六年级下册《正比例和反比例》第1课时公开课教案

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一、教学目标分析
　　正比例和反比例是在同学学习了比和比例的基础上进行教学的，主要让同学结合实际情境认识成正比例和反比例的量。知识与技能方面的教学目标是：经历从具体实例中认识成正比例和反比例的量的过程，理解正比例、反比例的意义，学会判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。正比例、反比例都是表示两个相关联的变量之间关系的一种数学模型，都是在一定的条件下，一种量随着另一种量的变化而变化。本单元的教材分“成正比例的量”和“咸反比例的量”两个局部，先教学正比例的认识，再教学反比例的认识。在同一节课里引导同学探索两种量在变化过程中存在的规律，并用关系式表示出规律，有助于同学掌握正比例、反比例概念的实质，因此我们抓住知识的内联与实质规律，重组正比例、反比例教学：把认识成正比例的量和认识成反比例的量的两个例题整合起来，布置在一节课里进行教学，让同学在同一实例的情境中，感悟、体会并理解正比例、反比例的意义。
　　重组教材，创编文本。将教材中的例1(结合生活中的实例认识成正比例的量)和例3(结合生活中的实例认识成反比例的量)整合成同一问题情境下有前后联系的两道例题：保存原教材中的例1，引导同学认识成正比例的量；根据例1的情境，创编新的例2，替代原教材中的例3，引导同学认识成反比例的量。将教材中的例2(认识正比例图像)放到认识正比例、反比例之后进行教学。
　　抓住实质，内联教学。成正比例的量的实质规律是“比值一定”，成反比例的量的实质规律是“积一定”，引导同学探究发现这两种实质规律是教学的主要任务，教学时应掌握好这一点。本设计将例1和例2整合到同一情境下，从同学熟悉的时间、速度和路程这三个量之间的关系动身，引导同学对比研究，在观察、讨论交流中发现：①例1和例2中的两种量都是相关联的量，都是在一定的条件下，一种量随着另一种量的变化而变化。②例1中两种相关联的量的变化方向是相同的，一种量扩大(或缩小)，另一种量也随着扩大(或缩小)；例2中两种相关联的量的变化方向是相反的，一种量扩大，另一种量反而缩小。③例1中扩大、缩小的规律是“比值一定”，例2扩大、缩小的规律是“积一定”。这样抓住正比例、反比例的实质和联系进行教学，有助于同学加深对正比例、反比例意义的理解，从整体上掌握各种量之间的比例关系。
　　对比练习，沟通联系。同学对成正比例的量和成反比例的量有了一定的认识后，还需要一定的练习。为了协助同学逐步提高判断成正比例、反比例的量的能力，本设计中的练习分三个层次：一是判断咸正比例的量的练习；二是判断成反比例的量的练习；三是正比例、反比例对比练习，成比例的量与不成比例的量的对比练习。比较和辨析，有助于同学更好地掌握正比例、反比例概念的实质

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二、教学过程设计
　　(一)导引探究，由表和里
　　教学例1，认识成正比例的量。
　　1．谈话引出例1的表格。一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。
时间（时）
1
2
3
4
5
6
……
路程（千米）
80
160
240
320
400
480
……
　　在让同学说一说表中列出了哪两种量之后，教师引导同学逐步探究：行驶的时间和路程有关系吗?行驶的时间是怎样随着路程的变化而变化的?行驶的时间和路程的变化有什么规律?(同学探究第3个问题时，教师可进行适当的引导，如引导同学写出几组路程和时间对应的比，并要求同学求出比值。)
　　2．引导同学交流并聚焦以下内容：路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化；时间扩大、路程也扩大，时间缩小、路程也缩小；路程和时间的比值总是一定的，也就是“路程／时间=速度(一定)”(板书关系式)。
　　3．教师对两种量之间的关系给予具体说明：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和对应时间的比值总是一定(也就是速度一定)时，我们就说行驶的路程和时间咸正比例(板书“路程和时间成正比例”)，行驶的路程和时间是成正比例的量。
　　4．让同学根据板书完整地说一说表中路程和时间成什么关系。
　　[数学概念是客观实际中数量关系和空间形式的实质属性在人脑中的反映。数学概念的来源一般有两个方面：一是直接从实际经验中概括得出；二是在原有的初级概念基础上通过新旧概念的相互作用而获得。正比例概念的形成属于前者，因此例1的教学可以充沛利用表格，让同学通过对表中数据的观察和分析，由浅入深，由表和里，逐步认识成正比例的量的特点。本环节先让同学观察例题中的表格，说一说表中列出的是哪两种量；接着用三个引探性的问题逐步引导同学在探究学习活动中发现路程与时间之间的关系和变化趋势；最后，聚焦、明晰这两种量之间的关系，让同学初步认识正比例的特点。这样的教学有利于同学经历正比例概念的形成过程。]
　　(二)自主棵究，尝试归纳
　　出示例2：汽车从甲地开往乙地，行驶的速度和所用时间如下表，它们之间有什么规律?
速度（千米/时）
40
60
80
100
120
……
时间（时）
30
20
15
12
10
……
　　1．出示供同学自主探究的问题：当速度变化时，时间是否也随着变化?这种变化与例1中两种量的变化有什么不同?速度和时间的变化有什么规律?
　　2．引导同学在自主探究、交流中认识成反比例的量的特点：速度和时间是两种相关联的量，速度变化，时间也随着变化；例2中两种量的变化规律是：一种量扩大，另一种量反而缩小；速度和时间的变化规律是它们的乘积一定，可以表示为“速度×时间=路程(一定)”(板书关系式)。
　　3．在发现变化规律的基础上，让同学仿照正比例的意义，尝试归纳反比例的意义，引出反比例概念(板书“速度和时间成反比例”)。
　　[从生活原型中逐步笼统，从已有概念中衍生，从数学概念的学习中迁移等，都是建构数学概念的有效方法。有了学习正比例的基础，反比例意义的学习应更加体现同学的学习自主性。本环节除了让同学发现成反比例的量之间的关系，还让同学仿照正比例的意义，尝试归纳反比例的意义。这样能真正发挥同学的学习主动性，让同学在自主探究过程中经历反比例概念的形成过程。]

