2012年小学五年级奥数寒假作业及答案难题

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2012年小学五年级奥数寒假作业及答案难题
第十天：
1．体育课上，30名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，30，然后，老师让所报的数是2的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是3的倍数的同学向后转，最后让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？
解：此题是容斥原理（包含排除、重叠问题）与奇偶分析的综合题。低年级的孩子可以用枚举的方法（容斥原理没听课，所以需要补上）：
2的倍数15个：
2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30
3的倍数10个：
3、6、9、12、 15、 18、 21、 24、 27、 30
5的倍数6个：
5、10、15、20、25、30
既是2又是3的倍数5个：
6、12、18、24、30
既是2又是5的倍数3个：
10、20、30
既是3又是5的倍数2个：
15、30
是2、3、5的倍数1个：
30
想要最后面向老师，那么符合这样条件的学生，要么转动了0次，要么转动了2次。
结合上面的分析，应该很好理解了。
最后的结果为：
30 -（15 + 10  + 6 - 5 - 3 - 2 +1）+（5 + 3 + 2 - 3×1）＝ 15人
而使用容斥原理可直接用上述式子得出。
2．对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？
解：231是11的倍数，操作只有两个，一个是加121，而121也是11的倍数，另一个操作是除以2（一个是11倍数的偶数的一半，仍然是11的倍数），这两个操作都无法改变得数仍然是11倍数的这一性质，即在运算过程中出现的数一定都是11的倍数，因为100不是11的倍数，所以在题目中定义的运算里是不可能出现100的。
如果将以上题目的231改变为任意一个11的倍数，包括0（要先加121，即121）和11本身，那么得数中肯定不会有100，这个结论是可靠的。但如果将231改变为任意一个不是11的倍数的数，比如1、2、3、343甚至更大，只要不是11的倍数，就会出现100，比如1，会在第105步得到100；2会在第106步得到100；而34只用了16步：
第 1 步： 34 ÷ 2 = 17
第 2 步： 17 + 121 = 138
第 3 步： 138 ÷ 2 = 69
第 4 步： 69 + 121 = 190
第 5 步： 190 ÷ 2 = 95
第 6 步： 95 + 121 = 216
第 7 步： 216 ÷ 2 = 108
第 8 步： 108 ÷ 2 = 54
第 9 步： 54 ÷ 2 = 27
第 10 步： 27 + 121 = 148
第 11 步： 148 ÷ 2 = 74
第 12 步： 74 ÷ 2 = 37
第 13 步： 37 + 121 = 158
第 14 步： 158 ÷ 2 = 79
第 15 步： 79 + 121 = 200
第 16 步： 200 ÷ 2 = 100
那么我们能不能就说只要不是11的倍数，应用上述规则进行计算，结果中就一定会出现100呢？尽管做了可能的很多试验，这个结论是正确的，但还必须经过数学证明才能下此结论。
3．有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，这类数中最大的自然数是几？为什么？
解：按照题意，要使得数最大，那么前面的数字一定要最小，这样得到的结果的位数就可能大，最后的得数就大。
因为第一位只能是1，那么第二位就是0，有了这两位，依照题目给出的规则就可以逐步计算出所有的位数，直到最后两位数字之和大于9。
最后可得到所求的自然数是10112358。
4. （多次相遇问题）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙二人的速度分别是每小时30千米和20千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地之间的距离是多少千米？
解：如图所示，在A、B间，设甲、乙第一次相遇M点，第二次相遇N点，并设A、N两点间的距离为a，M、B两点间的距离为b，根据题意有MN两点间的距离为20千米。
      a   20   b
A       N          M         B
第一次相遇时，甲走了（a+20）千米，乙走了b千米，相遇时所用时间相同，则有：
（ a + 20 ）÷ 30 = b ÷ 20            ①
自第一次相遇点（即M点）到第二次相遇（即在N点）时，甲又走了b+b+20，乙又走了20+a+a，可以看出甲和乙共走了A、B间的2倍的路程，并且，根据题意又有A、B均是匀速，也就是有甲第二次走的路程（b+b+20）是第一次相遇走的路程（a+20）的两倍（因为总路程是两倍，所用时间也是两倍，所以有这个结论），于是有：
（ b + b + 20 ）= 2 × （ a + 20 ）     ②
由以上①、②式联立得方程组解得：
a = 10 ，b = 20
那么A、B之间的距离是 a + 20 + b = 50 千米。
答：A、B之间的距离是50千米。

