标准》)。《原则和标准》与《学校数学课程与评价标准》（1989年）相比，无论内容或表述形式都有了较大的变化。



笔者对这两个文件中的“问题解决”标准进行了比较。它们都把“问题解决”作为过程标准之一提出，并坚持使学生能够“通过解决问题掌握新的数学知识；解决在数学及其他情境中出现的问题；采用各种恰当的策略解决问题”。在坚持上述基本观点的同时，《原则和标准》中的“问题解决”标准也有了比较明显的变化。其一，进一步明确“问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式”；其二，增加了对问题解决过程的调控内容──“使学生能够检验和反思数学问题解决的过程” 。［1］（50）



2000年《原则和标准》中“问题解决”标准的变化，充分反映了美国在此方面理论研究水平和教学实践认识的不断提高。



第一，“问题解决”理论研究在不断完善。1980年，全美数学教师理事会在《行动的议程》中提出：“问题解决应该成为80年代学校数学教育的核心。”这一口号得到了数学教育界的响应，掀起了“问题解决”理论及实证研究的热潮，至今未衰。［2］20世纪80年代，主要从分析问题、解决问题的能力及其表现的方面进行研究。从80年代下半叶起，广泛吸取认知科学、人工智能及社会—文化研究等方面的成果，使问题解决的理论研究有了新的进展。到了90年代，美国学者开始反思“问题解决”教学与评估的得失，提出“数学地思维”等更全面体现数学实质的新思想和新观点。



首先，随着人们对学习本质认识的进一步关注以及研究方法、手段的改变，对“问题解决”有了新的认识。“问题解决”的目的不仅仅针对需要学生掌握的数学概念知识与技能性知识，问题解决还是一种有效的，能够促进理解和知识意义建构的认知方式。针对这一理论成果，《原则和标准》中进一步明确：“问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式；教师应当把问题解决作为教学过程的一部分，而不是单独教学生如何解决问题” 。［1］（109）

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其次，通过对于解决问题全过程的系统分析，获得了关于“问题解决”的新的理论框架。研究表明，学生解题失败通常并不是因为缺少数学知识，而是因为没有有效地利用他们的知识；好的问题解决者遇到问题和解决问题时，知道他们在做什么，并不断地检验、自我评估他们的进展情况并调整他们的解题策略； ［3］一个出色的问题解决者同时又是一个出色的计划者，但是他并不盲目地抱住一个计划不放，他时刻关注取得的进展，当事情不合理想时当机立断考虑调整；成功的与不成功的解题者的主要区别在于，他们对解决问题的信心，对自己作为问题解决者的信心，以及解决问题的不同方式。 ［4］ “认识的资源、启发法、调控和观念”被看成是影响问题解决过程的要素，而后两者是问题解决研究的重要突破。针对这一理论研究上的新进展，《原则和标准》中就增加了问题解决过程的“调控”要素──使学生能够检验和反思数学问题解决的过程，同时还指明了教师在促进学习形成这样的思维能力中所起的重要作用，并通过一系列的教学案例进行了说明。



第二，以“问题解决”为主要口号的数学教育改革运动中，由于对“问题解决”认识的肤浅和做法的简单化，在美国的“问题解决”教学中出现了许多问题。但随着教学实践的探索，人们的认识也在不断提高。



其一，片面强调“问题解决”，造成了学生基础知识和基本技能方面的不足。虽然理论研究已经证明“问题解决能作为进一步学习新的数学观念和技能的工具”， ［1］（167）但“如何以问题解决为中心促进数学知识和方法的学习”仍是研究中的一个薄弱环节，如，课程组织过分强调问题情境学习，而忽视了知识的内在联系。例如，在按照这种思想所编制的一些中学数学教材（如“Coreplus”等）中，传统的关于几何、代数和三角的区分被取消了，取而代之的是“整合性数学”（integrated math），即围绕实际生活来组织有关的数学内容的学习。尽管后者具有综合性的特点，并较好地体现了数学的实际意义，但从近些年美国的教学实践来看，却未能使学生较好地掌握相应的数学知识。［5］ 随着教育实践中的不断探索，“数学学科的学习，重要的是在概念的理解、基本技能和问题解决之间达到平衡”“数学教育应当‘过程’与‘结果’并重”，已经成为20世纪90年代以来数学教育界的共识。一些积极的研究仍在继续，如美国温特贝尔特大学匹波迪学院的认知与技术小组（The Cognition and Technology Group at Vanderbilt,CTGV）所开发的贾斯珀问题解决系列（Jasper problem solving series）是一种通过创设学习环境支撑学生数学学习的教学模式，代表了一种与案例学习、问题学习、项目学习密切相关的课程设计，充分发挥了问题解决在数学学习与教学中的作用。 ［6］

