中考试题分类汇编——二次函数

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一、选择题 　　1、（2007天津市）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（ ）B A. 2个           B. 3个           C. 4个           D. 5个 　　2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（　　）．B 　　（A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③ 　　3、（2007广州市）二次函数与x轴的交点个数是（ ）B 　　A．0             B．1             C．2            D．3 　　4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）A 　　5、（2007四川资阳）已知二次函数(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是(   )D A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小 C. 存在一个负数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x> x0时，函数值y随x的增大而增大 D. 存在一个正数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大 　　6、（2007山东日照）已知二次函数y=x2-x+a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（　　）B (A) m-1的函数值小于0            (B) m-1的函数值大于0       (C) m-1的函数值等于0        　 (D) m-1的函数值与0的大小关系不确定 　　二、填空题 　　1、（2007湖北孝感）二次函数y =ax2＋bx＋c 的图象如图8所示，且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |，则P、Q的大小关系为 . P<Q 　　2、（2007四川成都）如图9所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 ．－1 　　3、（2007江西省）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ． ，； 　　4、（2007广西南宁）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限．　三 　　三、解答题 　　1、（2007天津市）知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标。 解：（1）设这个抛物线的解析式为 由已知，抛物线过，B（1，0），C（2，8）三点，得 （3分）解这个方程组，得 ∴ 所求抛物线的解析式为（6分） （2） 　　∴ 该抛物线的顶点坐标为 　　2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． 　　（1）求该二次函数的解析式； 　　（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 　　解：（1）设二次函数解析式为， 　　二次函数图象过点，，得． 　　二次函数解析式为，即． 　　（2）令，得，解方程，得，． 　　二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和． 　　二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 　　平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为 　　3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是，且过点． 　　（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象； 　　（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上． 　　解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，····· 2分   　　　　  又点在它的图象上，可得，解得． 　　　　   所求为． 令，得 　　　画出其图象如下． （2）证明：若点在此二次函数的图象上， 　　　　　　则． 得． 　　　　   方程的判别式：，该方程无解．    　　　　 所以原结论成立． 　　4、（2007贵州省贵阳）二次函数的图象如图9所示，根据图象解答下列问题： 　　（1）写出方程的两个根．（2分） 　　（2）写出不等式的解集．（2分） 　　（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（2分） 　　（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．（4分） 　　解：（1）， 　　　　（2） 　　　　（3） 　　　　（4） 　　5、（2007河北省）如图13，已知二次函数的图像经过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离． 　　解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得 　　解得 ∴二次函数的表达式为． 　　（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）． 　　（3）将（m，m）代入，得 ， 　　　　解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去． 　　　　∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6． 　　6、（2007四川成都）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和． 　　（1）求此二次函数的表达式； 　　（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由； 　　（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围． 　　解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和， 　　　　　　　由    解得 　　　　　　　此二次函数的表达式为   ． 　　（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似． 　　　　在中，令，则由，解得 　　　　．令，得．． 　　　　设过点的直线交于点，过点作轴于点． 　　　　点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 　　　　． 　　　　要使或， 　　　　已有，则只需， ① 　　　　或                 ②　　成立． 　　　　若是①，则有．而． 　　　　在中，由勾股定理，得． 　　　　　解得       （负值舍去）．． 　　　　点的坐标为．将点的坐标代入中，求得． 　　　　满足条件的直线的函数表达式为． 　　［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］ 　　若是②，则有．而． 　　在中，由勾股定理，得． 　　解得       （负值舍去）．．点的坐标为． 　　将点的坐标代入中，求得．满足条件的直线的函数表达式为． 　　存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或． 　　（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点． 　　将点的坐标代入中，求得．此直线的函数表达式为． 　　设点的坐标为，并代入，得． 　　解得（不合题意，舍去）．． 　　点的坐标为．此时，锐角． 　　又二次函数的对称轴为， 　　点关于对称轴对称的点的坐标为． 　　当时，锐角；当时，锐角； 　　当时，锐角．

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7、（2007四川眉山）如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．

　　(1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；


　　(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；


　　(3)求边C’O’所在直线的解析式．

　　　　　　　　　　　　


　　　　　　　　　　　　


　　8、（2007山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示．



　　　　　　　　　　
　　


　　（Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；


　　（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.


　　解：（Ⅰ）设线段l函数关系式为M=kt+b，由图象得


　　         解之，得


　　∴线段l的函数关系式为M＝13000t+2000,  1≤t≤8.



　　由t=知，当t=1时，S用地面积=M建筑面积，


　　把t=1代入M＝13000t+2000中，得M=15000 m2.


　　即开发该小区的用地面积是15000 m2.



　　（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q＝a( t－4)2+k, 把点（4,0.09）,
（1,0.18）代入，
　　　　得 解之，得


　　∴抛物线段c的函数关系式为
Q＝( t－4)2+,即Q＝t2-t +,  1≤t≤8.


　　9、（2006四川资阳）如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0)
与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x	…	-3	-2	1	2	…
y	…	-	-4	-	0	…

(1) 求A、B、C三点的坐标；


　　(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；


　　(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.


　　　　　　　　　　　　　　


　　
　　若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：


　　(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.


　　解：⑴ 解法一：设，


　　任取x,y的三组值代入，求出解析式，·········· 1分


　　令y=0，求出；令x=0，得y=-4，


　　∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . ······· 3分


　　解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，


　　抛物线P的对称轴方程为x=-1，············· 1分


　　又∵ 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，


　　点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .······· 3分


　　⑵ 由题意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，··· 4分


　　又 ，EF=DG，得BE=4-2m，∴ DE=3m，·········· 5分


　　∴SDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0＜m＜2) . ·········· 6分


　　注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.


　　⑶
∵SDEFG=12m-6m2 (0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .


　　当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，··· 7分


　　设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，∴，


　　又可求得抛物线P的解析式为：， ········· 8分


　　令=，可求出x=. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有


　　==，··············· 9分


　　点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是


　　k≠且k＞0. ····················· 10分


　　说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.


　　若选择另一问题：


　　⑵ ∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，········ 4分


　　又∵， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，


　　∴SDEFG=DG·FG=6.


　　10、（2007山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线．


　　（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：
（任写一个即可）．


　　（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式．


　　（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．


　　（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．


　　　　　　　


　　解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如，，或，
　　　　　，．


　　（2）设抛物线的函数表达式为，



　　点，在抛物线上，


　　解得


　　抛物线的函数表达式为．


　　（3），点的坐标为．


　　过三点分别作轴的垂线，垂足分别为，


　　则，，，，，．


　　．


　　．


　　


　　延长交轴于点，设直线的函数表达式为，


　　点，在直线上，解得


　　直线的函数表达式为．点的坐标为．


　　设点坐标为，分两种情况：


　　若点位于点的上方，则．连结．


　　．


　　，，解得．点的坐标为．


　　若点位于点的下方，则．同理可得，．


　　点的坐标为．


　　（4）作图痕迹如图③所示． 由图③可知，点共有3个可能的位置．


　　


　　11、（2007浙江省）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。


　　（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；


　　（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；


　　（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。


　　　　　　　　　　


　　　　


　　解：（1）令y=0，解得或（1分）


　　∴A（－1，0）B（3，0）；（1分）


　　将C点的横坐标x=2代入得y=－3，∴C（2，－3）（1分）


　　∴直线AC的函数解析式是y=－x－1


　　（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）


　　则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分）


　　E（（1分）


　　∵P点在E点的上方，PE=（2分）


　　∴当时，PE的最大值=（1分）


　　（3）存在4个这样的点F，分别是