直面学生策略学习的现实——“替换、假设”的策略教学分析与思考

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一、问题的提出

    1．关于学生的学习现实。

    解决问题的策略安排在教材里让学生学习，由于学生的学习智力、学习需求等都是不尽相同的，从而导致学生之间的学习差异。面对这个数学学习现实，教学时，我们首先要思考：(1)解决问题的策略学生的学习起点在哪儿?(2)学生学习的困难在什么地方?(3)如何突出策略的应用价值?(4)学生有哪些习得策略的方法和途径?

    2．关于教材的编排。

    现行教材把解决问题的策略安排在四至六年级，每个学期各安排一个单元，编排  整体呈现了由直观到抽象、由简单到复杂、由单一到综合的渐变趋势，注重让学生体会解决问题的策略在现实中的广泛存在。但是“策略”的内容对学生来说是否真有必要?对于一般的学生来说究竟掌握得如何?教材的编排是否妥当?   

根据以上分析，笔者试图通过解决问题策略的调查，在分析相关数据的基础上了解学生对这一内容的学习现实，提出合理的教学建议，为教学实施提供一些参考意见。

二、调查对象、内容、方法和过程   

    调查对象：六年级4个班共186名学生。   

调查方法：问卷笔试。在学生不知情的情况下，每班由数学教师对学生进行测查，全部试题由学生独立解答。   

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三、调查结果与分析


【调查情况】

测试题一：
1.
◇＋◇＋◇＋☆＋☆=28

◇=☆＋☆

◇=

☆=
2. △＋△＋△＋△－●=88

△=●＋●＋●

△=
●=
3. 已知：

题目	第一题	第二题	第三题	第四题
各题错误率	0%	2.1%	3.2%	4.1%

此题的调查的目的是了解学生对“替换”策略的初步把握情况。从以上调查可以看出，学生对简单“替换”的过程和方法有较好的基础。但这一经验应用到解决实际问题中时，情况怎样呢?
测试题二：

题目	人数	错误率
1支钢笔的价钱相当于4支圆珠笔的价钱，李老师买了2支钢笔和12支圆珠笔。李老师总共用的钱相当于（ ）支钢笔的钱，或者相当于（ ）支圆珠笔的钱。	186	11%
陈阿姨到菜场买了3只鹅和8只鸡。1只鸡的重量是1只鹅的1/2。那么陈阿姨鸡和鹅的总重量相当于（ ）只鹅的重量，或者相当于（ ）只鸡的重量。	186	22%
鸡兔同笼，共有45头，146只脚。笼中鸡兔各有多少只。 方法一：假设45只全部是鸡，共有（ ）只脚，比146只脚（ ）只，要在（ ）只上各添上两只脚，因此就有（ ）只鸡，（ ）只兔。 方法二：假设45只全部是兔，共有（ ）只脚，比146只脚多（ ）只，要在（ ）只上各减去2只脚，因此就有（ ）只鸡、（ ）只兔。	186	25%

此题的调查目的是逐步引导学生正确利用一个量“替换”另外一个量的策略，按照步骤解决问题。从以上测试情况发现：直接利用两个量的关系把一个量“替换”成另外一个量，学生还能进行简单“替换”，而通过“替换和假设”解题，有25％的学生发生错误。这就说明学生在学习策略时还有一定的困难。
测试题三：

题目	人数	错误率
买10千克苹果与20千克梨共用去70元，1千克苹果的价钱与1.5千克的价钱相等，1千克苹果多少钱？1千克梨呢？	186	59%
用6元钱买2角的邮票和5角的邮票共18张，这两种邮票各多少张？	186	30%
学校买来4个篮球和6个排球，共付228元，已知每个篮球比每个排球贵12元，两种球的单价各多少元？	1860	57%
数学竞赛题共20道，每做对一题得8分，做错一题扣4分，小丽得了100分，问她做对了几道题？	186	71%

学生直接应用“策略”来解答，第一题到第三题，186名学生中分别有110名、56
名、106名学生不能正确解答，特别是第四题，正确率只有29％，只有少部分学生能掌握。

