对初中数学中几个问题的介绍

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课程教材研究所 田载今



一、问题的提出

全日制义务教育数学课程标准改变了传统的义务教育阶段小学和初中数学教学大纲分开编制的做法，合成一本出版颁布。整个义务教育阶段划分为三个学段（1～3，4～6，7～9年级分别为第一、二、三学段），这体现了义务教育的整体性，各学段（特别是第二、三学段）之间数学课程的联系更密切了。但是由于传统教育体制、模式和办学条件的诸多因素影响，目前我国学校教育的实际上基本仍然沿袭小学和初中独立建校和教学的做法，为了做好从小学到初中的过渡，使七年级的学生能够顺利自然地适应新学段数学的教学和学习，中小学数学教学工作者需要充分关注一个问题──新课标下的二、三学段（中、小学）数学课程的衔接问题。

二、第三学段数学课程的主要知识

1.数与代数

有理数、无理数、实数

整式、分式、二次根式

一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程

一元一次不等式（组）

一次函数、反比例函数、二次函数

2.空间与图形

图形认识初步 (直线、射线、线段、角)

相交线与平行线、平移

平面直角坐标系

三角形、全等三角形、轴对称、勾股定理

四边形(平行四边形、梯形)

圆、旋转、中心对称

锐角三角函数

投影与视图(三视图)

3.统计与概率

数据的收集与整理(全面调查、抽样调查)

数据的描述(频数、频率、直方图)

数据的分析(数据的集中程度、数据的离散程度、方差、用样本估计总体)

概率初步(可能性与概率、简单的概率问题、利用频率估计概率、概率实验)

4.实践与综合应用

数学活动

课题学习

例 课题学习利用不等关系分析比赛

问题 5个队在同一小组进行单循环比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，前两名从小组出线。一个队要确保出线至少需要积多少分？

三、 第二、三学段数学内容的主要变化

1.数系扩充

（1）负数的引入

（2）有理数域

（3）无理数的引入

（4）实数域

扩充的背景（动力）

扩充与因袭（和谐的发展）

扩充后的变化（进步）

2. 从数字到字母

代数式成为重要学习对象（概念、运算、符号化）

具体到抽象，特殊到一般，不同角度认识规律性

3.从算术式到方程

从数学角度看方程：含有未知数的等式。

从哲学角度看方程：反映未知数和已知数之间对立统一关系的数学模型。

方程带来的优越性：

（1）未知数有权参加运算；

（2）提供有效的数学模型。

用算术式和方程解题的思路比较

（1）出发点

（2）思考方向

（3）解题步骤

例 “鸡兔同笼”问题

算术式：（头数m×4 – 足数n）÷2= 鸡数

或（足数n – 头数m×2）÷2= 兔数

方程： 2x + 4(m-x)=n

或 4x + 2(m-x)=n

4.函数──反映事物的变化与联系的模型

从数学角度看函数：集合间的映射。

从哲学角度看函数：反映变量之间相互联系的数学模型。

函数带来的优越性：

（1）讨论范围从局部扩大到全局；

（2）讨论方式从静态上升为动态；

（3）提供新的数学模型。

5.从实验几何过渡到论证几何

对象：特殊一般

方法：实验论证

标准：实测逻辑

认识：感性理性

例 三角形内角和定理（实验与证明）

过渡方式：观察实验──说点儿理──说理──对重点部分用推理形式说理──证明

6.建立图形与坐标的联系

坐标：点的位置量化

点图形：动点轨迹（集合）

坐标方程：动点满足的条件

数与形的转化（数形结合）

图象（函数的几何表示）

7. 图形变换 ── 以运动观点看图形

图形（点）到图形（点）的映射

f ： X Y

（1）平移

（2）轴对称

（3）旋转

（4）相似（位似）

8. 认识统计思想

统计思想：通过数据量化反映客观事物，用数据说明问题、进行推断和发现规律。

收集、整理、描述、分析数据

进行统计推断（测）

完全归纳

不完全推断（总体 > 样本）

9. 概率 ── 对可能性的数学描述

必然事件与随机事件

统计与概率（频率的稳定值）

等可能事件的概率（列举法和树形图）

概率计算

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例 三中选一，甲、乙、丙三人依次抽签，有A，B，C三个签，抽到A者被选中，求各人被选中的概率。

甲 1/3
乙 （2/3）·（1/2）=1/3
丙 （2/3）·（1/2）=1/3
四、第三学段数学课程中的主要数学思想方法
1．模型化

问题 数学模型

       

问题解答 数学模型解答

建立数学模型是应用数学的基础
例 数字通信技术
音频信号数字信号
编码和译码      字母 ，自然数，二进制数
a,b,c,d,e,……w,x,y,z
0,1,2,3,4, ……22,23,24,25
axe0,23,4(00000,10111,00100)
检错和纠错   校验码，方程组，校验矩阵
代数的应用（ AX=0 ）
2．公理化（逻辑推理）
体系结构
（1）原名，公理（基本事实）
（2）命题，定理（经证明为真的命题）
和谐性，独立性，完备性
培养科学思维方法和习惯是数学教育的主要任务
观察，实验，归纳，猜想，证明，应用。
思考方法（分析、综合，类比、化归，归纳、演绎等）
与具体数学内容结合紧密的思想方法，例如，数形结合、消元、降次等。
教材处理方法：根据不同内容、对象采用适当方法，包括“体现，渗透，点拨，挑明，强调”等。
五、第三学段学生学习的一些变化
学习内容抽象性增加
接受性学习减少，自主探究加大
对能力要求更高
学习任务弹性更大，个体差异更明显
结束语
小学教育是基础中的基础，作用非常重要。了解第三学段数学课程和学习方法，并在此前有针对性地为第二、三学段的衔接进行准备，对于学生顺利地完成由小学到初中学习的过渡，是有意义的。
希望上述介绍对小学教师能有参考价值。