建构主义与数学教育辨析

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建构主义(constructivism)的教育理论，从哲学上看，乃是一种认识沦。它是认知心理学的新发展，在教育学领域中具有方法论上的意义。

建构主义目前日渐流行，主要观点就是，知识不是通过感官或交流被动获得的，而是通过认识主体的反省抽象而主动建构的；有目的的活动和认知结构的发展存在着必然的联系；儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展。

    以下简要阐述建构主义理论涉及数学教育的一些论述，并做一些辨析。

    一、什么是数学知识?

    建构主义学说认为，数学知识并非绝对真理，即不是现实世界的纯粹客观的反映。数学只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，并将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，直至出现新的解释和假设。

举例来说，欧氏几何学中的点没有大小，边没有宽度。但是，黑板上画的三角形，线条却有宽度，也不笔直，都不是抽象的几何意义上的三角形。每个人头脑中的三角形的大小、形状是不一样的，各人有各人对三角形的不同解释，但是彼此能够理解。这种几何学的三角形，只存在于人的头脑之中，是人的头脑主动建构的结果。

学习有些数学内容，很像学习下象棋，那些走棋的规则，输赢的判定，都不是来源于现实，而是人们之间的一种约定。作为一种约定的数学，也只能靠主观建构。

这就是说，人脑不是照相机，数学知识经过了人脑的加工，在很大程度上是人的思维的产物。马克思主义认识论也主张“能动的反映论”，反对“机械反映论”。

    但是，一部分建构主义学者认为，数学知识依个人的主观认识而定，任何知识在为个体接受之前，对个体来说是没有什么意义的，也无权威可言。人的认识是否符合客观现实，是不能检验的，也不必要检验。这就会导向“不可知论”。实际上，经过人们反复实践的检验，现实世界是可以认识的，科学真理(包括数学真理)确实是现实世界的反映。人的能动性反映在于对客观真理的发现：整理、抽象、组织和系统化。如果听信某些极端建构主义学者的观点，就会走向主观唯心主义，需要注意分辨。

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二、什么是数学理解?

    既然建构主义学说认为“数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外”，那么真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来。理解，取决于个人特定情况下的学习活动过程，否则就是死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习。按照建构主义的观点，数学课本上的知识只是一种关于某种现象的较为可靠的解释或假设，并不是解释现实世界的“绝对参照”。

    建构主义在这里强调“学生是学习的主体”。学生的理解只能由学生自己去进行，而且要通过对新知识进行分析、检验和批判才能真正做到理解。这无疑是正确的。例如，三角形内角和为180度，可以量一量就相信了。但是，要真正理解它，则必须批判地采用“量”的论证方法。“量”是不严密的，通过平行公理推论之后，才是可靠的数学结论。批判之后才会有真正的“理解”。因而，现在教科书中，用量一量的办法来说明三角形内角和定理的正确性，只不过是一种“解释”而已，不是绝对参照。

    建构主义的有些观点，我们需要进行分析。例如一些作者认为，任何知识在为个体接受之前，对个体来说是没有什么意义的，也无权威可言。所以，教学不能把知识作为预先决定了的东西教给学生，不要以我们对知识的理解方式来作为让学生接收的理由，用社会性的权威去压服学生。这种观点完全排除了人类积累的知识的权威性，否定“接受性”学习，否定教科书的重要性，否定教师的主导作用，那就会走向主观唯心的误区。

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三、儿童如何学习数学

    建构主义者认为，学习有两种方式：一种是复制式(transcriptive)，另一种是建构式(constructive)。

建构主义教育理论批评以前那种通过老师的讲授、学生练习，最后用测试手段检查学生是否掌握就完了的数学教学。这种教学法假定学生能在自己头脑中建立教师观念的完整的复制品。然而事实是，儿童常常出现系统错误和误解，原因在于他们不能建构地理解数学，因而执行了不正确的演算过程。

建构主义学者还通过大量案例分析发现：儿童入学前就发展了许多非形式数学知识，这些知识对儿童来说很有意义也很有趣味；非形式数学常常是主动建构而不是被动接受的。儿童入学后才学习用符号写成的形式数学，然而研究表明，“儿童常常不按照教师的方式去做数学”。也就是说，儿童不只是模仿和接受成人的策略和思维模式，他们要用自己经验中已有的数学知识去过滤和解释新信息，以至同化它。如果儿童看不出教师所呈现的信息和他们已有的数学知识之间的联系，那么，教师的讲授如同对牛弹琴。

    比如，美国有一个学生，认为“6是奇数”，理由是6可以写成2×3，而3是奇数，所以6是奇数。这就是说，这位学生有他自己关于奇数的定义，他根据自己学习数学的经验，用自己的方式理解数学。这表明，我们只是按照教师自己理解的方式强迫学生接受是不可取的。

建构主义的这些观点当然有一定的道理。数学教学应该符合学生的年龄特征，知识基础及个性特点。教学不能不顾教学对象而盲目施教，但是，大多数学生的数学基础，思维习惯、认知规律还是相仿的，有共同的一般规律。这是学校教学的主要依据。个别教育可以做一些，但要和班级的集体教学互相配合与补充，完全否定集体教学也是不对的。

