2007年福建省福州市初中毕业考试数学试卷

咫尺天涯

一．选择题(共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂)

　　01．－3的相反数是（
）。


　　A、3     B、－3     C、±3     D、


　　02．第九届海峡交易会5月18日在榕城开幕，推出的重点招商项目总投资约450亿元人民币，将450亿元用科学记数法表示为（
）。


　　A、0.45×1011元     B、4.50×109元     C、4.50×1010元     D、450×108元


　　03．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（
）。


　　A、1     B、     C、     D、


　　04．解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（
）。


　　A、     B、     C、     D、


　　05．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（
）。


　　A、3cm     B、4cm     C、5cm     D、6cm

　　06．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（
）。


　　A、正三角形     B、正方形     C、正五边形     D、正六边形


　　07．下列运算中，结果正确的是（
）。


　　A、a4＋a4＝a8     B、a3·a2＝a5
C、a8÷a2＝a4     D、(－2a2)3＝－6a6


　　08．下列命题中，错误的是（
）。


　　A、矩形的对角线互相平分且相等     B、对角线互相垂直的四边形是菱形


　　C、等腰梯形的两条对角线相等     D、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等


　　09．已知一次函数y＝(a－1)x＋b的图象如图所示，那么a的取值范围是（
）。


　　A、a＞1     B、a＜1     C、a＞0     D、a＜0


　　10．如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，下列结论：①4a－2b＋c＜0；②2a－b＜0；③a＜－1；④b2＋8a＞4ac。其中正确的有（
）。


　　A、1个     B、2个     C、3个     D、4个


　　提示：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是，顶点坐标是


　　二．填空题(共5小题，每题4分，满分20分。请将答案填入答题卡的相应位置)


　　11．分解因式：x2－6x＋9＝
。


　　12．当x
时，二次根式在实数范围内有意义。


　　13．如图所示，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE∽△ACD，需添加一个条件是
(只要写一个条件)。


　　14．已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是___________(结果保留π)。


　　15．如图所示，∠AOB＝45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…。观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积S10＝
。

　　三．解答题(满分100分。请将答案填入答题卡的相应位置)


　　16．(每小题8分，满分16分)


　　(1)计算：


　　(2)先化简再求值：，其中x＝2。


　　17．(每小题8分，满分16分)


　　(1)为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案。图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形。种植花草部分用阴影表示。请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案。


　　提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种。

　　(2)如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，－1)。


　　①把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；


　　②以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标。

　　18．(本题满分10分)


为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八(1)班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图。如下所示：

组别	次数x	频数(人数)
第1组	80≤x＜100	6
第2组	100≤x＜120	8
第3组	120≤x＜140	a
第4组	140≤x＜160	18
第5组	160≤x＜180	6

　　请结合图表完成下列问题：


　　(1)表中的a＝
；


　　(2)请把频数分布直方图补充完整；


　　(3)这个样本数据的中位数落在第
组；


　　(4)若八年级学生一分钟跳绳次数(x)达标要求是：x＜120为不合格；120≤x＜140为合格；140≤x＜160为良；x≥160为优。根据以上信息，请你给学校或八年级同学提一条合理化建议：________________________________________________________________________________。


19．(本题满分10分)


　　如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠D＝30°。


　　(1)求证：AD是⊙O的切线；


　　(2)若AC＝6，求AD的长。

20．(本题满分10分)


李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查。了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋记件奖金”的方法，并获得如下信息：

营业员	小俐	小花
月销售件数(件)	200	150
月总收入(元)	1400	1250

假设月销售件数为x件，月总收入为y元，销售每件奖励a元，营业员月基本工资为b元。


　　(1)求a、b的值；


　　(2)若营业员小俐某月总收入不低于1800元，那么小俐当月至少要卖服装多少件？


21．(本题满分12分)


　　如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连结PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)


　　(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD；


　　(2)当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)？


　　(3)当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。

22．(本题满分12分)


　　如图①，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系。点D的坐标为(8，0)，点B的坐标为(0，6)，点F在对角线AC上运动(点F不与点A、C重合)，过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E。设四边形BCFE的面积为S1，四边形CDGF的面积为S2，△AFG的面积为S3。


　　(1)试判断S1、S2的关系，并加以证明；


　　(2)当S3∶S2＝1∶3时，求点F的坐标；


　　(3)如图②，在(2)的条件下，把△AEF沿对角线AC所在的直线平移，得到△A’E’F’，且A’、F’两点始终在直线AC上。是否存在这样的点E’，使点E’到x轴的距离与到y轴的距离比是5∶4，若存在，请求出点E’的坐标；若不存在，请说明理由。

