中考试题分类汇编——相交线平行线三角形

星空

一、选择题

　　1、（2007河北省）如图1，直线a，b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）C

　　A．50°         B．60°                C．140°            D．160°


　　2、（2007浙江义乌）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（　　）A

　　A．3　        B．4　　
C．5　         D．6


　　2、（2007重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（
）C


　　
（A）200          （B）1200       （C）200或1200        （D）360


3、（2007浙江义乌）如图，AB∥CD，∠1=110°∠ECD=70°，∠E的大小是（　）B

　　A．30°　        B．40°　        C．50°　            D．60°


　　5、（2007天津）下列判断中错误的是（
）B


A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等


C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等


D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等


　　4、（2007甘肃陇南）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE＝4，则BC=（
）D

　　  A．9      B．10      C．11      D．12


5（2007四川资阳）如图5，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于(   )C

　　A. 90°      B. 135°      C. 270°      D. 315°


6、（2007四川资阳）如图8，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60 cm，AB=100 cm，a、b、c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行. 若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a、b、c的个数是(   )D

　　A. 6            B. 7           C. 8           D. 9


　　7、（2007浙江临安）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则DE∶BC的值为（
）A

　　A．         B．         C．         D．


　　8、（2007福建晋江）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE＝，则下列说法正确的个数有（
）C

　　①DC′平分∠BDE；②BC长为；③△B C′D是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长。


　　A． 1个；           B．2个；            C．3个；            D．4个。


　　9、（2007山东日照）某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：


　　方法一：在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；


　　方法二：在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线；


　　方法三：在腰AB上找一点D，作DE∥BC，交AC于点E，DE作为分割线；


　　方法四：以顶点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线．

　　这些分割方法中分割线最短的是（　　）A


　　（A）方法一
（B）方法二
（C）方法三
（D）方法四


　　二、填空题


1．（2007广西南宁）如图1，直线被直线所截，若，，则．60

　　2、（2007云南双柏）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为
．9


　　3、（2007浙江义乌）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC=___▲___cm.　12

　　4、（2007福建福州）如图5，点分别在线段上，相交于点，要使，需添加一个条件是
（只要写一个条件）．

　　解：，，，（任选一个即可）


　　5、（2007四川德阳）如图，已知等腰的面积为，点分别是边的中点，则梯形的面积为______．6

　　6、（2007浙江杭州）一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个角应该为
。


　　7、（2007天津）如图，中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=＿＿＿
。3

　　8、（2007辽宁大连）如图5，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22米，则旗杆的高为_____________m．12

　　9、（2007湖南岳阳）已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A＝_________（答案：60°）


　　10、（2007浙江金华）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点是正六边形的一个顶点，以点为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长
．

　　11、（2007湖南怀化）如图：分别是的中点，，，分别是，，的中点这样延续下去．已知的周长是，的周长是，的周长是的周长是，则．

　　12、（2007四川资阳）如图4，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=_____________ . 2476099.

　　三、解答题


1、（2007浙江温州）已知：如图，.

　　


　　2、（2007重庆）已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE。求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）GF＝GC。

　　证明：（1）∵BF＝CE  ∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF


　　
又∵AB⊥BE，DE⊥BE   ∴∠B＝∠E＝900


　　
又∵AB＝DE   ∴△ABC≌△DEF


　　
（2）∵△ABC≌△DEF   ∴∠ACB＝∠DFE


　　        ∴GF＝GC


　　3、（2007浙江金华）如图，在同一直线上，在与中，，，．


　　（1）求证：；


（2）你还可以得到的结论是
（写出一个即可，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）．

　　（1）证明：，，


　　在和中


　　


　　（2）答案不惟一，如：，，等．


　　4、（2007甘肃陇南）如图，在△ABC 中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE= DF，并说明理由．

　　解： 需添加条件是
．


　　
理由是：


　　解： 需添加的条件是：BD=CD，或BE=CF．    2分


　　添加BD=CD的理由：


　　如图，∵ AB=AC，∴∠B=∠C．             …4分

　　又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BDE=∠CDF．  6分


　　∴ △BDE≌△CDF (ASA)．


　　∴ DE= DF．                   ………8分


　　添加BE=CF的理由：


　　如图，∵ AB=AC，


　　∴ ∠B=∠C．            ………………4分


　　∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD．       …………6分


　　又∵ BE=CF， ∴ △BDE≌△CDF (ASA)．


　　∴DE= DF．



　　5、（2007湖南怀化）如图，，，，求证：

　　证明：


　　