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2011-12-28 17:59 上传

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5、（余数问题）1013除以一个两位数，余数是12，求出符合条件的所有的两位数。
解：余数为12，那么根据除法的性质，除数一定大于12；又有（1013-12）一定能被符合条件的数整除，我们首先计算出1001的除了1和其自身的所有的质因数：
11| 1001
   13|91
       7
那么符合条件的就在上述数字及其相互间的乘积中，可以得出两位数的有13、77、91。

第九天：
1．（燕尾定理）如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点，阴影部分的面积是多少平方厘米？

解：连接F、C两点，因为F是DG的中点，那么△CFG与△CFD的面积相等，并且等于△CDG面积的一半，即长方形ABCD面积的四分之一，又因为EC=2DE，那么△CFE的面积等于△EDF的两倍，所以阴影部分的面积即是：
2÷4×（5÷6） = 5/12
答：阴影部分的面积是十二分之五平方厘米。

2．（约数倍数问题）海港码头三只船，甲船往返需三天，乙船出海五天回，丙船七天返回岸，三船1996年元旦出海去，下次同遇码头边，恰在这一年的几日？请你动脑细心算。
解：3,5,7的最小公倍数是[3,5,7]=105；又1996年闰年，二月是29天，一月，三月都是31天，105-(31+29+31)=14，因此，下次三船同遇码头边在4月14日。
答：下次在码头相遇是在1996年的4月14日。
3．（周期问题）a ÷ 7化成小数后，小数点后至少多少个数字之和是2008，这时a是多少？
解：分母是7的分数化成小数的特点是，都是由123857这六个数字组成的无限循环小数，并且根据分子的不同，其排列顺序是首尾相接循环，只是位置不同。比如：
1÷7 = 0.142857 142857 142857…
2÷7 = 0.285714 285714 285713…
也就是说，不论分子是几，其小数表示的一个循环节中数字和是相同的，即每一循环节的数字和都是1+4+2+8+5+7=27，根据题意，2008中有74个27，且余10，那么循环节中相邻数字之和为10的只有2和8，即a=2。
答：根据题意，a是2。
4．（数字谜）、[4.2×5－(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04=100 改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少？
解：根据[4.2×5－(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04=100，得到[21－（0.4+13）]×25=100，只有一个小数，假设小数有问题，那么，（21-17）×25=100，0.4应为4，2.5应为0.25
答：把2.5改成0.25。
5．（操作问题）向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字。现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该页面，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字。每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作多少次？
解：根据题意，每次操作的结果字数都是前一次的2倍，2的10次方是1024，那么再复制粘贴一次就可超过1677，即需要11次。

第八天：
1、（燕尾定理）如图在△ABC中，AB=3BD，4BE=3EC，AE与CD相交于点F，其中四边形BDFE的面积为13cm²。求阴影三角形AFC的面积。
  
解：连接B、F两点，并设△BDF和△BFE的面积分别为a和b，则根据题意有：
a + b = 13
设所求阴影△AFC的面积为X，根据题意，有△ABF的面积为：3a；△BFC的面积为：7b÷3，根据蝴蝶定理，△AFC与△FBC的面积之比等于线段AD与DB的长度之比，所以有：
x :（7b÷3）= 2 : 1
同时△AFC与△ABF的面积之比等于线段EC与BE的长度之比，所以有：
x : 3a = 4 : 3，

由上述两个式子分别化简可以得到：
b = 3x÷14
a = x÷4，
那么上述两个式子左右分别相加即可得到
3x÷14 + x÷4 = b + a = 13
解方程得x=28。
答：阴影三角形AFC的面积是28cm²。
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2．（组合问题）有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其它各队比赛一场），然后由各组的前两名共四个队再进行单循环决定冠亚军。问：共需要比赛多少场？
解：这是一道典型的组合问题，直接套用公式即可。
第一组单循环需要比赛：
C = 7×6 ÷ 2 = 21；
第二组单循环需要比赛：
C  = 6×5 ÷ 2 = 15；
决赛需要
C  = 4×3 ÷ 2 = 6，
因此共需要比赛21+15+6=42场。
答：共需要比赛42场。

