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【问题提出】A1—1 自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？
【释问参考】
最先给出自然数纯逻辑定义的是德国数学家、逻辑学家弗雷格和英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素，他们将每个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集”这一定义被成为“弗雷格—罗素的自然数定义”。为了建立自然数公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺在1891年给出了关于自然数的五条公理：1．0是一个自然数；2．0不是任何其他自然数和后续；3．每一个自然数a都有一个后续；4．如果自然数a与b的后续相等，则a、b也相等。5．如果一个由自然数组成的集合s包含0，并且当s包含某一个自然数a时，它一定也包含a的后续，那么就包含全体自然数。
为了使自然数这个定义通俗易懂，《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”，如在教学5的认识时，通过引导学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪等等不同物体的集合，然后引导学生寻求这些物体集合的共同点：“它们都是五个”，“五”就是这些物体集合的共同性质，从而初步形成自然数“五”的概念。
小学数学课本中对自然数的说明是在这样的：用来表示物体个数的数1，2，3，…就叫自然数。“0”表示没有东西可数，“0”也是一个自然数，“1”是自然数的单位。任何一个自然数都是有若干个“1”组成的。 【思考练习】
小学数学课本中关于对自然数的教学的理论依据是（ B ）。
A．“弗雷格—罗素的自然数定义”。
B．《小学数学基础理论》教科书。
C．G.皮亚诺的关于自然数的五条公理。
【问题提出】A1—2 自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？
【释问参考】
当自然数0，1，2，…用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”，这里的“5”就是基数。当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。
在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境来判定（如上文）。
【思考练习】
体育课上，同学们排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，这个“35”（ C ）。
A．表示这一队学生共有35人。
B．表示排尾的学生是第35个。
C．既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。
【问题提出】A1—3 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？
【释问参考】
正整数：一个一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，…也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称为自然数。
负整数：为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引入了正数与负数。如“盈利5元”用“＋5元”表示，“亏损5元”就用“5元”表示。
这种在一个数前添加的用来表示它的“正”、“负”的符号叫做性质符号。添加了性质符号“＋”或“－”的数分别称为正数和负数。“0”既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负号“－”的正整数叫做负整数。
整数：正整数、零、负整数统称整数。
正整数
自然数
整数 零
负整数
【思考练习】
自然数、正整数和整数这三个数概念中，（ C ）的范围最大。
A、自然数 B、正整数 C、整数
【问题提出】A1—4 为什么以前规定“0不是自然数”，现在又规定
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发表于 2012-12-6 10:17:55
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