数数的窍门

lspjy

假如有人问你会不会数数，你一定会说：“这还用问吗？谁不会数数呀！”其实，数数也不是一件简单的事。比如，请你数一数下图有多少个三角形？

图中三角形的形状、大小都不相同，位置很凌乱，如不按顺序有规律地数，容易遗漏或重复。
可以按图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由三部分组成的……几类，然后再按照组成部分的多少一类一类地数。为了便于观察，还可以给各部分编上号（如图）。

这样，就可以把每个三角形都简明地表示出来。于是可以得到当的三角形有：1、2、3、5、6、8共6个；由两部分组成的三角形有：1－2，2－6，4－6，5－7，共4个；由三部分组成的三角形有：5－7－8，1个；由四部分组成的三角形有：1－3－4－5，2－6－7－8共2个；由八部分组成的三角形有1个。
一共有三角形：6＋4＋1＋2＋1＝14（个）
这种方法叫做“分类列举法”。
有时我们还会遇到这样一类问题，需要计数的不是具体的事、物或图形，而是某种情况可能出现的次数。如，10个苹果放在1个盘子里，每盘至少放1个，共有多少种不同的放法？
很容易想到，只要4个自然数的和等于10，这组数就代表一种放法。显然这样的数不止一组。怎样才能找全呢？必须找到一种思考的顺序和规律，才能使数数的过程有头有尾，不重不漏。比如可以按照先少放后多放的原则，从第一个盘子放1个苹果开始，接下去使后面盘子里的苹果数尽量少，但又不少于前面盘子里的苹果数。然后依次增加前面盘子里苹果数。直到第一个盘子里的苹果数无法再增加为止。如果把这个思考过程列成一个表，每一格代表一个盘子，每列4个数代表一种放法，很快就能求出全部答案。

1	1	1	1	1	1	1	2	2
1	1	1	1	2	2	3	2	2
1	2	3	4	2	3	3	2	3
7	6	5	4	5	4	3	4	3

从表中看出共有9种不同的放法。
这种方法叫“列表法”。
请你想一想，如果把思考的顺序改成先多放后少放，情况将会怎样呢？请你试着用“列表法”列出全部答案。
有时我们所遇到的问题可能是由几个相互连接的阶段组成的，而每个阶段又有几种不同的选择，情况就更复杂了。
春风小学高年级有4个班，中年级有3个班，低年级有2个班。如果每天上体育课的只能是高、中、低年级的各一个班，那么每天上体育课的班级组成情况可以做到多少天不重复？
为了便于思考，我们用A、B、C、D代表高年级的4个班，用a、b、c代表中年级的3个班，用1、2代表低年级的2个班。应当首先确定从高年级中任意选出一个班以后，相应的中年级有3种不同的选择，而对于中年级的任意一个班，低年级又有2种不同的选择。对于这种复杂的情况，可以画示意图把思考过程清楚地表示出来。

   

   

于是得到4×3×2＝24种不同的班级组成情况。
这种方法叫做“图解法”。
请你做下面的题。
下图是甲、乙、丙三地间交通路线图，从甲地到丙地有多少种不同的走法？

（1）从甲地到丙地的走法可以分成______和______两类；
（2）经过乙地的走法有______种，不经过乙地的走法有______种；
（3）总共有______种走法。
前面教给你三种数数的窍门，它们是不是很灵呢？今天就请你来自己测试一下。
1．6只梨放在3个盘子里，允许有空盘子，共有几种不同的放法？
2．甲、乙、丙三个自然数的积等于6，求甲、乙、丙这三个数。
3．红、黄、绿三种颜色的灯各一盏排成一行，亮其中的一盏或几盏可以组成的信号有多少种？
4．有3顶不同的帽子，4件不同的上衣，2条不同的裤子，可以搭配成多少种不同的装束（必须戴帽子，穿上衣和裤子）？
5．有一角人民币2张，二角人民币1张，一元人民币3张，可以组成多少种不同的钱数？
6．两个同样的积木块，六个面上分别写着1、2、3、4、5、6六个数。任意抛掷这两个木块，落下后顶面数的和是单数的有几种可能？
7．下图中有多少个三角形？