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其二，过分强调“解题策略”的教学，使学生丧失了更多的通过“问题解决”学习数学的机会。美国教材对“解题策略”的安排采取低年级渗透，三年级正式教学；与其他教学内容适当配合，分散编排，都用小标题标出，且许多解题策略在不同年级重复出现；遵循由易到难、由简到繁、由具体到抽象的编排原则。 ［7］（381—382）教师为了增强“启发法”的可接受性，常常采取“问题—策略”的教学方法，即按问题的类型进行分类并指出相应的解题策略。这实际上是由于教师把数学问题解决自身的因素、策略、技能视为静态、客观的知识，教学就是对这种知识的加工和传递，其结果是在学生的“数学工具箱”中，除了已经学习过的各种数学事实与运算程序之外，不过是增加了数学问题解决的技巧。 ［8］因此，在《原则和标准》中就进一步明确“问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式；教师应当把问题解决作为教学过程的一部分，而不是单独教学生如何解决问题”。



从以上的讨论中可以看出，“课程标准”的制定必然有一个继承和不断改进的过程。



二、我国小学数学课程中关于“解决问题”的研究与实践



在比较美国前后两个标准中的“问题解决”之后，笔者也想探讨一下当前我国基础教育数学课程改革的纲领性文件《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）中，小学部分的“解决问题”目标与以前的小学数学教学大纲中的相比有什么样的变化，以及当前“解决问题”的课程设计和教学实践中有什么样的变化和问题。



（一）对《课程标准》与大纲中“解决问题”的比较



从1978年的《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》开始，到2000年颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）》，一直都十分明确地提出了使学生“能够运用所学的知识解决日常生活和生产中的简单的实际问题”（1978），“能够运用所学的知识解决简单的实际问题”（1988），“能够探索和解决简单的实际问题”（2000）的教学目的。而且均在“教学中应该注意的几个问题”及“各年级的教学内容和教学要求”中，给出了明确的说明和指导。



与以上一些大纲相比，我国教育部于2001年7月颁布的《课程标准》中，在小学阶段“解决问题”这一目标上主要有以下几点变化。



首先，继承了我国大纲中历来重视“解决问题能力”培养的传统，并把“解决问题”作为与“知识技能”“数学思考”“情感与态度”并列的课程目标提出。



其次，取消了“应用题”这个学习领域。《课程标准》中没有采用“应用题”作为一个单独的领域教学来培养学生解决问题能力的这条途径，但也没有给出另外一种明确的培养学生解决问题能力的课程设计方案，这一研究的任务就落在了教材编写者和教师的身上。



（二）在当前“解决问题”课程设计和教学实践中出现的一些变化和问题



首先，在教材编写方面出现了一些变化和问题。



《课程标准》要求解决问题的教学应贯穿于数学课程的全部内容中，所以各版本小数教材都在这方面进行了深入的研究并采取了许多具体的措施。如，结合各部分知识安排应用所学数学知识解决实际问题的内容，把解决问题教学与各部分数学知识的教学有机地结合在一起；注意培养学生从生活中发现并提出简单的数学问题的能力（创设信息丰富的开放的问题情境，要求学生根据现实情境发现和提出简单的数学问题，培养学生用数学的眼光观察现实，从生活中发现并提出数学问题的能力）；让学生体会解决问题策略的多样性；加强渗透数学思想方法；等等。



但在编排上也存在一些问题。例如，由于《课程标准》取消了“应用题”这个独立的领域，各版本教材都没有采用系统的“应用题”编排方式,而是做出了新的尝试。有的在少数册书中安排“解决问题”单元，有的从第二学段开始安排“解决问题的策略”单元，但多数内容是采用分散编排的形式。而在我国解放前强调随机教学，“有些教材编入应用题时，通常采用的就是学了哪一种方法就做哪一种应用题目。这种编排方式儿童不必加以思考，应用计算技能以解答应用题的能力就不容易有发展了”。 ［7］（231 ）这样编排的另一个弊端在教学中已经显现出来了，本文在下一段中会有详细的论述。再如，认为强调提高学生解决问题的能力，在数学课程中采取的唯一形式就是“问题解决”。对“能从现实生活中发现并提出简单的数学问题”这一目标，有些课程设计者过分强调“问题情境”，绞尽脑汁地把每一个单元的内容置于一个实际问题情境中。而情境中这些问题的最大作用可能是，让学生感受到在一个连续的故事情节中学习数学知识，增加学生的兴趣。但这究竟在多大程度上可以帮助学生理解所学数学的知识及其之间的内在联系，可能还是值得探讨的，尤其是到了中、高年级再采用这种编排形式就会显得太过肤浅。

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其次，在教学实践领域也出现了一些变化和问题。



《课程标准》在培养学生初步的应用意识和解决问题的能力方面，建议“教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性”。在教学实践中，教师在这一问题上展开了大量的研究，但也出现了一些值得思考的问题。