3．（抽屉原理）请问从1，2，3，…，2008这2008个正整数中至多可以取出多少个数，使得取出的数中任意两数之和不能被这两数之差整除？(2008年国际小学数学竞赛（队际赛）)
解：670。
对这些数每相邻的三个数分为一组，即(1,2,3) (4,5,6) (7,8,9) … (2005,2006,2007), 2008，共有669组，多一个2008，如果2008自己一个组，那么就共有670组。
如果取了671个数，根据抽屉原理，那么必然有一组中被取出了两个数，设为a 、b ，那么a-b 是 1 或者 2，并且a+b 与a-b同奇偶，于是a+b能被a-b整除 ，所以所取的数不能超过670个。

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4．（定义新运算）如果a※b表示a×b-b，例如2※5=2×5-5=5，那么当（X※2）※1=3时，X=       。
解：直接套用新运算公式，可分步：
第一步：设X※2=Y，则Y※1=3，根据新运算定义，即有Y×1 - 1 = 3，则可求得Y=4；
第二步：将Y代入有X※2 = 4，根据新运算定义，有X×2 - 2 = 4，则求得X=3。

5．（逻辑推理）一天，唐僧师徒四人来到一家小旅店，店里的人都吓跑了，师徒四人只能自己动手做饭，他们一个挑水，一个洗菜，一个烧火，一个淘米。现在知道唐僧不挑水，也不淘米；猴子不洗菜，也不挑水；老猪既不挑水也不洗菜，假如猴子不淘米，那么沙僧就不挑水。请问他们各忙活什么？
解：从题意知，唐僧、猴子和老猪都不挑水，那么挑水的只能是沙僧，又知如果猴子不淘米，那么沙僧就不挑水，所以，猴子必须要淘米，只剩下洗菜和烧火了，又因为老猪不洗菜，所以老猪只能去烧火，剩下的洗菜唐僧只好自己干了。
答：唐僧洗菜，孙悟空淘米，猪八戒烧火，沙僧挑水。

第七天：
1、（数字迷）下面算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉子代表不同的数字，数数×科学 = 学数学，那么，“数学”两字代表的两位数是               。
解：思路分析，“数数”所代表的数字一定是11的倍数，那么可能的两位数是11,22,33，…，99，先从11着手试吧，“学数学”代表的数字一定也是11的倍数，2×学－数也是11的倍数，经试算答案是11×56 = 616，所以“数学”两字代表的两位数是16。

2、（抽屉原理）布袋里有5种不同颜色的球，每种都有20个，最少取出多少个球，才能保证其中定有3个颜色相同的球？
解：最不利的情况是五种球每种都取到了两个，那么再任意取一个，就可以保证有3个颜色相同的球了。即最少要取11个。
答：最少要取出11个球，才能保证有三个颜色相同的球。

3、（抽屉原理）一个口袋里分别有红、黄、黑球4、 7、 8个，为使取出的球有6个同色，则至少要取小球多少个？
解：只能取到六个黄球或者黑球，最不利的情况是取到了红球4个，黄球和黑球各5个，那么再取任意一个就可以保证有6个球同色，即至少要取4+5+5+1=15个球才能保证有六个同色的球。
答：至少要取15个小球，才能有六个同色。

4、（排列问题）由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数，四位数有多少个？
解：注意0不能在首位，那么可能的排列有5×5×4×3=300个。即：

答：这样的四位数有300个。
5、（约分技巧）            
解：



第六天:
1、（流水行船问题）某船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要多少小时？
解：根据已知条件可以计算出船速和水速，暴雨后船速不变，但水速改变，根据条件可以计算出改变后的水速，从而得出最终的结果。
船速：（180÷10+180÷15）÷2=15
暴雨后的水速：180÷9-15=5
所以暴雨后逆水而行需要：180÷（15-5）=18小时。
此题亦可列方程求解。
答：暴雨后逆水而行需要18小时。