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四、教师如何开展课堂教学

    目前大多数学校里的教学程序是：复习(介绍性地)、讲解新课、课堂练习(个别)。这种教学法受到建构主义者的批评。他们认为，传统教学方式不仅不能向学生提供使用高认知水平技能的场所，而且容易使学生产生误解(missconception)。

    建构主义强调，儿童并不是空着脑袋进入学习情境中的。儿童和成人(专家)对同一数学观念的理解有很大差别，而且基于不同的体验和材料，观念也具有不同的形式。但是，人们的主观建构是不可知的。教师无法确切地知道学生的结构是怎么样的。我们能够做的是相互交流，尽可能找到一部分的共同点。正如以上提到的下象棋一样，数学规则的掌握也是依靠交流，彼此遵守一些约定，能够寻求某些共识。具体做法包括：(1)通过使用的语言，选择的参照，选取的例子来评估他们结构之间的一致性；(2)通过考虑那些内在一致的结构之间的表面水平来评估另一个人的建构能力。不管他们表面形式    多么不同，教师必须尽可能地考虑学生的建构，以便提供有效的合理的指导。

    这样一来，数学教师就不能无视学习者的已有知识经验，简单地从外部对学习者进行“填灌”，而应把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中生长出新的知识经验。在建构主义的课堂上，教师不是知识权威的象征，也不应仅仅作为知识的呈现者，而应该重视学生自己对各种现象的理解，倾听他们的看法，思考他们这些想法的由来，并以此为依据，引导学生丰富或调整自己的解释-邑之，教学不是教师简单去告诉学生就可以奏效和完事的。

与传统教学的三个假设相对应的是，建构主义指导下的课堂教学是基于如下三个基本假设。

教师必须建立学生理解的数学模式，应该建立反映每个学生建构状况的“卷宗”，以便判定每个学生建构能力的强弱；教学是师生、生生之间的互动；学生自己决定建构是否合理。

    根据上述教学目的和假设，一个数学教师在建构主义的课堂上要做以下六件事。

    *加强学生的自我管理，激励他们为自己的学习负责；

    *发展学生的反省思维；

    *建立学生建构数学的“卷宗”；

    *观察并参与学生尝试、辨认与选择解题途径的活动；

    *反思与回顾解题途径；

    *明确活动、学习材料的目的。

    这些都说明，教师要关注学生的思想及他们对自己研究的问题建构的数学意义，鼓励学生提出多种解题的方式、寻求对别人解法的理解、承担发现和改正错误的责任。为了适应建构主义指导下的数学教学，教师必须理解学生的数学现实、理解人类思考数学的现实、理解教室现实。

这样的教学方式，完全是个性化的教学，符合自主探索、创新的学习要求。但是，这样的教学如果取消了班级授课和共同练习，不再进行集体检测和评价，教学效率就会降低。因此，实际上是否可行，值得怀疑。

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五、谨慎地吸收建构主义的合理成分

我们要再次提出，建构主义确实对人的认识过程，包括学生的学习过程进行了认识沦的分析，具有一定的科学价值。但是，正如我们前面所提到的那样，建构主义在哲学上具有主观唯心主义的成分，在如何将建构主义运用到数学教学时，更有一些过分极端的提法。例如，在美国的《数学论坛》网站(http：//www．Mathfonum．com)上对“什么是建构主义?”的回答是：

“学生需要对每一个数学概念构造自己的理解，使得‘教’的作用不再是演讲、解释，或者企图去‘传送’知识，而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键，是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话。”

照这样的定义，教师不要演讲了，也不能传授知识了，教师只要创设环境让学生去建构就行了。于是，教师在课堂上的“主导作用”“示范作用”不再提了，教师只能是旁观的“组织者、合作者、引导者”，这样的提法是有害的。

    事实上，我们同样主张“学生是学习的主体”，从来拒绝“学生头脑是一只空桶，可以往里面注入知识”的说法。俗话说“师傅领进门，修行在个人”，也是这个意思。但是，教师有传承前人经验的任务，教师在课堂上既赋有“传授”知识的任务，也具有主导课堂教学的责任。所需要的是教学应当运用启发式，符合学生主体认识的规律。

    此外，建构主义毕竟只是一种认识论，但是教学过程不能等同于认识论。认识论的研究只关注如何认识事物，却不管认识的速度和效率，而教学则是有目的、有计划的、按照课程标准目标实行的班级集体认识活动。数学课程的目标，是要把几千年来人类积累的数学知识的基础部分，在短短的十来年中让学生学习并能理解和掌握，这需要很高的教学效率。但是，建构主义教学任凭学生按照自己的兴趣去自由摸索，却根本不谈认识效率。没有效率的教学是走不远的。

    总之，对于建构主义学说，我们应当吸取其中的精华，拒绝一些“极端的”“唯心的”成分，才能真正有助于我国的教育改革。