在策略教学中感悟数学思想

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【教学实录】

    1．出示例题：全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只?

    (1)自己把题目读一读，你能找到哪些数学信息，要我们解决什么问题。

    (2)先自己想一想，你准备怎样来解决这个问题?然后和小组里的同学交流一下，并动笔试一试你的策略是否有效。

    2．组织交流。

    师：下面我们一起来交流一下你的想法。

    生：我打算先凑一凑。算一算如果大船有1只、小船有9只，一共能坐多少人，再  和42人比较一下相差多少人。

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师：好，把你的意思用表格列出来。

大船只数	小船只数	总人数	和42人比较
1	9	1×5＋3×9=32	少了10人

师：请大家想一想，这里的“少了10人”是什么意思?

生1：在这10只船中，能坐船的人数比实际坐船的人数少了10人。

生2：也就是如果大船是1只、小船是9只时，就会有10人没有坐到船。

师：是啊，还有10人没有坐到船，说明我们凑的1只大船、9只小船不合理，哪种
船太少了呢，可以怎样调整呢?

生：大船太少了，我想把大船改为3只。

师：如果大船改为3只，那么这时小船就是租了几只，为什么?

生：小船7只，因为题目中说大船、小船一共是10只，船的总只数是不变的。
师：好，我们一起来算一算，这时的总人数情况。

大船只数	小船只数	总人数	和42人比较
1	9	1×5＋3×9=32	少了10人
3	7	3×5＋3×7=36	少了6人

师：能分析一下，“少了6人”说明什么吗?可以怎样调整?

生：“少了6人”说明还有6人没有坐到船，大船还是太少。

师：你想怎样调整呢?

生：可以把大船改为5只，小船也改为5只。
师：好，我们继续来算一算。

大船只数	小船只数	总人数	和42人比较
1	9	1×5＋3×9=32	少了10人
3	7	3×5＋3×7=36	少了6人
5	5	5×5＋3×5=40	少了2人

师：看到“少了2人”你又想到什么呢?

生1：大船还是太少，再调整为大船有6只，小船有4只。

生2：大船肯定是6只。

师：能说说你是怎样想的吗?
生2：一只大船比一只小船多坐2人，现在还有2人没有坐到船，那么，把一只小船假设成一只大船，就可以多坐2人，所以，大船再多一只就够了。大船肯定是6只，小船就是4只。
师：大家觉得他说得有道理吗?我们可以计算验证一下。

大船只数	小船只数	总人数	和42人比较
1	9	1×5＋3×9=32	少了10人
3	7	3×5＋3×7=36	少了6人
5	5	5×5＋3×5=40	少了2人
6	4	6×5＋3×4=42	正 好

生3：我觉得不用这么凑，从第一次凑了1只大船、9只小船少了10人可以看出还有10人没有坐到船，那么把一只小船假设成大船就可以多坐2人，10÷2＝5(只)，说明要把5只小船假设成大船，所以大船就是6只。

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师：说得多好呀，同学们能想明白吗?刚才我们先假设大船有1只、小船有9只，再用假设、调整的方法解决了这个问题。在调整的过程中，同学们也展开了深入的分析和思考，进行了合理的假设，有的同学还能通过大小船之间的关系，很快找到最后的结果，非常了不起。回顾一下，在这个过程中，你是怎样思考的，运用哪些解决问题的策略呢?

生1：我们运用了列表的策略、假设的策略。

    生2：老师，我想直接假设大船5只，小船5只，可以吗?

其他学生(异口同声)：当然可以。

生3：老师，我直接假设大船有6只，小船有4只，可以吗?

    (全班大笑)

师(笑)：当然也可以，如果你足够幸运的话!

师：同学们，刚才我们围绕自己的想法展开了交流，通过列表、假设的方法解决了 这个问题。你还有不同的想法吗?

生：我是画图来想的。先假设这10只都是小船的。我想，假设这10只都是小船，那么一共可以坐30人，差12人没有坐到船。

    师：好，我们用图画把他的意思表示出来。假设10只都是小船，那么可以坐3×10＝30(人)，还差42—30＝12(人)没有坐到船。

    师：那么应该有几只大船呢?为什么?

生：应该有6只大船，因为把一只小船换成大船就可以多坐2人，12÷2＝6(只)，所以大船就是6只。

师(边画图边引导思考)：大家明白吗?我们一起来想一想。还差42—30＝12(人)没有坐到船，那么我们必须要把一些小船换成大船，一只小船换成大船可以多坐2人，两只小船换成大船可以多坐4人，要几只小船换成大船就可以让这12人都坐到船呀?

    生：6只。

    师：对，要12÷(5—3)＝6(只)大船。

    师：那么小船要几只呢?

    生：10—6＝4(只)。

    师：根据算出的答案算一算，是不是正好能坐42人，你会检验吗?

    生：……

    3．引导回顾解题过程，感受假设的策略。

    师：回顾一下，刚才这个问题有什么特点，我们是怎样来解决这个问题的?这两种方法有什么共同点呢?