2、（位值原理）在5678这个数的 前面或后面添写一个2，所得到的两个五位数都能被2整除。现在请找出一个三位数添写在5678的前面或后面，使所得的两个七位数都能被这个三位数整除。满足题意的三位数有哪几个？
解：分析后得5678这个数一定能被这个三位数整除，先计算出5678的质因数：
2|5678
17|2839
167
即5678的质因数除了1外还有2、 17和167，那么符合要求的三位数有167、 334。
答：满足题意的三位数有167和334。

3、（约分技巧）计算：
解
：
4、（蝴蝶定理）如图在正方形ABCD中，E、F是DC边上的三等分点，图中阴影部分面积为12平方厘米，求正方形的面积。
解：48cm²。

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5、（找规律）有一串数：1,1,2,4,7,13,24,…，从第四个数起，每个数恰好是前三个数的和，那么再这串数中，第2009个数被3除后所得余数是    。
解：所得余数只能是0或1或2，第2009个数不能硬算（计算到第100个数的时得到的数字就已经有26位了，后面的位数可想而知有多恐怖），那么从开始找一下除以3后余数的规律，经过计算，前100个数字除以3之后的余数分别是：
1 1 2 1 1 1 0 2 0 2 1 0 0
1 1 2 1 1 1 0 2 0 2 1 0 0
1 1 2 1 1 1 0 2 0 2 1 0 0
1 1 2 1 1 1 0 2 0 2 1 0 0
1 1 2 1 1 1 0 2 0 2 1 0 0
1 1 2 1 1 1 0 2 0 2 1 0 0
1 1 2 1 1 1 0 2 0 2 1 0 0
1 1 2 1 1 1 0 2 0
显然，每13个数为一组，余数循环，那么2009里面有154个13余7，那么这13个一组的余数里第七个是0。即第2009个数被3除后所得余数是0。


第五天：
1、（分解质因数）某学生在做两位数的乘法时，把其中一个数的末位7错看成9，结果得到1349，那么正确的结果应该是     。
解：将1349分解质因数：
19|1349
71
即1349 = 19 × 71，里面只有一个末位数是9，也就是其看错的那个数，将之改为7后，得17×71 = 1207。
2、（火车过桥问题）小明匀速在铁路边散步，一列匀速行驶的火车，从后面追上小明，并超过小明，用时为12.5 秒，小明又以相同的速度掉头往回走，过了一段时间，一列以相同速度行驶的火车，迎面开来，小明发现从车头经过自己身边到车尾离开自己用时 10 秒已知两列火车的长度都是 200 米，则火车的速度是多少米/秒，小明散步的速度是多少米/秒?
解：火车速度：（200÷12.5 + 200÷10）÷2 = 18米/秒
小明散步速度：（200÷10 - 200÷12.5）÷2 = 2 米/秒。
此题亦可使用方程组求解。
答：火车速度是18米/秒，小明散步速度是2米/秒。
3、（位值原理）若用相同汉字表示相同的数字，不同汉字表示不同的数字，则下列算式中，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？
算式：学习好勤动脑 × 5 = 勤动脑学习好 × 8
解：设“学习好”为 ，“勤动脑”为 ，则有 ，化简得 ，即 ，有 ， ， ， ．
所以，“学习好勤动脑”所表示的六位数可能为205128，410256，615384，820512，由于不能有重复数字，只有410256，615384满足，其中最小的是410256。
4、（定义新运算）如果a※b表示a×b+a-b，例如4※3=4×3+4-3 = 13，那么13※8=？
解：直接代入新运算公式得：13×8+13-8 = 109
5、（鸟头定理）如图：将三角形ABC的AB边盐城一倍到D，BC边延长两倍到E，CA边延长三倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是 18       。
解：画三条辅助线，根据三角形面积性质，即可分别求出每个小三角形的面积，最后加起来即可。


