南京之行，我的转化之旅

yuanding

2009年3月23日，本文作者受邀参加了江苏省小学数学网站建设研讨暨第二届网友教学观摩会，并执教了六年级（下册）《解决问题的策略──转化》一课。本文详细的记录了从课前到课后的一系列教学感悟。



[正文]

感谢大家

感谢省教研室，感谢小数网和全体版主朋友们，给我这次锻炼机会，感谢大家的真知灼见，感谢夫子庙小学全体师生。元月5日接到通知，知道有这样一次版主同课异构的教学活动，一开始是有些顾虑，这次虽说是只面向全体版主开设的教学观摩，毕竟是上至省教研室教材组下至大市教研室和遍及全省各地的教学骨干云集一堂的全省大型观摩交流，上好可以一课成名，上不好一课败名。是申报还是放弃？快四十的人了，中学高级也上了，毁我半生英名？哈哈，啥英名？咱也没有成名成家，怕啥。况且本来就是一次同课异构的研讨活动，自己对转化以及教材的编排有一些认识和理解，何不积极争取这样的机会尝试一下，让同课异构真正体现不同思路的碰撞。于是利用休息日在截稿日期前设计了一份转化教学设计。之后，因为学校开学事情繁杂，忙得忘了自己。三月初，接到通知，3月22日报到，23日上课，于是才正式深入思考起来，先简单说说教材。

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教材浅析

大家都知道转化是苏教版国标小学数学“解决问题的策略”教材体系的最后一个知识点。是继列表、画图、枚举、倒推、替换之后的一次系统学习转化策略教学课，但是，转化这一策略没有前面学习的各种策略来得具体，它的内隐性和不确定性让我们产生迷茫。究竟策略要不要教？

一种观点认为策略是方法的上位概念，是解决问题的方向，是一种思路，是一些优秀解决问题方法的综合体，或者叫做一种解决问题的智慧。是智慧而不是具体的方法，只能潜移默化地渗透。因此，策略不好直接编排来教学，可以编排来教学的是方法。

另一种观点认为策略是解决问题思路，思路总有路可循，我们就是要让学生在这样的思路探寻中获得体验，体验各种不同策略的优势，掌握一定的策略指导自己解决问题的方向。他们认为策略可以教。但是又不知道从哪里教起？不知道应该教到啥程度为止？个人观点，策略是可以传授的。关键教材要精选一些典型的用处较大的策略来教学。而且找准教学的载体。实际上，转化对于学生而言不是新知识，而是将已往运用转化解决实际问题集中于此，加以梳理，概括，总结，提升。让学生体验到转化并不陌生，转化随处可见。同时体验到转化是学习新知识、掌握新技能的重要手段。学生在一年级学习加减法时，已经运用转化的策略解决问题了，如凑十法的化零为整，破十法的化整为零。除数是小数的除法转化为除数是整数的除法、异分母分数加减法转化为同分母分数加减法、小数乘法转化为整数乘法等等，在图形领域那就更多了，几乎所有的图形的面积公式、形体的体积计算公式都运用了转化策略来推导。

虽然学生已经自觉不自觉运用过转化策略解决问题，但是对于学生来说，以前的学习都是零散的，浅层次的，或者叫渗透于各知识领域，学生在这样的学习经验基层上，我们只能尊重学生要有经验。所以本人的设计从学生已有经验开始，让学生在复习旧知中回顾总结，概括转化方法，并上升到策略高度来审视已学知识。还可以架构知识之间的内在联系。突出转化策略在学生新知学习中有着及其广泛的应用，体验到转化策略的普遍性和实用性。在此基础上，指导学生有意识运用转化解决一些具体问题，使学生感受到，转化不仅能让新知识转化为已学的旧知识，还能让一些复杂的问题简单化。突出本课两个教学重点：化新为旧，化繁为简。无论是化新为旧，还是化繁为简，必须遵循等量转化的原则。在图形中可以是等积变形，可以是等周变形，在数学与代数领域可以是等结果变形。无论是谁转化为谁，抓住其中的不变量是我们实施有效转化的关键。至于转化的方法，本人认为只有图形领域的方法是具体的普遍适用的，有的老师把它概括为平移和旋转两种方法。实际平移和旋转都需要将一部分割下来，移拼到另一个地方去，所以我认为在图形领域中的转化方法运用得最广泛最显著的是割补法。数形结合不是解决问题的具体方法，只不过是解决问题的一个拐杖，一种寻找解决问题的突破口。而且，画图是一种解决问题的策略，四年级时已经学过。我们不能说数转化成形问题就解决了。再如有的老师在教学看图写分数最后一题时，将换一种思路或者倒过来想看成转化的具体方法，我觉得这样做不科学。不仅因为倒过来想不符合转化的特征，而且与学生已经学习的策略出现重叠现象。转化，要弄明白谁转化成了谁？