23．(本题满分14分)


　　如图所示，已知直线与双曲线(k＞0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4。


　　(1)求k的值；


　　(2)若双曲线(k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；


　　(3)过原点O的另一条直线l交(k＞0)于P、Q两点(P点在第一象限)，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。

　　参考答案


　　一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分.）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	A	C	D	D	C	C	B	B	A	D

二、填空题：（共5小题，每题4分，满分20分.）


11. （x - 3）2
12.  ≥ 3    13. ∠B  = ∠C、 ∠AEB = ∠ADC、 ∠CEO =∠BDO、AB = AC、BD = CE (任选一个即可)   14. 8π   15. 76


　　三、解答题：(满分100分)


　　16.（每小题8分，满分16分）


　　
（1）解：原式 = 6 – 1 + 9 = 14                                            


　　
（2）解：原式 = = =


　　
当 = 2 时，原式 = =


　　17.（每小题8分，满分16分）


　　(1) 以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一. （满分8分）

　　(2) 画图答案如图所示：


　　① C1 ( 4 ,4 )；


　　② C2
(- 4 ,  - 4 )（满分8分）.

　　18.（本题满分10分）


　　(1) = 12 ;              


　　(2) 画图答案如图所示：



　　(3) 中位数落在第   3  组 ;   


　　(4) 只要是合理建议.

　　19.（本题满分10分）


　　(1) 证明：如图8，连结0A.

　　∵
,   ∴
∠B = 30°.   


　　∵
∠AOC = 2 ∠B ,    ∴
∠AOC = 60°.


　　∵
∠D = 30°,  ∴
∠OAD = 180°- ∠D - ∠AOD = 90°.


　　
∴ AD是⊙O的切线.                    


　　(2) 解：∵ OA = OC ，∠AOC = 60°,   


　　
∴
△AOC是等边三角形 .   ∴ OA = AC = 6 .                     


　　∵
∠OAD = 90°主题:，∠D = 30°, ∴ AD = AO = .


　　20. （本题满分10分）


　　解：①依题意,得 ，



　　
解得     ,     .                                    


　　
②依题意,得
≥ 1800, 即3 + 800 ≥ 1800, 解得
≥ .                                 


　　答：小俐当月至少要卖服装334件.                           


　　21. （本题满分12分）


　　（1）解法一：如图9-1

　　延长BP交直线AC于点E         



　　∵ AC∥BD , ∴
∠PEA =∠PBD .



　　∵
∠APB =∠PAE + ∠PEA ,      


　　∴
∠APB =∠PAC + ∠PBD .



　　解法二：如图9-2

　　过点P作FP∥AC ,



　　∴
∠PAC =∠APF .



　　∵ AC∥BD ,   ∴FP∥BD .           



　　∴ ∠FPB =∠PBD .                    


　　 ∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC  + ∠PBD .


　　解法三：如图9-3，

　　∵ AC∥BD ,  ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°  


　　即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.


　　又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,      


　　∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .            


　　（2）不成立.                        


　　（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是


　　∠PBD=∠PAC+∠APB .


　　(b)当动点P在射线BA上，


　　结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .


　　或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，


　　∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.


　　(c) 当动点P在射线BA的左侧时，


　　结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .      


　　选择(a) 证明：


　　如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M

　　    ∵ AC∥BD ,


　　∴ ∠PMC =∠PBD .


　　又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,


　　∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .      


　　选择(b) 证明：如图9-5

　　∵ 点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.


　　∵ AC∥BD ,  ∴∠PBD =∠PAC .   


　　∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB


　　或∠PAC =∠PBD+∠APB  


　　或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.                          


　　选择(c) 证明：


　　如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F

　　∵ AC∥BD ,       ∴∠PFA =∠PBD .


　　∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,


　　∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .        


　　22. （本题满分12分）


　　（1）S1 = S2                       


　　证明：如图10，∵ FE⊥轴，FG⊥轴，∠BAD = 90°,

　　∴ 四边形AEFG是矩形 .


　　∴ AE = GF，EF = AG .            


　　∴ S△AEF = S△AFG ,同理S△ABC = S△ACD .


　　∴ S△ABC-S△AEF = S△ACD-S△AFG . 即S1
= S2 .                         


　　（2）∵FG∥CD ,  ∴ △AFG ∽ △ACD .


　　   ∴ .


　　∴ FG = CD，  AG =AD .


