北师大版八年级上册数学第一章勾股定理导学案教学案

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本章课标要求：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
探索勾股定理（1）
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
自助探究
1．1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，
这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它
的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？

2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友
家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请同学们也观察一下，看看能发现什么？

                                 




(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；
(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.
结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
3、等腰直角三角形有上述性质，
其它直角三角形也有这个性质吗？




4、猜想：                                               
5动手操作、验证猜想：
（二）动手在纸上作出几个直角三角形，分别测量它们的三条边，填写好下表．观察三条边的平方有什么关系？(其中a、b是两直角边长，c是斜边长)
a2        b2        c2
               
               
               
               






J结论．我们古代把直角三角形中较短的直角边称为      ，较长的直角边称为           ，斜边称为          ．从而得到著名的勾股定理：                                      ．如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么                   ．
课题检测1. 求出下列直角三角形中未知边的长度。
2、求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积
巩固练习1．在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝      （2）若c＝5，a＝3，则b＝         
2．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为    ，面积为               。
3．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为                。
4．一个抽斗的长为24cm，宽为7cm，在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？
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总结评价：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在                    
方面表现不够，以后要注意的是：                                      
总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。


探索勾股定理（2）
一、学习目标：
1、了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。
2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。，
3、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系。
二、学习重点：
通过自主学习验证归纳勾股定理。并进行应用。
三、学习过程：
（一）、学前准备：
1、每位同学准备四个全等的直角三角形。
2、自主阅读课本本节内容。
（二）、自学、合作探究：
活动一：各小组用8个同样大小的直角三角形。
活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点。
思考1：  你能由图1表示大正方形的面积吗？
能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？

admin

2：你能由图2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？
能由此得到勾股定理吗？





3、请利用图3验证勾股定理

图3
4、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法？摆摆看。
（三）小结反思：理解这种数学方法，习惯上称为“算两次”。
例题讲解
例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？




基础训练
1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=        ；（2）若a=6，c=10，则b=       ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=       ，b=       .
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为         .
        3．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为          .
        4．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为　　　　　　。　
５．一棵9m高的树被风折断，树顶落在离树根3m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？


知识拓展
7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.





总结评价：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在      
方面表现不够，以后要注意的是：                                      
总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。

能得到直角三角形吗
一、学习目标
1、掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。这是本节的重点和难点。
2、理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。
二、自学感知
阅读课本第17---18页，解决下列问题：
1、        分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?
(1)3,4,5,                                         (2)6, 8, 10
2、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？
3、满足a2+b2=c2的三个         ，称为勾股数。
4、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。
（1）9,12,15;       (2)15,36,39 ；  　（３）12，35，36；　　（４）12，18，22
三、典型例题
1：如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？
2、填写下表，并验证你所填的数是否满足“勾股数”
        2倍        3倍        4倍        5倍
3,4,5        6,8,10                       
5,12,13                15,36,39               
8,15,17                        32,60,68       
7,24,25                                70,240,250
四、课堂练习
1、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（  　　）
Ａ、８，15，17；　　　Ｂ、４，５，６；　　Ｃ、５，８，10；　Ｄ、8，39，40
２、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ＡＢＣ是（　　　）
Ａ、等腰三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、等腰直角三角形　Ｄ、等腰三角形或直角三角形
３、已知：在△ABC中，三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)。试判断△ABC的形状.


４、如图所示，四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９００，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，ＣＤ＝１２，ＡＤ＝１３，求四边形ＡＢＣＤ的面积。


六、达标检测

admin

１、下列几组数中，为勾股数的是（      ）
     A、4，5，6     B、12，16，20    C、-10，24，26   D、2.4，4.5，5.1
2、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（     ）
     A、锐角三角形   B、直角三角形    C、钝角三角形   D 、都有可能
3、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,
求这块草地的面积。



4、如图所示，在△ABC中，AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12,∠B与∠C相等吗？为什么？










总结评价：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在      
方面表现不够，以后要注意的是：                                      
总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。


蚂蚁怎样走最近
【学习目标】
运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。
【学习重点】
探索、发现问题中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决实际问题。
【自学感知】解决下列问题：
1、自己做一个圆柱，在圆柱的上下底面上分别标出两点，思考并找出这两点之间的最短路线？画出图形说明。