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我的设想

在设计教学预案时，课前活动我编排了讲故事。可以选择的故事有很多，但是要注意故事情节和教学内容的衔接渗透，也就是要做到课前孕伏，产生无心插柳柳成荫的效果。于是我把范围缩小到三则故事，一是司马光砸缸，一是爱迪生巧测灯泡容积，还有一个是曹冲称象的故事。经深入研究，司马光砸缸的故事其实是一种转换角度解决问题的例子，但也可以理解为人从水中出来转化为水从缸中出来，但是这样的转化实在是特例。爱迪生巧测灯泡容积的故事，经深入分析，首先生活中学生很少见到灯泡，现在日光灯、节能灯盛行。而且即使学生见到的也是完整的灯泡，学生不易理解将水装进灯泡中去。还因为，学生在理解和表达其中的转化时，表述上有难度，因为这里是将测量灯泡的容积转化为策略一个圆柱或长方体容器中一段水的体积。我在第一次试讲时，有学生说直接将灯泡浸没在水中，实际上不考虑玻璃的厚度以及灯泡金属部分的体积完全可以这样去做的，而实际上这样去策略产生较大误差又有啥意义呢？所以我在第一次试讲时就将这一故事改编了：爱迪生将一个没有封口的灯泡交给助手测量它的容积（因为彩色灯泡就是要灌入稀有气体才发出彩色光线）……这样才可以有往灯泡中灌水的说法，这样才合情合理。但是还是对转化前后的对象不容易表述。所以我基本否定了前两则故事，而是将曹冲称象的故事。这个故事学生听过不知道多少遍呢？在课前对话中可以和学生一起讲，老师先篡改题目：刻舟……，学生一定会接“刻舟求剑”，然后抛出“刻舟称象”，学生才恍然大悟。于是乎知道是啥故事，于是可以开始师生的课前对话了。接着我按照先复习旧知，复习两道心算题开始引入，把学生曾经的回忆焕发起来。接着回忆小学阶段在数与形两个领域中学习过的转化，体会转化的基本特点：化新知为旧知。也就将一个新问题，不断变形转化为已经能够解决的问题。其实在化新为旧中还包含了化曲为直（如圆周长绳测法，滚动法等），化形为数（用字母公式表示面积计算等），化数为形（在学习小数、分数的认识时总是离不开形的），化新为旧只是按照新旧知识类型来区分的。接下来按照难易程度，转化也可以将一些复杂的问题简单化，引入例题探究。书上两个例题是直接出示，比较面积大小的。按照思维层次性和必要性，我将例题改编为先出示两个没有方格的不规则图形比较面积大小？有学生会说：面积是一样大的。这时候的学生思维状态是一种猜测。如果学生说割补转化就面积一样了，这样的思维是顺应。猜测和顺应都不是理性思维，也是没有根据的，数学需要的是科学的证明，需要的是精确。此时，出示第二层次的带方格图。一般到六年级的学生不会说数一数方格的方法可以解决问题，比较出大小。因为学生在以前学习面积公式推导时数方格只是一个拐杖，是一个脚手架，而且时间相距较远。但是也要让学生明白数方格可以解决。通过图形观察，发现空缺的部分和多出来的部分有着大小相等的关系。于是运用平移（左图）和旋转（右图）可以将两个不规则的复杂图形转化为规则的简单图形。使问题得到解决。解决问题不是目的，而是要让学生在这样一个问题的解决过程中得到更多的情感和策略上的体验。明确在这样的图形面积转化中，什么变了？什么没有变？当学生发现形状变了，面积没有变的时候，要揭示等积是这一系列问题变形原则。用抓住不变量来理解，实际上是等量转化，这个量可以是面积，也可以是周长，也可以是体积（如圆柱体积公式的推导，如测量土豆、苹果等不规则形体的体积的方法），还可以是计算结果（如简便计算，分数除法转化为分数乘法求结果等等）