例如，由于没有系统的教学，学生不能解决练习中出现的题目，每一个解决问题的习题都需要像例题一样处理；由于分散编排且不对数量关系进行整理，学生缺乏对知识之间内在联系的理解和掌握，就出现了在一个年级的期末考评之前，教师要把以前学过的所有类型的问题再一一进行整理等一些问题。



又如，《课程标准》建议“教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题”。有些教师就不敢再从数学本身的问题引出教学内容，而事事处处都要从生活实际问题引入。例如，有的教师由于找不到“三角形内角和是180°”的生活情境，就决定换一个公开课的课题。再如，一位教师上“角”这节课。师：同学们，你们见过角吗？生：见过。师：哪儿有角？生：牛角、羊角。师：还有什么？生：嘴角、眼角……15分钟也没找到几何的角。



三、如何进一步研究和解决这些问题



在实践中遇到的这些问题，如何解决呢？我们可以从国内外“问题解决”的理论研究和实践领域的丰富成果与新发展中去寻找答案。自20世纪80年代初，美国提出把“问题解决”作为数学教育的核心以来，“问题解决”成为数学教育领域备受关注的研究热点，对我国数学教育的研究与中小学数学教学的实践也产生了一定影响。前文已经对国外在问题解决领域取得的进展进行了论述，下面简要介绍一下我国的研究情况。



首先，我国研究人员除了对国外数学“问题解决”进行相应的介绍和引进之外，在理论层面对“问题解决”也进行了多方面的研究，并初步形成了一定的研究特色。例如，在数学问题的表征、数学解题策略、数学解题能力的心理结构、数学解题的迁移、数学解题中的元认知因素等方面，我国学者都有着不同程度的探究和成果。［9］又如，从数学方法论的角度，我国学者利用“抽象度分析法”等成果，对数学的研究工作、数学教学与数学学习进行了非常有意义的研究。［10］再如，我国学者还对数学习题（问题）本身进行分析，对解决问题的方法、过程进行探讨，着力于理清数学问题的解题过程、规律，很大程度上在为回答“解题过程与方法怎样，哪些因素影响解题，如何学会解题”提供一定的借鉴，从而增强教学的针对性，即通过进一步教学，希望学生能够掌握这些解决数学问题的技能、方法、策略，培养学生的数学能力。这些领域的研究都取得了不同程度的成果，并对我们的教育实践起着积极的指导作用，在此不一一赘述了。



其次，在教材研究编写方面，我们一直不断借助方法论、教育学及心理学理论研究的新成果进行探索，并取得了许多重要的理论成果。例如，改变了“全国通用教材”的应用题范围不明确；编排分散，缺乏联系；与运算意义联系不紧密，不便于学生分析应用题和选定正确的运算方法；变化少，不利于发展学生思维能力等问题。确定了“按照由易到难、由具体到抽象”的教材组织原则；通过操作、直观突出应用题数量关系的分析，以及与运算意义的密切联系，并突出应用题之间的内在联系的教材编排思路。再如，曹飞羽先生在实验研究的基础上，在“谈小学数学教学中培养学生解答应用题的能力”一文中，从国内外研究趋势、大纲采取的措施等几个方面进行了深刻的分析和阐述，并提出了非常有价值的教学建议。［7］（119—142）

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再次，在教学方面，研究者也在不断总结、提升。如曹培英先生在教学实验研究的基础上，从“应用题及其加工度”“简单应用题及其教学研究”“分数应用题教学探讨”等方面对“在小学应用题教学中如何培养学生解决问题的能力”进行了深入的研究。



由此可见，在如何培养学生解决问题的能力这一问题上，我国数学教育工作者，与世界各国的数学教育工作者一样，一直在进行着理论的研究和改革的尝试，并不断取得许多有益的成果和经验，而且世界各国的“问题解决”改革有一些共识。1.问题解决不仅是学习数学的一个目标，而且也是学习数学的一种主要方式。2.“过程”应与“结果”并重，使学生通过解决问题掌握新的数学知识。3.“培养学生解答应用题的能力”是培养学生运用所学数学知识解决简单的实际问题的基本内容和重要途径，并且在具体的课程设计上也有一些共同趋势。



他山之石可以攻玉，美国关于“问题解决”的研究在理论和实践两个方面都积累了丰富的经验和教训，可以为我国正在进行的数学课程改革提供重要的启示和借鉴。但是，如何根据我国的国情，继承和发展我国在“解决问题”方面的各种理论和实践成果，恐怕是更值得思考和研究的问题。不难看出，在我国当前的国情下进行“问题解决”课程改革，认真分析、比较国内外已有的成功经验，继承并发展这些成果，进行长效的对比实验，研究出培养学生解决问题能力的课程设计方案，恐怕才是一条科学合理的改革之路。



作者简介：周小川（1976—  ），女，辽宁沈阳人，课程教材研究所助理研究员，人民教育出版社小学数学编辑室编辑，数学教育学硕士，主要研究小学数学课程与教材。

人间

充分反映了美国在此方面理论研究水平和教学实践认识的不断提高。