    生1：这两种方法都是先假设的，第一种方法先假设有9只小船、1只大船，第二种方法先假设10只都是小船。

    生2：这两种方法都要把小船替换成大船。

    生3：这两种方法都要算比42人少了几人。

师：是啊，大家比较得很到位。这两种方法实质上都运用了假设的策略。列表中，有的同学是逐步调整假设的；先假设10只都是小船再画图，然后找到大小船之间的关系直接替换到位的。除了可以假设10只都是小船，还可以用什么方法找出答案呢?      

生：假设10只都是大船。

师：好，可以结合画图的方法在自备本上做一做。

    (学生完成后再次组织交流。)

    4．组织对比，发现规律。

师：刚才，解决这个问题时，有的同学是从1只大船、9只小船开始假设再调整替换的，有的同学是从全是大船开始假设的，也有从全是小船开始假设的。你觉得假设后怎样能比较快地找出答案呢?

5．感受数学文化，激发学习兴趣。

师：实际上，今天我们解决的问题是我国古代的数学名题之一，古人称之为“鸡兔  同笼”问题。它出自我国古代的一部算书《孙子算经》。书中的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?”大家看，我们刚才解决的问题和这个鸡兔同笼问题是不是有共同的特点呢?我国古人早在几千年前就已经会使用  假设的策略来解决问题，多么了不起啊!

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【教后反思】

1．要让学生经历解决问题的完整过程，寻找有效的、合适的解决问题的策略。解决问题策略的获得过程实际上是学生经历解题过程中的感悟过程。教学时，在学生明确要解决的问题后，我让学生先自己想一想并试一试准备怎样解决这个问题，促使学生尽可能地调动已有的经验，运用已有的解题策略去尝试解决问题，使学生对自己的策略是否可行有一个初步的估计和体验。而后，教师组织学生展开交流，在交流与碰撞中逐步深入地体会假设策略的运用过程及其价值。

2．数学问题的研究方式要顺应学生的思维特点，激发学生主动探索的欲望，给学生以自由思考、自由表达的空间，这样学生的思维才能活起来。

    “鸡兔同笼”问题相对是比较抽象的，教材选取了贴近学生生活的划船问题，本身容易激发起学生研究的兴趣。再加上画图、列表与假设策略的整合运用，使学生直观地把握了假设过程中的道理，感受到假设策略的在解决问题中的价值，从而能自觉地接受假设的策略。在展开研究的过程中，我引导学生展示其思维过程，组织全班学生参与交流，并且尊重该学生的选择，并没有硬牵着学生去关注与42人相差的人数和每只大小船能坐的人数差之间的关系，而是顺应学生的思维，想把大船调整成几只就把大船调整成几只，并按照他们的想法组织讨论，使学生感受探索的价值，获得成功体验。因此，课堂中才会有学生产生了更多不同的假设方法，有假设大船5只、小船5只的，甚至有开玩笑说假设大船6只、小船4只的，最终使学生认识到只要不违反大船、小船共10只的条件，假设的方法是很多的。

3．解决问题的策略学习，不仅仅是要使学生认识策略的存在，也要让学生能运用策略合理有效地解决问题。

在教学中，我顺应学生思维，最初是根据1只大船、9只小船能坐的人数比42人

少了10人，使学生直觉地认识到大船太少，要增加大船，减少小船；而后，经历这样：几次调整后，学生开始关注到少的人数与大船小船能坐的人数差之间存在着一定的关系。但这时，我并不要求每个学生都能理解。因为这一步的理解是最难的，对于大部分学生来说，还需要直观形象的支撑，才能帮助理解。我在这个环节，把重点定位在感受假设不同的策略，开阔学生的思路，通过“你还有不同的想法吗”的问题，促使学生寻找不同的解题策略。在运用画图策略解决问题的过程中，借助直观图画与数学思考相结合，帮助学生很好地理解了假设的依据，从而真正把握假设的方法，使学生在经历对比之后能自主选择和运用较为简单、直接的方法解决实际问题。   

    4．要引导学生关注问题特点，能根据问题特点选取合适的解题策略。   

    解决问题的策略很多，有些是侧重于解决问题的方式的，有些是侧重于解决问题的思维方法的。而且，不同的策略有其适合使用的不同问题。因此，我认为引导学生关注问题特点，帮助学生能根据问题特点选取合适的解题策略也是有必要的。同时，要沟通各种策略，让学生感受到解决问题的策略是多样的、灵活的，不是贴标签的，解决问题需要灵活运用各种策略。教学中，我提出“回顾一下，刚才这个问题有什么特点，我们是怎样来解决这个问题的呢”，引导学生既感受到用假设的策略可以解决什么样的问题，又让学生感受到解决同一个问题有不同的策略。

    总之，数学的学习，对学生来说，能使其终身受用的，绝不仅仅是知识，数学思想

方法获得是更重要的。我想这也许是解决问题策略的教学目的所在吧。