　　∵ CD = BA = 6， AD = BC = 8  , ∴ FG = 3，AG = 4 .  ∴ F（4，3）。



　　（3）解法一：∵ △A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的 ,


　　∴ E′A′= E A = 3，E′F′= E F = 4 .① 如图11-1

　　∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5∶4 ,  若点E′在第一象限 ,


　　∴设E′（4, 5）且 > 0  ,           


　　延长E′A′交轴于M ，得A′M = 5-3,  AM = 4.


　　∵ ∠E′=∠A′M A = 90°, ∠E′A′F′=∠ M A′A ,


　　∴ △ E′A′F′∽△ M A′A  ，得 .


　　∴   .   ∴ = ，E′( 6, ) .


　　② 如图11-2

　　∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5∶4 ,


　　若点E′在第二象限，∴设E′（-4, 5）且 > 0,


　　得NA = 4, A′N = 3 - 5，


　　同理得△A′F′E′∽ △A′AN .


　　∴ ，      .      


　　∴ a = ，     ∴ E′(, ) .        


　　③ 如图11-3

　　∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5∶4 ,


　　若点E′在第三象限，∴设E′（ -4,- 5 ）且 > 0.


　　延长E′F′交轴于点P，得AP = 5, P F′= 4 - 4 .


　　同理得△A′E′F′∽△A P F′ ，得，


　　 .∴ = （不合舍去）.  


　　∴ 在第三象限不存在点E′.


　　④ 点E′不可能在第四象限 .   


　　∴ 存在满足条件的E′坐标分别是( 6, )  、(, ) .                  


解法二：如图11-4，∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上,

　　∴ 点E′在过点E（0，3）且与直线AC平行的直线l上移动.


　　∵ 直线AC的解析式是,   


　　∴ 直线l的解析式是 .                                


　　根据题意满足条件的点E′的坐标设为（4, 5）或（ -4,5）或（ -4,-5）,其中
> 0 .


　　∵点E′在直线l上 , ∴ 或
或


　　解得（不合舍去）.  ∴ E′（6, ）或E′（, ）.   


　　∴ 存在满足条件的E′坐标分别是( 6 , )  、(, ) .         


　　解法三：


　　∵ △A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上 ,


　　∴ 点E′在过点E（0，3）且与直线AC平行的直线l上移动 .


　　∵ 直线AC的解析式是,       ∴ 直线L的解析式是.



　　设点E′为（, ） ∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5︰4 ,∴ .                                            


　　① 当、为同号时，得
解得    ∴ E′（6, 7.5）.                                             


　　② 当、为异号时，得
解得  ∴ E′（, ）.                                       


　　∴存在满足条件的E′坐标分别是( 6, )  、( , ) .        


　　23. （本题满分14分）


　　解：(1)∵点A横坐标为4 ,  ∴当
= 4时，
= 2 .


　　∴ 点A的坐标为（ 4，2
）.                                 


　　∵ 点A是直线与双曲线（k>0）的交点 ,


　　∴ k = 4 ×2 = 8 .                  


　　(2) 解法一：如图12-1，

　　∵ 点C在双曲线上，当 = 8时， = 1


　　∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) .                                


　　过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .


　　S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM =  4 .               


S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .      


　　解法二：如图12-2，

　　过点  C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，


　　∵ 点C在双曲线上，当 = 8时，
= 1 .


　　∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ).           


　　∵ 点C、A都在双曲线上 ,


　　∴ S△COE = S△AOF  = 4  。




　　∴ S△COE + S梯形CEFA
= S△COA + S△AOF .


　　∴ S△COA = S梯形CEFA  .                              



　　∵ S梯形CEFA
= ×（2+8）×3 = 15 ,   


　　∴ S△COA = 15 .                     


　　（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,


　　∴ OP=OQ，OA=OB .


　　∴ 四边形APBQ是平行四边形 .


　　∴ S△POA = S平行四边形APBQ
=   ×24 = 6  .


　　设点P的横坐标为（
> 0且）,


得P ( ,   ) .


　　过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，


　　∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF  = 4 .


　　若0＜＜4，如图12-3，

　　∵ S△POE + S梯形PEFA
= S△POA + S△AOF,


　　∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .


　　∴ .


　　解得= 2，= - 8(舍去) .


　　∴ P（2，4）.                     


　　若 ＞ 4，如图12-4，

　　∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,


　　∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .


　　 ∴，


　　解得 = 8， = - 2 (舍去) .


　　∴ P（8，1）.


∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.