初中数学教研资料 用几何变换证几何不等式

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用几何变换证几何不等式
湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬
几何不等式指平面图形中所含线段长度、角的大小、周长、面积等所呈现的不等关系。求证几何不等式的常见思路是：适当运用几何变换，将欲证的不等量尽可能集中到一个三角形（或两个具有紧密关系的三角形）中，以便运用三角形的不等关系性质求证。

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1．用平移变换证几何不等式

例1．如图1，在等腰△ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰AC的延长线上截取CE=BD，连接DE。求证：DE＞BC。

分析：BC、DE无法直接比较大小，设法将BC、DE集中到同一个三角形中进行比较。

证明：作DE∥BC，且DE=BC。连CF，EF。设DE交BC于G。

四边形DBCF为平行四边形

∴∠DFC=∠B=∠ACB

CF=BD=CE

∴∠CEF=∠CFE

∵∠ACB为△GCE的外角，

∠ACB＞∠CEG，∴∠DFC＞∠CEG   

∴∠DFC+∠CFE＞∠CEG+∠CEF   即∠DFE＞∠DEF，

∴△DEF中，DE＞DF，即DE＞BC

例2．如图2，P为边长为1的等边三角形ABC内任意一点。设L=PA+PB+PC，求证：1.5＜L＜2。

分析：在△PAB、△PBC、△PAC中，由“两边之和大于第三边”，易证L＞1.5；关键是如何证明L＜2。

证明：⑴在△PAB、△PBC、△PAC中，分别有：

PA+PB＞AB  ①；PB+PC＞BC  ②；PA+PC＞AC  ③

①+②+③得  2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC

即2L＞3，∴L＞1.5

⑵过P作MN∥BC，交AB、AC于M、N。

△AMN为等边三角形，AM=MN=AN，∠AMN=∠ANM=60°

又∠APM为△APN外角，∠APM＞∠ANM，∴∠APM＞∠AMN

∴△APM中，PA＜AM  ④

△MBP、△NPC中，PB＜PM+BM  ⑤；PC＜PN+CN ⑥

④+⑤+⑥得，PA+PB+PC＜AM+PM+BM+PN+CN

又AM+PM+BM+PN+CN= （AM+BM）+（PM+PN）+CN=AB+MN+CN

=AB+AN+CN=AB+AC=2

即PA+PB+PC＜2，∴L＜2

由⑴⑵，1.5＜L＜2

思路点拨：利用平移将分算的条件集中在一个三角形中或两个有紧密关系的三角形中，然后可根据三角形中边、角不等关系证明相关的几何不等式。

2．用轴对称变换证几何不等式

例3．如图3，在△ABC中，AB=AC，BC的中点为D，E为△ABD内任意一点，连接AE、BE、CE。求证：∠AEB＞∠AEC。

分析：等腰三角形为轴对称图形，利用对称性将∠AEB、∠AEC集中到一个易讨论的图形中。

证明：作E关于AD的对称点E′，连接A E′、E′C、E′E，并延长E E′交AC于F。

则有△AEB≌△AE′C，∴∠AEB=∠AE′C

∠AE′F是△AEE′外角，∠AE′F＞∠AEE′

∠FE′C是△CEE′外角，∠FE′C＞∠CEE′

∴∠AE′F+∠FE′C＞∠AEE′+∠CEE′，即∠AE′C＞∠AEC

∴∠AEB＞∠AEC。

例4．如图4，在△ABC中，AE是∠A的外角平分线，D是这条平分线上的任一点，则AB+AC和BD+DC之间的大小关系是：AB+ACBD+DC。（填＞、＝或＜）

分析：利用角的平分线的对称性，构造全等化折为直。

证明：在BA的延长线上截取AC′=AC，连DC′。

则△ACD≌△AC′D（SAS）∴DC=DC′

△BDC′中，BD+DC′＞BC′

∴BD+DC＞BC′

又BC′=AB+AC′= AB+AC

∴BD+DC＞AB+AC

例5．设凸四边形ABCD的对角线相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD。求证：BC+AD＞AB+CD。