接下来，在解决填分数和巧算面积中增强学生对转化的认识。特别是书上填分数的第三图是比较难的，本人认为这样编排不尽合理，本人作了些许调整，有16格改为9格。降低难度，理解可以零散地拼（化零为整），也可以平移，也可以旋转，还可以跳出涂色看空白（换一个思路）突出解决这一问题方法的多样性。我认识对学生不能强求，难道一定要学生在这里学会所有的方法吗？为什么很多学生会说涂色部分占大正方形的4/9呢？一来是学生没有较高的空间抽象思维水平，二来是手里没有可操作的材料，先通过零散地拼已经是5/9了，怎么会出现4/9呢？即使有了操作材料还会有部分学生剪下来放端正的，就坚持认为是4/9，至于比4格多一些是图不标准有误差，难道没有这样的学生吗？上帝说允许有部分学生考零分。所以，什么皆有可能。

周长问题和后面的两个实际问题，按照教材的编写意图，周长问题是试一试，运用策略，体验策略的价值，1/2+1/4+1/8+1/16 是想突出算式向图形转化，在图形中发现还可以倒过来看，从求和转化为求差。其实，单纯从算式学生一下子想到去画一画图那是不可能的。除非学生之前看到书上有图，或者老师课前渗透。我就不明白为什么这里一定要编排这样一道题目，是突出数形结合还是突出化数为形，是突出倒过来想，还是突出化加为减，抑或全有。其实这里还可以采用拆分法来理解，还可以采用先借后还的思路去理解。殊途同归是真的。在转化的第一课时就研究这样复杂的问题有点不是时候。而且这是面向全体的数学课，不是面向少数人的奥数班。另外我觉得足球赛这个素材也不是很好，难道一定要画图出来吗？只要理解第一轮第二轮一直到最后的决赛一共是几轮，每一轮赛几场。换句话，场数是队数折半折半再折半一直加到1得来的。为什么是折半？因为是单场淘汰赛。再引发学生思考，一共赛多少场，和参赛队数之间有啥关系？为什么是少1的关系（因为冠军最后剩下一个队）。这里用到转化了吗？找一找，当然有，化加为减，化繁为简。实际这一题最突出的是倒过来思考。在大家都关注计算多少场比赛时，还可以想一想最后只有一个冠军，因此要淘汰（总队数-1）个队，也就是赛（总队数-1）场比赛。

最后，结合数学史料给学生简单介绍一下转化在我国古代数学研究中的作用。不知道是起到了烘托的效果还是起到画蛇添足的效果。

说真的，不管南京之行课上得怎么样，有没有达到自己的预设目的，有没有达到领导和网友朋友的期望值，我觉得还需要表扬和鼓励一下自己。在小学数学强手如林的江苏，在专家满座的省会南京，在才如泉涌的各路网友面前有胆量有勇气把自己作为靶子扛出来就是一种自己战胜自己，自己超越自己的表现。好样的，继续加油，要的就是这种永远向上，不断进取的精神。

为什么说南京之行是我的转化之旅，一来是执教转化这节课，二来是自己在认识上承蒙各位指点，即使是蜻蜓点水般的浮光掠影，抑或马踏飞燕一般的含沙射影，我也能感受到大家的真知灼见对于我的进步是多么重要。再次感谢各位！欢迎到华士一聚。