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发表于 2012-6-3 02:38:35
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（Ⅰ）若所抽取的 件日用品中，等级系数为 的恰有 件，等级系数为 的恰有 件，求 、 、 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为 的 件日用品记为 ， ， ，等级系数为 的 件日用品记为 ， ，现从 ， ， ， ， 中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相同的概率.
19．（本小题满分12分）
在如图1所示的等腰梯形 中, , ， 为 中点.若沿 将三角形 折起，并连结 ，得到如图2所示的几何体 ，在图2中解答以下问题：
（Ⅰ）设 为 中点，求证: 平面 ；
（Ⅱ）若平面 平面 ，且 为 中点，求证： .
20．（本小题满分12分）
设 是数列 （ ）的前 项和，已知 ， ，设 .
（Ⅰ）证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
21.（本小题满分12分）
已知中心在坐标原点，坐标轴为对称轴的椭圆 和等轴双曲线 ，点 在曲线 上，椭圆 的焦点是双曲线 的顶点，且椭圆 与 轴正半轴的交点 到直线 的距离为 .
（Ⅰ）求双曲线 和椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）直线 与椭圆 相交于 两点， 、 是椭圆上位于直线 两侧的两动点，若直线 的斜率为 ，求四边形 面积的最大值.
22．（本小题满分14分）
设关于 的函数 ，其中 为实数集 上的常数，函数 在 处取得极值 .
（Ⅰ）已知函数 的图象与直线 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）设函数 ，其中 ，若对任意的 ，总有 成立，求 的取值范围.
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数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．
DCACB ADCDD AD
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 14. 15. 16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 设 （ ），又
所以
所以 ……………3分
所以当 时， 最小值为 ………………6分
（Ⅱ）由题意得 ,
则
……………9分
因为 ,所以
所以当 ，即 时， 取得最大值
所以 时， 取得最小值
所以 的最小值为 ，此时 …………………………12分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布表得 即 ，
因为抽取的 件日用品中，等级系数为 的恰有 件，
所以 ………………………2分
等级系数为 的恰有 件，所以 ………………………4分
从而
所以 ………………………6分
（Ⅱ）从日用品 中任取两件，所有可能的结果为： ， ，
， ………………9分
设事件 表示“从日用品 中任取两件，其等级系数相等”，
则 包含的基本事件为： 共 个，
又基本事件的总数为 ，故所求的概率 ………………………12分
19．（本小题满分12分）
证明: （Ⅰ）连结 ,交 于 ,连结
在图1中, 为 中点， 为等腰梯形
所以
则 为平行四边形，
所以 ，
在图2中,
所以在三角形 中，有 ……………………4分
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 …………………………………6分
（Ⅱ）在图2中,取 中点 ，连结 ，连结
因为 为等边三角形，
所以
因为平面 平面
所以 平面 ，又 平面
所以 ……………………………8分
因为 为平行四边形，
所以 为菱形，
所以
因为 分别为 、 中点，所以
所以 ………………………………………10分
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面
所以 ……………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）因为 ,所以
即
则
所以 ……………………4分
又
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列
故数列 的通项公式为 ……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： ……………………8分
设 ………………①
则 ……………②
①-②得：
所以
所以 ……………………12分
21.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设等轴双曲线 的方程为
因 过 点，所以 ，解得
所以等轴双曲线 的方程为 ……3分
因为双曲线的顶点即椭圆的焦点坐标为
所以可设椭圆的方程为 ，且
因为 到直线 的距离为 ，所以
求得
所以椭圆 的方程为 ……………………………6分
(Ⅱ)解：设 ，直线 的方程为
把 代入 并化简得
由 ，解得 ,
由韦达定理得 ……………………………9分
又直线 与椭圆 相交于 两点，所以
所以四边形 的面积
则当 ，面积的最大值为 ，即 ……………………12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
因为函数 在 处取得极值
得：
解得 ………………………………4分
则
令 得 或 （舍去）
当 时， ；当 时， .
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
所以当 时，函数 取得极大值，
即最大值为 ……………………………6分
所以当 时，函数 的图象与直线 有两个交点………………7分
（Ⅱ）设
若对任意的 ， 恒成立，
则 的最小值 ( )……………………………9分
（1）当 时, , 在 递增
所以 的最小值 ，不满足( )式
所以 不成立…………………………………………11分
（2）当 时
①当 时， ，此时 在 递增，
的最小值 ，不满足( )式
②当 时， ， 在 递增，
所以 ，解得 ，此时 满足( )式
③当 时， 在 递增， ， 满足( )式
综上，所求实数 的取值范围为 …………………………………14分
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发表于 2012-6-3 02:38:15
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