香溪河有多宽?——数学活动课案例

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随着三峡大坝的建成，“高峡出平湖”的梦想得以实现，环绕小镇的香溪河，随着长江中上游水位的节节升高，而变得豁然开阔。从前那窄窄的河床，浅浅的溪水已经一去不复返。如今是一江碧水，深不可测，两岸之间也变得遥不可及。

　　那么现在的香溪河到底有多宽呢？我们抓住学生想急于知道的心理，将他们分成五组，由组长组织，准备好卷尺。


　　
我们利用活动课的时间，带着学生来到香溪河边，先让同学们观察地形，然后各组在组长的带领下在一起讨论出测量方案，然后在一起交流，对其中的细节问题进行纠正、优化。同学们望着水位高涨的香溪河，兴奋不异，并积极在一起讨论出以下三种方案：


　　方案一：在对岸的一边找一块大的石头A，一名学生在对岸B处面向A站好，且AB与河岸垂直，如图1调整头顶的帽子，使视线刚好落在A上，然后转一定的角度，视线的角度不变，望着前方，这时视线落在C点，用卷尺测出BC的长度，由图知，由于，，所以，则AB=CB，因此测出了BC的长度，也就知道了香溪河的宽度AB。

　　方案二：在对岸找一个观测点A，一个同学甲站在河岸的这边的B点，且使AB垂直于河岸的这一边。另一个同学乙站在河岸这一边的任一点C点，使，第三个同学丙站在D点，丙通过乙看甲，移动视线，直到看不见甲为止，根据光的直线传播的原理，此时，B、C、D三点在同一直线上，第四个同学丁站在E点，通过C点看A，移动直到看不到A时，A、C、E三点也在同一直线上，这时丙再移动直到为止。在三角形和中，（对顶角相等），，所以∽，则，然后由其中一个同学用卷尺测出BC、CD和ED的长，就可以计算出香溪河的宽为。

　　方案三：在对岸找一个观测点A，一个同学甲站在岸的这边的B点，且使AB垂直于岸的这一边，另一个同学乙站在这一边的任一点C点，使。第三个同学丙站在D点，丙通过甲看A，移动视线，直到看不见A为止，根据光的直线传播的原理，此时，A、B、D三点在同一直线上，第四个同学丁站在E点，通过C点看A，移动直到看不到A时，A、C、E三点也在同一直线上，这时丙再移动直到为止。在三角形和中，，BC∥DE, （两直线平行，同位角相等），所以∽，则，而AD=AB+BD，则，然后由其中一个同学用卷尺测出BC、BD和DE的长，就可以计算出香溪河的宽为。

　　同学们根据本组设计的方案测出了相应的数据，测得的数据如下，第一组测出的BC的长度为    BC=112.6m，从而得出河宽AB的长为AB=BC=112.6m，第二组和第四组采用的是方案二；他们测出的BC、CD和ED的长以及计算出的河宽AB的长分别如下（上）表；第三组和第五组采用的是方案三，他们测出BC、BD、DE和河宽AB的长分别如下（下）表:

组别	BC(m)	CD(m)	ED(m)	AB(m)
第二组	102.2	21.4	25.8	123.2
第四组	99.5	20.7	26.4	126.9

组别	BC(m)	BD(m)	DE(m)	AB(m)
第三组	47.3	70	74.6	121．3
第五组	51．4	44．7	69．6	126．2

　　大家通过讨论后认为第一个方案之所以和第二、三个方案测得的结果相差很大是因为第一方案中如何保持两次的视角一样，在具体操作上要简单些，但要做的比较准确有一定的困难，容易造成很大的误差。而第二、三个方案相对来来说结果更准确些。


　　在同学们兴奋之余，我们又让他们总结本次活动的收获：一、测出了香溪河的大约宽度；二、在这次活动中运用了数学知识和物理知识解决了实际问题：数学中利用了相似三角形和全等三角形、还利用了对顶角的关系和同位角的关系；物理中利用了光的直线传播来使几个点在同一直线上。