通过这次问卷调查，我隐约感到学生对解决问题策略的学习有一定的难度，必须对不同学习能力的学生在学习过程中呈现的学习差异进行分析。

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【调查分析】
1．处理信息的学习差异。
学生在解答“问题”时，首先是一个收集信息、处理信息的过程，对题目中给定的
信息(条件、问题)收集、处理是否全面、正确，其结果的差异将对解题的思维定向产生影响，从而形成学习上的差异。
学习能力强的学生往往能对数学材料进行整体把握，概括数学材料速度快、范围广，能运用策略找出题目中具有的基本数量关系，特别对变式题。这些学生思维活跃，不受思维定势的影响，能透过一些现象抓住那些主要的基本问题，能运用猜想、操作、画图、列表等过程分析问题、解决问题。
学习能力一般的学生，对数学材料认识比较肤浅，处理信息的能力比较薄弱，只能掌握知识的初级阶段，需要通过一定的努力才能把题目中各个有用信息联结起来，形成解决问题的策略。

学习能力差的学生，获取信息、处理信息的能力差，只能简单地机械模仿，无法产生概括能力，他们很难从题中获得解题的策略，并运用策略解决问题。

2．解题能力的差异。
在策略的应用过程中，学生个体之间存在较大的差异，重点表现在解题能力上。下面是学生思维不畅的解题过程(摘录)：
如“测试题三”中的第一题：买10千克苹果与20千克梨共用去70元，1千克苹果的价钱与1．5千克梨的价钱相等，1千克苹果多少钱?1千克梨呢?
学生出现了如下的错误解答：
(1)1.5—1＝0.5(千克)


0.5×20＝lO(元)


10＋10＝20(千克)


70÷20＝3.5(元)……苹果


35÷20＝1.75(元)……梨

(2)①苹果：10＋20＝30(千克)


30÷(1+1.5)＝12(元)


②梨：70－12＝58(元)


58÷20＝2.9(元)

(3)假设70元都买苹果。


70÷10＝7(元)


70－7＝63(元)

63÷20＝3.15(元)……梨


7÷10＝0.7(元)……苹果

(4)假设全买苹果。


10+20＝30(千克)


30×2＝60(元)


70－60＝10(元)


10÷(1＋0.5)＝20(元)


20÷10＝2(元)


2+1＝3(元)

(5)①苹果：10+20＝30(千克)


20×0.5＝10(元)



70－10＝60(元)



60÷30＝2(元)



②梨：2+0．5＝2．5(元)

(6)①苹果：10×1.5＋20＝15＋20＝35(千克)
70÷35＝2(元)


②梨：(70×2×10)÷20＝50÷20＝2.5(元)

以上是多数学生常见的解题错误，从解答的过程来看，解题思路不清晰，数量关系理解不透。因此在教学时，我们应遵循学生的认知规律，拾级而上，利用文字与图形的结合进行“替换”方法的训练，让学生充分感知“替换”的方法是如何形成的，如何利用策略去解决问题，取得比较好的教学效果。
四、对“替换、假设”策略的教学建议
根据学生以上的数学现实，2008年下半年，笔者试图对解决问题策略的教学进
行重组，增加一些数量之间的“替换”训练，具体安排如下：
[第一教时]基本训练形成策略师：同学们今天我们先利用数图来进行“替换”的游戏。请看大屏幕：
电脑出示：

○＋○＋○＋□＋□=14

□=○＋○

□＝


○＝

生：因为1个正方形等于2个圆，2个正方形等于4个圆，3个圆加2个圆等于7个圆，7个圆＝14，1个圆＝2，1个正方形＝4。

师：你用了什么方法来解决这个问题?
生：我把第一个式子中的2个正方形换成4个圆，这样就能顺利解决问题。
师：你说得真好!现在请同学们同桌之间互相编几道利用数图进行“替换”的游戏，你出他做，然后互相交换，看谁编得棒!

学生互动，选部分学生汇报：

生1：我出的是：

★＋★＋★＋★●＋●＝28

★＝●+●+●

★＝

●＝
生2：我把第一式中的五角星换成圆，因为1个五角星等于3个圆，4个五角星等于12个圆，变成14个圆＝28，1个圆＝2，1个五角星＝6。
师：刚才我们利用数图来进行“替换”的游戏，下面把这种“换”的方法用到简单
实际生活中去。
出示例2：1支钢笔的价钱是1支活动笔的5倍，买30支活动笔的价钱能买多少支钢笔?
师：请认真思考一下，如何利用“换”的方法解决这个问题?