第四天：
1、（质数性质）如果a，b均为质数，且3a + 7b = 41，则a+b =           。
解：根据题意可知a，b一定小于13并且其一一定是偶质数2，13之内的质数有11，7， 5 ，3 ，2，试一下知3×2 + 7 × 5 = 41，所以a+b=2+5=7。
2、（周期问题）把 化成小数，小数点后第2009位数字是      。
解：分母是7的分数化成小数的特点是，都是由123857这六个数字组成的无限循环小数，并且根据分子的不同，其排列顺序是首尾相接循环，只是位置不同。比如：
3÷7 = 0.428571 428571 428571…
3÷70=0.0428571 428571 428571…
其小数表示的一个循环节中数字和是相同的，即每一循环节都是六位数字，根据题意，去除一个0占的一位，还有2008位，2008中有334个6余4，即2008位是5。

3、（等积变换模型）如图，三角形ABC的面积是3平方厘米，其中AB：BE=2:5，BC：CD=3:2，三角形BDE的面积是多少？
解：3×（5÷2）×[(3+2)÷3]= 12.5cm²
即可以理解成一个直角三角形的两条直角边分别是原来边的a、b倍，那么扩大后的三角形的面积就是原来三角形面积的a×b倍。

4、（火车过桥问题）一列火车驶过 250 米长的隧道用了 20 秒。若将火车的速度提高一半，则通过长 330 米的隧道只用了16 秒，则这列火车的全长为        米，火车行驶的速度为每秒        米。
解：设火车长为a米，速度为每秒x米，根据题意有：
20x = 250 + a
16×1.5x = 330 + a
解这个方程组得：a = 150，x = 20
答：这列火车全长150米，火车行驶的速度为每秒20米。


5、（位值原理）有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六位数，如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是   。
解：设这个五位数是x，根据位值原理和题意则有：
（10x + 7）×5 = 700000 + x
解这个方程式得x = 14285。

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第三天：
1、（整除问题）已知五个数依次是16,24,15,25,20他们每组相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，一直乘到只剩下一个数。请问最后这个数从个位起向左数，可以连续数到多少个0。
解：要使得数的末位数是零，那么相乘的两个数的末位一定是2和5（如果末位数是0，可看做是一个5和2的乘积，所以也符合上述结论）。题目中，所给数中2的个数显然要比5多（16可看做是2×2×2×2），因此只要数出乘到最后总共有多少个5就可以了。提醒一下，25要看做是5×5，要按两个5计算。
    根据原图，下面右图中填写的是过程中每一步可以分解为多少个5，注意的是从上到下，相邻两个数之间是相加的关系。这样算下来最后的数中可以分解出15个5，由于该数中能分解为2的个数要超过15个（经验算为18个，看来还是要严谨的计算的，计算方法同上述计算因数5的个数的方法），所以最后的结果中含有15个0。
      

扩展理解：为了便于很快找出积的末尾有多少个“0”，先来看另外一道题：
假若把从1—100这一百个连续自然数连乘，得到的积是A×10N，求N的值。这个“N”，事实上就是积的末尾连续“0”的个数。
我们知道，积的末尾要有“0”，积的因数中必须要有质因数2和5，有多少对2和5，就有多少个“0”。
在1—100的连续自然数中，5比2少，因此，只要找出5的个数就可以知道有多少个“0”了。那么，5的个数是20吗？显然不止。
因为在25，50，75和100这四个数中，它们都各有2个质因数5，这样就应该有（20＋4 =）24个质因数5，那么，积的末尾有24个“0”， 所以N = 24。
2的个数：[100/2]＋[100/22] = 50＋25 = 75（个），
5的个数：[100/5]＋[100/52] = 20＋4 = 24（个）。
即积的末尾有24个“0”。

2、（余数问题）一个数有2007位，每个位上都是1，被13除余多少？
解：余数的规律是：
1 11 7 6 9 0
1 11 7 6 9 0
1 11 7 6 9 0
1 11…
六位循环一次，那么2007中有334个6，余3，那么这个2007位的数除以13后余7。
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3、（质数性质）两个质数的和是39，求这两个质数的积。
解：因为和是奇数，所以必有质数2，所以两个质数的积为2×37 = 74。


4、如图所示的四边形的面积等于多少？

解：通过割补，变成一个12为边长的正方形。所以其面积就是12×12 = 144。
5、（位值原理）求一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍与25之差。
解：275


