圆周角
一、填空题:
1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.
圆心角和圆周角
◆随堂检测
1．如图，图中圆周角的个数是( )
A．9 B．12 C．8 D． 14
2．如图，圆∠BOC=100 o，则圆周角∠BAC为( )
A．100 o B．130 o C．50 o D．80o
3．如图，AB为⊙O的直径，点C在QO上，∠B=50 o，则∠A等于( )
A．80 o B．60 o C．50 o D．40 o
4．如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25o，则∠ACB的大小为___________．
5．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为a，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D．则BD的长为___________．
◆典例分析
如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．
分析：所要求的三线段BC，AD和BD的长，能否把这三条线段转化为是直角三角形的直角边问题，由于已知AB为⊙O的直径，可以得到△ABC和△ADB都是直角三角形，又因为CD平分∠ACB，所以可得 = ，可以得到弦AD=DB，这时由勾股定理可得到三条线段BC、AD、DB的长．
解：∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴ = ．
在等腰直角三角形ADB中，
点评：利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形解题．
◆课下作业
●拓展提高
1．如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．
2．如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50 o．则∠ADC=_______．
3．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30 o，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是 ( )
A．150 o B．120 o C．100 o D．90 o
4．如图,∆ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30o，则∠CAD等于( )
A．30 o B．40 o
C．50 o D． 60 o
5．如图，∠APC=∠CPB=60 o，请推测△ABC是什么三角形，并证明猜想的正确性．
6．如图，AD是∆ABC的高，AE是∆ABC的外接圆的直径．试说明AB·AC=AE·AD．
7．如图，点A、B、C为圆O上的三个点，∠AOB=∠BOC, ∠BAC=45 o，求∠ACB的度数．
8． 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D(AD<DB)，点E是DB上任意一点(点D、B除外)，直线CE交⊙O于点F，连结AF，与直线CD交于点G．
(1)试说明AC2=AG·AF；
(2)若点E是AD(点A、D除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形，并给予证明；若不成立，请说明理由．
●体验中考
1．(温州)如图，∠AOB是⊙0的圆心角，∠AOB=80°，则弧所对圆周角∠ACB的度数是( )
A．40° B．45° C．50° D．80°
2．(凉山州)如图，是的外接圆，已知，则的大小为( )
A．40° B．30° C．45° D．50°
3．(山西省)如图所示，、、、是圆上的点，
则 度．
4． (宁夏)已知：如图，为的直径，交于点，交于点．
(1)求的度数；
(2)求证：．
参考答案
◆随堂检测
1．B 提示：利用弧来找圆周角
2．C 提示
3．D 提示：
4．650 提示：
5．
◆课下作业
●拓展提高
1． 500 提示：
2． 400 提示：连接BC，
3． B 提示：连接BC，
4．D
5．
6．
7．
8．(1)证明：
●体验中考
1．A 提示：
2．A
3．300 提示：
4．
(1) (2) (3)
2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.
3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
(4) (5) (6)
5.如图5,AB是⊙O的直径, ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.
6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
二、选择题:
7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°, 则圆周角∠BAC的度数是( )
A.50° B.100° C.130° D.200°
(7) (8) (9) (10)
8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
9.如图9,D是的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )
A.100° B.80° C.50° D.40°
11.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
12.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )
A.40° B.50° C.70° D.110°
三、解答题:
13.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.
14.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.
15.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值.
16.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
(1)P是上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.
17.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)
18.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?
参考答案
1.120°
2.3 1
3.160°
4.44°
5.50°
6.
7.A
8.C
9.B
10.C
11.B
12.C
13.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,
故△COD是等边三角形,从而CD= 4cm.
14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.
∵AD是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC2+CD2=AD2,
即2AC2=36,AC2=18,AC=3.
15.连接BD,则∴AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.
在Rt△PBD中,cos∠BPD==,
设PD=3x,PB=4x,
则BD=,
∴tan∠BPD=.
16.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径,
∴,∴∠COB= ∠DOB.
∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.
(2)∠CP′D+∠COB=180°.
理由如下:连接P′P,
则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.
∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.
∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,
从而∠CP′D+∠COB=180°.
17.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.
18.a.
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发表于 2020-8-29 13:52:52
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