在正比例反比例的教学中体现函数思想

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在正比例反比例的教学中体现函数思想  
发布者： 过福根
在六年级的教学内容中正比例和反比例一直是一个重要的内容，这部分内容同样肩负了帮助学生完成一次认识上飞跃的重要任务。学生将从大量对“常量”的认识经验中逐步过渡到认识“变量”，这是函数思想渗透的重要契机。
1．正、反比例教学的目标
在课标中，对这部分内容的要求是：
•  在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。
•  通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。
•  会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。
•  能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。
从“数与代数”内容的发展来看，本质上可以从两个角度理解：第一，从数的扩充角度，从常量到变量；第二，从关系的角度，从数量关系到等量、不等、变化关系。
2. 在教学中渗透函数思想
在有关正反比例的教学中，我们常说要渗透函数思想，但“函数”并不是小学的学习内容，那在小学学习正比例和反比例的价值是什么呢？
函数是一种具有普遍意义的数学模型，在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用。函数是“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一，本标准在三个学段中均安排了与函数相关联的内容目标，希望学生能够逐渐加深对函数的理解。因此，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。
在第二学段中，引入正比例与反比例，它们 是一类常用的数量关系，这部分内容的学习是函数思想在小学的体现。
在现实中，有许多数量关系可以表示为成正比例的量和成反比例的量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。
如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例增加（减少），两个量是成正比例的量；如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例减少（增加），两个量是成反比例的量、如果分别用 X 和 Y 表示两个量，前者可以表示成 Y=aX(a>0); 后者可以表示成 Y=a/X ，或 XY=a(a>0) 。
正比例和反比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不出现函数的概念，但要让学生感知两个量之间的关系。一是使学生对数量关系的认识和理解更加丰富，二是为第三学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。教学中应与实际情境紧密联系，用学生可以理解的具体的方式呈现这些内容，引导学生从数量关系的角度，以及两个量之间变化的规律的角度来理解并掌握这个内容。
3．图像在正、反比例教学中的价值
学生对“正反比例”的学习，就是从简单的数量关系过渡到对“变化关系”的认识和学习。与以往的教材和教学要求相比，在方格纸上画图是个新的要求，教材中也出现了“正比例”及“反比例”的图像，它的价值是什么？教师该如何发挥好“图像”的作用，更好地体现和渗透函数思想呢？
下面结合具体的案例来回答这个问题。北京实验一小 郭雯砚 老师执教的《成正比例的量》，这节课上 郭 老师紧紧抓住了“图像”作为帮助学生认识和理解正比例的重要素材。
郭老师在学生根据表格、算式等熟悉的方式表示出正比例关系之后，教师地引出了“图像”，把它作为新朋友非常隆重介绍给了学生。让学生通过初步的猜想和分析，对图像有初步的感知，为后面深入而细致的探究奠定了基础。
的确，正比例教学是从常量数学到变量数学学习的启蒙阶段；图像教学能够直观地呈现两个变量之间的相依关系，使学生加深对正比例意义的理解。通过此课的教学，可以渗透函数思想，促进中小衔接，能够为学生今后的学习奠定基础。
因为学生有折线统计图的学习基础，描点连线对学生而言并不困难，可以自然地迁移。因此，在课堂上让学生认识正比例图像是有认知基础的。但同时也会存在困难，例如，该不该从 0 开始画呢？这个学生在学习正比例图像是普遍存在的问题，这个问题对于学生理解正比例有怎样的意义呢？让我们带着这个问题看看当时课堂上的情况吧。
可以看出，课堂上 虽然学生能画出图像，但他们大都是依据画折线统计图时的经验，这其实是错误的。在教学中， 郭 老师及时抓住了学生生成的问题，逐步进行深入的剖析，使学生明确这条直线是由无数个处在同一条直线上的点形成的。
从刚才的教学片段来看， 学生在探究的过程中，虽然会描点连线，甚至能找到变化规律，但是并没能够顺利地有在图像、表格和规律之间建立有机的联系。对于数学的认识还是比较孤立，比较静止的，缺乏运动的观点和变量的意识。这正是函数的核心所在，是引导学生深入理解正比例关系的要害所在，也正是发挥 “图像”作用的重要契机。课堂上，郭老师准确而巧妙地捕捉到了这一点，借助直观的课件，帮助学生进一步展开了分析，对图像的补充过程，恰恰是学生对正比例关系认识的完善过程。
函数有三种数学表示方法：表格、关系式和图像，这就是人们通常所说的函数的多重表示。多重表示的方法不仅可以加强概念的理解，也是解决问题的重要策略。图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，函数关系用图像来表示，以其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用，它是“看见”两种量之间的关系和变化情况的途径之一。学生在现阶段学习正比例图像，是十分困难的，这是他们第一次接触函数图像。在学习的过程中，重在让学生认识图像，感受图像的作用、价值和美，为将来继续学习函数和图像做好心理准备。
看来在课堂上发挥好“图像”的作用，可以有效地帮助学生更加深入地理解概念，感受变化关系，悄然地就实现了对函数思想的感悟。这一观点，在郭老师设计的这节课后面的练习中仍有很好的体现。
这幅图像反应的是我们学校给住宿的同学买苹果的情况。给出数据和具体的情境。
给出数据后，你又能从图中发现哪些信息？（ 12 千克苹果 48 元。）
你怎么看出来的？
生 1 ：从横轴上找到 12 千克 ，向上找到直线上对应的点，再向左找到纵轴上的值。
生 2 ：还能看出 40 元可以买 10 千克 苹果。
生 3 ：还有每千克苹果 4 元。
学校又买来一些香蕉，哪个更贵呢？

学生觉得两幅图像分开画不太容易观察，利用电脑把两个图像合在一起。

这时，学生都认为香蕉更贵，表示香蕉购买情况的这条直线更陡一些。
为什么直线越陡，价格就越贵？
生 1 ：同样的数量，比如都是 6 千克 ，从横轴上 6 千克 的位置向上看，香蕉的黄线在苹果的上面，说明香蕉的总价比苹果的多，所以香蕉更贵。
生 2 ：同样的总价，比如都是 40 元，向右看可以买 10 千克 香蕉或 12 千克 苹果，买的苹果比香蕉多，所以香蕉比苹果贵。
如果还买了一些橙子，我们已经知道橙子的价格比苹果还贵，你觉得这条直线应该画在哪里？ ( 画在香蕉的上面。 )
由此可以看出，图像已经成为了学生分析变化关系，理解变化关系，呈现变化关系的重要工具了。的确，图像让抽象的变化关系变得直观，变得让学生有更容易有“感觉”了。
这是学生第一次接触函数图像，在此之前他们甚至都没有见过图像，不知道图像是什么样的。教师应在这部分内容的教学中，大胆地为学生设计猜想、探究、实验和验证的活动，让学生有机会将已有的旧知识与新形式建立联系，在图像的观察、绘制和分析中丰富对变化的认识，让零散的连起来，让静止的动起来，让具体数变得抽象起来，这个过程就是函数思想渗透的重要过程。
看来多维教学目标的达成离不开教师对数学核心概念有清晰的认识和准确的把握，这就需要教师对教学中每个内容有深入的分析，挖掘其背后的价值，为学生长远发展奠定重要的基础