学习等腰三角形的性质和判定——分类讨论记心间

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分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望同学们谨记心间，现举几例予以说明：

　　一、由于题目条件的不确定性引发结论不唯一：


　　例1、已知等腰三角形的一个内角为65°则其顶角为（ ）


　　A. 50° B. 65° C. 115° D. 50°或65°


　　解析：65°角可能是顶角，也可能是底角。当65°是底角时，则顶角的度数为180°－65°×2=50°；当65°角是顶角时，则顶角的度数就等于65°。所以这个等腰三角形的顶角为50°或65°。故应选D。


　　提示：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再求解。


　　例2、 已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于4，则它的周长等于_________。


　　解析：已知条件中并没有指明3和4谁是腰长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当3是腰长时，这个等腰三角形的底边长就是4，此时等腰三角形的周长等于10；当4是腰长时，这个三角形的底边长就是3，则此时周长等于11。故这个等腰三角形的周长等于10或11。


　　提示：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。


　　例3、 若等腰三角形一腰上的中线分周长为12cm和9cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。


　　解析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得
或



　　
解得
或
即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。


　　提示：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。


　　二、由于题目条件得出的图形不确定性引发结论不唯一：


　　例4、 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为55°，求这个等腰三角形的顶角的度数。


　　解析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为35°，图2中顶角为145°。


　　


　　例5、 皂户李中学为美化环境，计划在校园的广场用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。


　　解析：在等腰ΔABC中，设AB=10，作CD⊥AB于D，由，可得CD=6。如下图，当AB为底边时，AD=DB=5，所以。


　　


　　如下图，当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时，


　　，所以，


　　。


　　


　　如下图，当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时，


　　，，


　　所以。


　　


　　提示：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。


　　例6、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为45°，则底角∠B=____________。


　　解析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。


　　如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=45°，所以


　　∠B=∠C=（180°－45°）=67.5°。


　　如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得


　　∠BAC=135°，所以∠B=∠C=（180°－135°）=22.5°


　　


　　故这个等腰三角形的底角为67.5°或22.5°。


　　提示：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。