　　即：


　　又，


　　


　　

星空

6、（2007南充）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．

　　解：AD是△ABC的中线．        
　　　　理由如下：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
　　　　∵　BE＝CF，∠BDE＝∠CDF，
　　　　∴　Rt△BDE≌Rt△CDF．
∴　BD＝CD．

　　　　故AD是△ABC的中线．


　　7、（2007浙江杭州）如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面4个结论：

　　①射线是的角平分线；


　　②是等腰三角形；


　　③∽；


　　④≌。


　　（1）判断其中正确的结论是哪几个？


　　（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。


　　（1）正确的结论是①、②、③；（2）证明略。


　　8、（2007四川乐山）如图（11），在等边中，点分别在边上，且，与交于点．

　　（1）求证：；


　　（2）求的度数．


　　（1）证明：是等边三角形，


　　，


　　又


　　，····· 4分


　　．······ 5分


　　（2）解由（1），


　　得······· 6分


　　


　　······ 9分


　　9、（2007重庆）已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝900，AB＝10，D为△ABC外一点，边结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E。

　　（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长；


　　（2）若BD＝AB，且，求DE的长。


　　解：（1）∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝600，AD＝AB＝10


　　   ∵DH⊥AB   ∴AH＝AB＝5，     ∴DH＝


　　     ∵△ABC是等腰直角三角形    ∴∠CAB＝450


　　∴∠AEH＝450  ∴EH＝AH＝5，∴DE＝DH－EH＝


　　（2）∵DH⊥AB且，     ∴可设BH＝，则DH＝，DB＝


　　     ∵BD＝AB＝10    ∴  解得：


　　     ∴DH＝8，BH＝6，AH＝4


　　
又∵EH＝AH＝4，     ∴DE＝DH－EH＝4


　　10、（2007四川乐山）如图（13），在矩形中，，．直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点．我们知道，结论“”成立．


　　（1）当时，求的长；


　　（2）是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．


　　我选做的是_____________________．

　　解（1）在中，由，


　　得


　　， 由知


　　，．



　　（2）假设存在满足条件的点，设，则


　　由知，，解得，


　　此时，符合题意．


　　11、（2007山东青岛）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：


　　（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?


　　（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的


　　关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；


　　（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

　　解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．


　　△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，


　　∴BP＝(3－t ) cm．


　　△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，


　　若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．

　　当∠BQP＝90°时，BQ＝BP．


　　即t＝(3－t )，t＝1 (秒)．


　　当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ．3－t＝t，t＝2 (秒)．


　　答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．



　　⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝，


　　∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t )．∴S△PBQ＝BQ·M＝· t ·(3－t )．


　　∴y＝S△ABC－S△PBQ＝×32×－· t ·(3－t )＝．


　　∴y与t的关系式为： y＝．



　　假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，


　　则S四边形APQC＝S△ABC ．∴＝××32×．


　　∴t 2－3 t＋3＝0．∵(－3) 2－4×1×3＜0，∴方程无解．


　　∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．……8′


　　⑶ 在Rt△PQM中，MQ＝＝．


　　MQ 2＋PM 2＝PQ 2．∴x2＝[(1－t ) ]2＋[(3－t ) ]2


　　＝＝＝3t2－9t＋9．



　　∴t2－3t＝．∵y＝，


　　∴y＝＝＝．


　　∴y与x的关系式为：y＝．



　　12、（2007甘肃白银等）如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．


　　在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：．


　　在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．


　　（1）请探究：图（2）--（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）


　　（2）证明图（2）所得结论；


　　（3）证明图（4）所得结论．


　　（4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：
；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
　　　　　　　　　

　　解：（1）图②—⑤ 中的关系依次是：


　　h1+h2+h3=h； h1-h2+h3=h； h1+h2+h3=h； h1+h2-h3=h．



　　（2）图②中，h1+h2+h3=h．


　　证法一： ∵ h1=BPsin60o，h2=PCsin60o，h3=0，




　　∴ h1+h2+h3=BPsin60o+PCsin60o


　　=BCsin60o=ACsin60o=h．



　　证法二：连结AP， 则SΔAPB+SΔAPC=SΔABC．



　　∴ ．



　　又 h3=0，AB=AC=BC， ∴ h1+h2+h3==h．



　　
（3）证明：图④中，h1+h2+h3=h．


　　过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．



　　
在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．


　　∴ h1+h2+h3=h．


　　说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分．


　　
（4）h1+h3+h4= ．  


　　让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广