  2、求圆柱下底面圆上一点到上底面圆上一点之间的距离时，需将        展开，转化为求平面上两点之间的      。
3、如图所示，如果只给你一把带刻度的直尺，你能否检验∠MPN是不是直角，简述你的作法。

【自学探究与合作交流】
【自学1】
1、有一个圆柱它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（参看P.22页图1—18）
⑴利用学具，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条线路，你觉得那条线路最短？
      由问题⑵及图1—19想一想，此问题是通过怎样的转换得以化简的。                                                     

【合作1】  
                             
           
  立体图形中的两点之间的最短距离
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，
从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
解：依题意，把圆柱的侧面展成如图所示的长方形，求最短路线问题就变成了根据                求        三角形边的问题。
【自学2】
2、一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、
12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮
蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
     ⑴在你的学具上画出几条线路，你认为将长方体侧面展开
       有几种方式？
反思：此问题是将立体的线路问题先       为平面的线路问题，再利用所学数学常识解决问题。
【课堂练习】
  应用勾股定理及直角三角形的判定解决简单的实际问题
1、做一做：课本P23.
【今日作业】
1、        如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个
宽为9米的护城河，那么一个长为15米
的云梯能否到达墙的顶端？




【巩固练习】
2、        如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形
油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入
一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，
问这根铁棒最长应有多长？

admin

2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

勾股定理复习
学习目标
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
一.复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：

二、示例
类型一   已知两边求第三边
例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm，2cm ，则第三边长为_____________．
类型二   构造Rt△，求线段的长
例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长．



例3．如图，P为边长为2的正方形ABCD对角线AC上一动点，E为AD边中点，求EP+DP最小值。
例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________ dm.
类型三   判别一个三角形是否是直角三角形
例5、如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE= BC．你能说明∠AFE是直角吗？

类型四    实际运用
例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东 60度方向移动（如图），距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。 ①A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？

类型五、拼图
例6、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．


三. 课堂检测
1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（      ）
A．50cm       B．100cm        C．140cm        D．80cm
2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （    ）
A．8cm   　  　B．10cm  　 　 C．12cm   　　 D．14cm
3．在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝＿＿＿
4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．  
5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．
6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿
7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

admin

8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？

八年级上册第一章勾股定理练习题
一、选择题
1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是   (     )
A. 1.5, 2, 3;      B. 7, 24, 25;     C. 6 ,8, 10;       D. 9, 12, 15.
2、适合下列条件的△ABC中, 是直角三角形的个数为  (     )
①   ② ∠A=450;   ③∠A=320, ∠B=580;
④      ⑤  
A. 2个;    B. 3个;    C. 4个;    D. 5个.
3、已知直角三角形两直角边的长为A和B，则该直角三角形的斜边的长度为（　　）
A、A＋B　　　 B、 　　　  C、 　　　   D、
4、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（  ）
A、6厘米         B、8厘米        C、 厘米         D、 厘米
5、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为            (    )  
A. 48 cm2          B. 36 cm2           C. 24 cm2          D.12 cm2
6、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面
成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（   ）
A．10米      B．15米              
C．25米      D．30米


7、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为 （     ）                                                              
A.18 cm           B.20 cm            C.24 cm           D.25 cm
8、一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略不计）（      ）
A.34英寸（87厘米） B. 29英寸（74厘米） C. 25英寸（64厘米）  D.21英寸（54厘米）
9、一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为(     )
A．60    　　B．30    　　C．24    　　D．12
10、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （    ）
A．8cm   　  　B．10cm  　 　 C．12cm   　　 D．14cm
11、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 cm， cm，则Rt△ABC的面积为（　　）．
A.24cm2　　　  B.36cm2　　　　C.48cm2　　　　D.60cm2
12、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A、25海里                B、30海里                        C、35海里                D、40海里

二、填空题
13、在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝      ．
14、在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶ b＝3∶4，则SRt△AB＝　　　．
15、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有           米。
16、如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为       m。（精确到0.1m，可能用到的数据 ， ）。
17、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为          。
18、在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要___________m．



三、解答题
19、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面 米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部 米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？












20、一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。
这个梯子顶端离地面有多高？
如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？





21、如图，海中有一小岛A，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45º的B处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30º的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。












22、如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？









24如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．








25、咖菲尔德（Garfeild，1881年任美国第二十届总统）利用图7证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现在请你尝试他的证明过程。∠B和∠D为直角。