让数学思维与操作活动共舞

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著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“学生应该再创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象，图式化而不是图式，形式化而不是形式，算法化而不是算法，用语言描述而不是语言 ……”我们可以理解为，在指导学生数学学习的过程中，教师应该把着眼点放在学习活动的过程而非结果上，要让学生主动经历各种“化”的过程，在这个“化”的过程中自主地建构起图式、算法、概念等数学知识、意象。教师在此过程中，要有效   地帮助学生将“客观的数学知识”转化为学生“主观的数学知识”，并逐步将数学思想方法转化为学生的思想方法。因此在低年级计算教学中，让学生进行操作活动时，我们应该注意以下几个问题。

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一、关注学具操作的过程，让学生自主探索计算策略

    低年级的计算教学活动，一般是离不开学具操作的。但这个操作过程，到底让学生有些什么收获、对促进算法建构有些什么帮助呢?马克思把自觉自由的活动视为人的内在本质。在数学操作活动中，我们不妨把这种“自觉自由”理解为让学生有目的地操作、能主动地操作、有策略地操作。  

低年级学生在遇到新的计算问题时，无需老师的指令，一般会自发产生使用学具的念头。因为这由他们的思维特点所决定的。在这种主动操作的情境中，学生会对自己从事的操作活动进行一定的策划部署，往往会出现一些不同的操作策略，并且实现异曲同工之妙。例如在探索“13－9=?”时，无需老师提醒摆法，学生会根据已有经验进行操作，其操作策略应是多样的：其一，从13中逐一地数掉9个，最后剩下4；其二，先从10中去掉9，所剩下的l与3合成4：其三，先从13中数掉3得10，再从10中数掉6，最后得4。当然在多种操作方法中，第一种是最“原始”的，不宜提倡，后两种均反映了学生的创造性思维活动过程，具有思维价值。在小组活动中，这些不同操作方法会得以展示、比较，先进的方法将会影响原始的方法，在互动交流中，学生探索到了解决新的计算问题的妙法。在此过程中，教师应充分相信学生，给予足够的操作活动时空，放手让学生自主探索。

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二、关注数学抽象的过程，让学生自主建构算法图式
数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”可见在计算教学时把数与形结合起来，通过
动手操作，引导学生从数学方面进行形象思维，数形结合，深刻帮助学生理解算理，是十分重要的。低年级计算教学尤应如此。
当学生通过操作活动获得算法的物化图式后，教师应当引导学生经历有效的数学抽象过程，通过学生头脑中的智力操作，使物化图式转化为心理图式。因此，教师要科学合理地设计数学抽象的过程，让学生经历从具体到半具体，再到抽象的这一完整数学化过程，主动建构起头脑中的算法图式。比如教学“13－9”时，在学生通过操作学具得出正确结果后，教师应该引导学生将外显的操作过程进行分步抽象、逐步内化。在交流摆小圆片过程的基础上，教师可以利用课件引领学生进行静态观察和反省抽象，归纳呈现出如下图(左)的“破10法”的半直观、半抽象图式。接着启发学生进行算理抽象成下图(右)，用算法化来完成心理图式的转化。当这种算法图式得到熟练运用之后，外化的直观动作便会渐渐取消，形成内化的思维活动，学生的计算能力就会在其中得到了有效培养。这样的操作活动过程才是有价值的，才能为后续的学习奠定基础。

三、关注语言表述的过程，让学生自主内化运算法则

语言是思维的外壳，是思维的物质形式。在计算教学中，算理算法的内化必须伴随着语言的内化过程而内化。因此在指导学生通过实践操作探索计算方法时，必须注意把动手操作与动脑思考、动口表述有机结合起来，这样才能让学生的感知有效地转化为内部的智力。

教师应该充分关注语言表述、内化算法的过程，让这个过程真真切切地由所有学生来体会、完成。我们可以为语言表述算法的过程设置一定的阶段，先让中下等学生打头阵，让他们充分暴露出认知上的真实问题，使其成为课堂交流讨论的宝贵资源，让这些学生在充分的参与中真正理清算理、掌握算法。对这类学生的语言表述，我们不能提过高的要求，只要学生能把算法用较直观的语言加以描述即可，不必过分强调精准。对部分学生在初次操作、抽象之后仍不能进行语言概括表述的，教师甚至还可以让其再次回顾操作过程，逐步帮助其进行抽象、概括、表达，也可以让其与其他学生的思维进行碰撞，擦亮他们自己头脑中的思维火花。