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(三)对比棵究，掌握实质规律
　　1．将各例1、例2教学时探究发现的内容用多媒体出现出来，揭示正比例、反比例的内涵实质。
　　多媒体出现：
　　例1路程／时间=速度(一定)
　　路程和时间成正比例
　　例2速度×时间；路程(一定)
　　速度和时间成反比例
　　2．探究活动。
　　(1)让同学仿照例1完成教材第62页“试一试”(题略)，仿照例2完成教材第65页“试一试”(题略)。
　　(2)引导同学将成正比例的量与成反比例的量进行对比探究，找出它们的相同点与不同点。
　　[例1中路程和时间相依互变，速度不变，例2中速度和时间相依互变，路程不变，这样的对比有利于同学从变中看到不变；例1中速度是不变量，例2中路程是不变量，同样都有不变量，例1中路程和时间成正比例，而例2中速度和时间成反比例，这样的对比有利于同学从不变中看到变。变与不变关键要抓住实质——“比值一定”还是“积一定”。对比探究活动旨在让同学掌握概念内在的联系与区别，形成正比例、反比例概念的认知结构。]
　　(3)引导同学尝试用字母表达式对正比例的意义和反比例的意义进行笼统概括。
　　启发同学考虑：①假如用字母x和y分别表示两种相关联的量、用k表示它们的比值，正比例关系可以怎样表示?②假如用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以怎样表示?
　　根据同学的回答，板书关系式“正比例y／x=k(一定)”，“反比例x×y=k(一定)”。
　　[概念符号化在概念教学中很重要。《数学课程规范》明确指出，符号感主要表示之一是能从具体情境中笼统出数量关系和变化规律，并用符号来表示。同学概念形成的主要过程为：感知具体对象阶段、尝试建立表象阶段、笼统实质属性阶段、符号表征阶段、概念运用阶段。在符号表征阶段，同学尝试用语言或符号对同类对象的实质属性进行概括。本阶段教学是概念符号表征阶段，在这个阶段之前，同学对正比例、反比例的实质属性和特征有一定的认识，可以开始尝试用符号对正比例、反比例进行概括。“y／x=k(一定)”，“x×y=k(一定)”，是对正比例、反比例意义的笼统表达，是揭示正比例、反比例数量关系和其变化规律的数学模型。]
　　3．组织对比性练习。
　　(1)成正比例、反比例的对比练习。笔记本的单价、购买的数量和总价如下表：
表1
数量/本
20
30
40
50
60
……
总价/元
30
45
60
75
90
……
表2
单价/元
1.5
2
4
5
6
……
数量/本
40
30
15
12
10
……
　　在表1中，相关联的量是和，随着变化，是一定的。因此，数量和总价成关系。!
　　在表2中，相关联的量是和，随着变化，是一定的。因此，单价和数量成关系。
　　[将获得的新概念推广到其他的同类对象中去，是概念运用的过程，也是进一步理解概念的过程。表1是成正比例的量，表2是成反比例的量，这种正比例与反比例的对比，有利于同学进一步加深对正比例、反比例意义的认识，对正比例或反比例中两种量变化趋势和规律的掌握。]
　　(2)成比例与不成比例的对比练习。
　　下面每题中的两个量哪些成正比例，哪些成反比例?哪些既不成正比例也不成反比例?
　　①圆的直径和周长。②小麦每公顷产量一定，小麦的公顷数和总产量。③书的总页数一定，已经看的页数和未看的页数。
　　[这一类型题比较笼统，同学只有对正比例、反比例的意义有了较深刻的理解，才干正确地作出判断。这样的练习有助于同学从整体上掌握各种量之间的关系，有助于进一步提高同学判断成正比例、反比例的量的能力。此题型在新授课上还只是让同学初步接触，重点训练还要放在练习课。]
　　(3)从生活中寻找成正比例、反比例的量的实例，进行对比练习。
　　[举例练习是概念巩固阶段的重要组成局部。假如让同学独立找生活中成正比例、反比例的量的实例，可能有一定难度，我们可采用小组讨论的形式进行。此练习还可以让同学感受到数学与生活的联系。

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