分析：利用AC⊥BD，设法将欲证的四个不等量集中起来。

证明：在OA上截取OC′=OC，在OB上截取OD′=OD，连BC′、AD′相交于P。

则△C′OD′≌△COD（SAS），∴C′D′=CD

由对称性AD′=AD，BC′=BC

△PAB中，PA+PB＞AB  ①

△PC′D′中，PC′+PD′＞C′D′ ②

①+②得，（PB+ PC′）+（PA+ PD′）＞AB+ C′D′

即BC′+ AD′＞AB+ C′D′  ∴BC+AD＞AB+CD

思路点拨：利用几何图形的对称性构造全等，转移分散的不等量而将这些不等量集中到同一个封闭图形中或有紧密关系的两个封闭图形中，即可利用三角形中的边角不等关系证相关的几何不等式。

3．用旋转变换证几何不等式

例6．如图6，在△ABC中，∠BAC=120°，点P是△ABC内一点。求证：PA+PB+PC＞AB+AC。

分析：要证的线段都不在一条直线上，由∠BAC=120°，联想到构造等边三角形，将其中一些线段化折为直。

证明：将△APC绕C点逆时针旋转60°至△AP′C′。连PP′、CC′。

△APC≌△AP′C′，PC=PC′

由旋转性质，△APP′、△ACC′为等边三角形

∴PA= PP′，AC= AC′，∠CAC′=60°

∴∠B AC′=∠BAC+∠CAC′=180°，B、A、C′在一条直线上。

∵两点间线段最短

∴PB+ PP′+ PC′＞BC′，即PB+ PP′+ PC′＞AB+AC′

∴PA+PB+PC＞AB+AC

例7．如图7，设F是锐角△ABC内一点，使∠AFB＝∠BFC=∠CFA=120°，而P是△ABC内任意一点。求证：PA+PB+PC≥FA+FB+FC。

分析：利用120°旋转构造等边三角形，集中分散的不等量。

证明：将△ABF、△ABP绕B点依逆时针方向旋转60°，得到△A′BF′、△A′BP′。连FF′、PP′。

由旋转性质：

△ABF≌△A′BF′，△ABP≌△A′BP′

△     BPP′、△B FF′都是等边三角形。

△      

AF= A′F′，BF= BF′= F′F，A′P′=AP，BP= PP′

∴∠A′F′B=∠AFB=120°，∠BF′F＝∠B FF′=60°

∠A′F′B+∠BF′F=180°，∠BFC+∠B FF′=180°

∴A′、F′、F、C四点在一条直线上。

A′C= A′F′+ F′F+FC=AF+BF+CF

由A′、C两点之间线段最短

A′P′+ P′P+PC≥A′C

∴PA+PB+PC≥FA+FB+FC

思路点拨：利用120°、60°、90°、45°角等特殊角，通过旋转变换构造等边三角形、等腰直角三角形等，是转移相等线段关系最重要的几何变换形式。通过旋转变换，将分散的条件集中起来，便于我们证明有关的几何不等式。

4．用相似变换证几何不等式

例8．如图8，若CD为△ABC的内角平分线。则：

（A）CD2＜CA·CB；  （B）CD2＞CA·CB

（C）CD2=CA·CB；   （D）以上都有可能。

分析：求证线段乘积式的相等或不等关系，联想到相似三角形。利用角的平分线构造相似三角形。

证明：作∠CDE=∠A，交BC于E。

则△ACD∽△DCE，  ∴CD2=CA·CE

又CB＞CE，∴CD2＜CA·CB

思路点拨：求证线段乘积式的相等或不等关系，一般联想到相似三角形。利用利用已知条件构造与相关线段有关的相似三角形是解题的基本思路。除本例外，作平行线、作高是常见的辅助线。

作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《中学数学》、《中学生数学》、《数理天地》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《语数外学习》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章100多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。

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