第二天：
1、（分数应用题）唐僧师徒四人吃了很多馒头。唐僧和猪猪共吃了总数的二分之一，唐僧和沙和尚共吃了总数的三分之一，唐僧和猴头共吃了总数的四分之一，那么唐僧吃了总数的多少？
解：唐僧吃了：
或利用方程求解，设唐僧吃了a，猪猪吃了b，沙和尚吃了c，猴头吃了d，那么根据题意有：

答：唐僧吃了总数的二十四分之一。

2、（方程问题）某次数学竞赛有10道题，若小宇得70分，根据以下条件：答对一题得10分，答错一题倒扣5分，求小宇答对了多少题？
解：设小宇答对了x道题，根据题意有：
10x - （10-x）×5 = 70
10x - 50 + 5x  = 70
           15x  =120
             x  = 8
解方程得x=8
答：小宇答对了8道题。

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3、（分数应用题）菜地里的西红柿获得丰收，摘了全部的五分之二时，装满了3筐还多16千克。摘完其余部分后，又装满6筐，则共收得西红柿多少千克？
解：设共收西红柿x千克，根据题意有：

解方程：x=240
答：共收西红柿240千克。
后注：该题目要注意的一点是，总共装了多少筐，按照题意，这个总数应该是9筐，而且是装满且没有剩余。另外还认为那16千克是第一次摘的五分之二里的，但是被装在了后六筐里。这非常重要，学而思教师给出的答案就是忽略了这一点导致结果在我看来是错误的，并且给出的解答过程不符合常理。下面用一个图示也许更能说明问题，并且给出更加简单的一个方法：

由上图可以看出，总共九筐，三筐就是其中的三分之一，16kg对应的比例应该是：

所以总量，也就是总共收得的西红柿为：


4、（数学游戏）31个学生做成一圈，依次编号为1,2,3,…,31，现在进行1,2,3循环报数，报1的留下，2,3的离开，直到最后还剩下一个。问：这个学生的编号是多少？

5、如图所示，四个相叠的正方形边长分别为5、 7、 9 、11，问灰色区与黑色区面积的差是多少？

解：图中白色部分分别属于灰色矩形和黑色矩形，因此，灰色和黑色矩形的面积差为：
11×11 - 9 × 9 + 7 × 7 - 5 × 5 = 64.
答：灰色区与黑色区的面积差是64。

第一天：
1、（牛吃草问题）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果有4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？
解：设每个人每天喝掉1个单位，6人喝4天共24单位，4人喝5天共20单位，所以一天漏掉4单位，即可供4人喝一天。

2、（钟表问题）小明放学后是三点多，当他走出学校校门时，时针和分针恰好重合，到家用了半个多小时，如果小明到家惊奇的发现时针和分针恰好在一条直线上，问小明到家具体用了多少分钟（用分数表示）。
解：

3、（面积问题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：长方形的面积是多少平方厘米。

解：对于长方形内（极端情况在顶点和边上）任意一点，与四个顶点连接后所分割出的四个三角形中，对边为底的两个三角形的面积和是长方形面积的一半，这根据三角形公式很容易得出。那么该长方形的面积为21÷（0.5-0.15）=60平方厘米。
答：长方形的面积是60平方厘米。
4、（年龄问题）3年前哥哥与弟弟的年龄比为3:1，2年后哥哥和弟弟的年龄比为5:2，问哥哥和弟弟现在的年龄和为多少？
解：用方程组解，设哥哥和弟弟现在的年龄分别为a和b，则有：
（a-3）：（b-3） =3:1
（a+2）：（b+2）=5:2
解方程组得：a=48，b=18，所以兄弟两人的年龄和是64。
答：哥哥和弟弟现在的年龄和是64。
5、（牛吃草问题）超市的每一个收银台每小时能为80名顾客结账，如果开设4个收银台，5分钟后就没有顾客排队，如果开设3个收银台，7分钟后就没有顾客排队，问如果只开设一个收银台，则几分钟后没有顾客排队。
解：把收银台看成是“牛”，前来排队的顾客看成是“草”，“收银台平均每小分钟有 名顾客前来排队付款”，说明草的生长速度是 ，所以原来排队的顾客有 ，所以过 分钟就没有人排队了.