生：用30÷5＝6(支)。

师：谁能把“1支钢笔的价钱是1支活动笔的5倍”换一种说法?
生：1支活动笔的价钱是1支钢笔的1/5，买30支活动笔的价钱能买多少支钢笔?计算方法和上面一样。
出示例3：时代超市运进560件衬衫，分别装在2个大箱子里和6个小箱子里。如果一个大箱子装的和2个小箱子装的一样多，那么每个大箱子和每个小箱子各装多少件衬衫?
师：请同学们思考，如何利用“换”的方法来解决这个问题?有困难互相交流一下。

学生思考、交流、汇报。
生：我先画出示意图：大箱子用大正方形表示，小箱子用小正方形表示，(老师展示学生作业)因为一个大箱子装的件数＝2个小箱子装的件数，把1个大箱子换成2个小箱子，那么就当是10个小箱子装了560件，1个小箱子可以装56件，大箱子装112件。

师：思路真清晰，还有没有不同的换法?
生：还可以把2个小箱子换成1个大箱子，那么就当是5个大箱子装了560件，1
个大箱子装112件，小箱子可以装56件。
师：同学们真行!其实今天我们研究就是一种解决问题的策略，同学们说说叫什么“策略”?
生：把它叫做“调换”吧。
生：就叫做“替换”吧，我认为“替换”更好一些。

师：行，其实它们的意义差不多，不过许多教材里都叫“替换”的策略。

[第二教时]利用策略解决问题
例题：小明把720ml果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满，小杯容量是大杯容量的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升?

师：题中告诉了我们哪些信息?

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生：720毫升果汁，倒满6个小杯和1个大杯。
生：已知小杯容量是大杯的1/3。

师：怎样理解“小杯容量是大杯的1/3”?大杯和小杯容量的关系还可以怎样说?

生：大杯容量是小杯的3倍。

生：一个大杯可以替换成3个小杯。

生：3个小杯可以替换成1个大杯。

师：现在能直接求小杯和大杯的容量吗?

生：不能。

师：怎样用替换的策略来解决这个问题呢?选择一种你喜欢的方式进行替换，在老师发给你的纸上画出示意图，然后根据示意图再列出算式解答。

(学生画图，列式计算)
师：谁能把你的方法介绍给大家?
生：我把一个大杯换成了3个小杯，这样就有9个小杯，共是720毫升。720÷9＝80(毫升)，一个小杯的容量是80毫升，80×3＝240(毫升)，一个大杯的容量就是240毫升。
关系图：

生：我是把6个小杯换成2个大杯，这样就有3个大杯。720÷3＝240(毫升)，1个大杯的容量，240÷3＝80(毫升)，这就是1个小杯的容量。
关系图：

师：求出结果是否正确?我们可以从哪些方面来检验?

学生从条件入手，说检验过程。

师：刚才我们解决这个问题运用了什么策略?

生：运用了替换的策略。

师：刚才解决问题时大杯和小杯为什么要替换?使用替换这个策略有什么好处?替换前后数量关系有何变化?

学生互相交流、探究。
小结：替换的目的就是把两种量与总量之间的复杂数量关系，转化为一种量与总量之间的简单的数量关系。
……
五、教学后的感悟

通过调查、教学实践和以上分析，面对学生的这些数学现实，我们可以得到对“解
决问题的策略”教学的几点感悟：

1．把握教学起点，重组教材。
通过以上两年的学生学习情况的调查和教学实践，笔者感到解决问题的策略教材编排起点高，大部分学生学习起来有一定的困难。所以，要关注学生的认知起点，重组教材，改变教材的呈现方式，科学地进行补充，放宽教时，为学生提供发现问题、提出问题和自主解决问题创造机会。同样的教学内容，同样的学生基础，由于教师对教材内容的处理不同，其教学效果就不一样。为此，教师要客观地认识和理解教材，真正体现用教材而不是教教材，真正让学生理解和掌握策略。
2．渗透数学思想方法。
解决问题的策略是教材中新增的教学内容之一，主要介绍一些常见的基本解题策略，在学生形成了解决问题的策略以后，适时渗透数学思想方法是很有必要的。如在“替换”的策略中渗透等量代换思想。另外，数学思想方法和策略是互补的。
3．发展数学思考，彰显有价值的教学。
“教会学生思考，这对学生来说，是一种最有价值的本钱。”因此，数学教学的重要性在于发展学生的数学思考，为学生思维的发展提供动力。解决问题的策略是体现用策略解决问题的数学价值，要让学生在逐步解决问题的过程中，形成策略、理解策略、掌握策略。