小学数学优秀论文

真诚天下

“3的倍数的特征”教学实践与反思

【初次实践】 课始，让学生任意报数，师生比赛谁先判断出这个数是不是3的倍数，正当我沉浸在游戏的情境之中，几个“不识时务者”打乱了课前的预想。“老师，我知道其中的秘密，只要把各个数位上的数加起来，看看是不是3的倍数就行了！”“对！在数学书上就有这句话。”……又有几个学生偷偷地打开了数学书。“怎么办？”谜底都被学生揭开了。面对这一生成，我没有死守教案，而是果断地调整了预设，变“探索”为“验证”，将结论板书在黑板上，让学生理解这句话的意思，然后组织学生将百数表中3的倍数圈出来，验证是不是具有这样的特征，最后进行一系列巩固练习…… [反思] 课堂上经常会出现类似上述案例中的“超前行为”，即有些学生提前把要探究的新知识和盘托出。我们的习惯做法就是变“探索”为“验证”，当然有些知识的教学采用这种方式是有效的，然而本课中“验证”的过程真能取代“探究发现”的过程吗？仅仅举几个例子试一试，验证方法单一，思维含量低，学生充其量只能算是执行操作命令的“计算器”，又能获得哪些有益的发展？如果经常进行这样的教学，还容易使学生形成浮躁浅薄，不求甚解，甚至只要结论的不良学习风气。怎么办，置之不理吗？如果这样，不仅没有尊重学生已有的知识经验，而且在已经揭开“谜底”的情况下，再试图引导学生进行猜想、实验、发现，体验遭受挫折后取得成功的那种激动，也只能是一种奢望。那么又该如何激发学生探究的热情，促使学生进行深入探究呢？ 【再次实践】 （与第一次教学情况基本相同，有些学生能够正确地判断一个数是不是3的倍数，这时一些学生却依然感到困惑，我设法将这一困惑激发出来。） 师：同学们真能干，这么快就知道了3的倍数的特征，上节课我们学习了2、5的倍数的特征只和什么有关？ 生：只和一个数的个位有关。 师：与今天学习的知识比较一下，你有什么疑问吗？ 生1：为什么判断一个数是不是3的倍数只看个位不行？ 生2：为什么判断一个数是不是2、5的倍数只看个位，而判断是不是3的倍数要看各位上数的和？ …… 师：同学们思考问题确实比较深入，提出了非常有研究价值的问题。那我们先来研究一下2、5的倍数为什么只和它的个位有关。 （学生尝试探索，教师适时引导学生从简单数开始研究，借助小棒或其他方法进行解释。） 生1：我在摆小棒时发现，十位上摆几就是几十，它肯定是2、5的倍数，因此只要看个位摆几就可以了。 生2：其实不用摆小棒也可以，我们组发现每个数都可以拆成一个整十数加个位数，整十数当然都是2、5的倍数，所以这个数的个位是几就决定了它是否是2、5的倍数。 师：同学们想到用“拆数”的方法来研究，是个好办法。 生3：是否是3的倍数只看个位就不行了。比如13，虽然个位上是3的倍数，但10却不是3的倍数；12虽然个位不是3的倍数，但12 = 10 + 2 = 9 + 1 + 2 = 9 + 3，因此只要看十位上余下的数和个位上的数合起来是不是3的倍数就行了。 生4：我也是这样想的，我还发现十位上余下的数正好和十位上的数字一样。 生5：（面带困惑）起初，我也是这样想的，可是在试三十几、四十几时就不行了。余下的数和十位上的数不一样了，比如40除以3只余1，余下的数就和十位数字不同。 生（部分）：对。 生4：其实40不要拆成39和1，你拆成36和4，余下的数不就和十位数字相同了吗？ 生6：也就是说整十数都可以拆成十位上的数字和一个3的倍数的数。这样只要看十位上的数和个位上的和是不是3的倍数就可以了。 师：同学们确实很厉害！那三位数、四位数是不是也有这样的规律呢？ 学生用“拆数”的方法继续研究三、四位数，发现和两位数一样，只不过千位、百位上余下的数要依次加到下一位上进行研究。3的倍数的特征在学生头脑中越来越清晰。 师：同学们通过自己的探索，你们不仅发现了3的倍数的特征，还弄清了为什么有这样的特征。现在你还有哪些新的探索想法呢？ 生1：我想知道4的倍数有什么特征？ 生2：我知道，应该只要看末两位就行了，因为整百、整千数一定都是4的倍数。 师：你能把学到的方法及时应用，非常棒！ 生3：7或9的倍数有什么特征呢？ …… 师：同学们又提出了一些新的、非常有价值的问题，课后可以继续进行探索。 [反思] 1. 找准知识间的冲突，激发探究的愿望。学生刚刚学习了2、5的倍数的特征，知道只要看一个数的个位，因此在学习3的倍数的特征时，自然会把“看个位”这一方法迁移过来。而实际上，3的倍数的特征，却要把各个位上的数加起来研究。于是新旧知识之间的矛盾冲突使学生产生了困惑，“为什么2或5的倍数只看个位？”“为什么3的倍数要把各个位上的数加起来研究？”……学生急于想了解这些为什么，便会自觉地进入到自主探究的状态之中。知识不是孤立的，新旧知识有时会存在矛盾冲突，教师如能找准知识间的冲突并巧妙激发出来，就能激起学生探究的愿望。这样不仅有利于学生对新知的掌握，有效地将新知纳入到原有的认知结构中去，还有利于培养学生深入探究的意识和能力。 2. 激活学习中的困惑，让探究走向深入。创造和发现往往是由惊讶和困惑开始。对比两次教学，第一次教学由于忽视了学习中的困惑，学生对于3的倍数的特征理解并不透彻，探索的体验也并不深刻。第二次教学留给学生质疑的时空，巧设冲突，让学生进行新旧知识的对比，将困惑激发出来，通过学生间相互启发、相互质疑，对问题的思考渐渐完整而清晰。学生不但经历由困惑到明了的过程，而且思维不断走向深入，获得了更有价值的发现，探究能力也得到切实提高。学生在学习中难免会产生困惑，这种困惑有时是学生希望理解更全面、更深刻的表现。面对这些有价值的思考，我们要有敏锐的洞察力，采取恰当的方法将其激活，促使探究活动走向深入，让学生获得更大的发展。当然，学生在学习中可能产生怎样的困惑，面对这一困惑又该如何恰当引导，尚需要教师课前精心预设。 3. 沟通知识间的联系，让学生不断探究。显然，2、5的倍数的特征与3的倍数的特征是相互联系的，其研究方法是相通的（都可以通过“拆数”进行观察），特征的本质也是相同的。这种研究方法和特征本质的及时沟通，激发了学生继续研究4、7、9……的倍数的特征的好奇心，促使学生不断探究，将学习由课内延伸到课外，并在探究过程中建构起对数的倍数特征的整体认识，感悟数学其实就是以一驭万，以简驭繁。课堂不是句号，学生的发展始终是教学的落脚点。我们的教学绝不能仅仅局限于学生对于一堂课知识的掌握，而应着眼于学生对于解决问题方法的感悟，获得可持续发展的动力。

真诚天下

引发冲突 凸显本质



[案例描述]

常听到老师这样问学生：“要求梯形的面积必须知道什么？”学生回答：“上底、下底和高。”于是遇到这样的问题：一个直角梯形较短的一条腰长6厘米，上、下底的和等于这条腰的长。这个梯形的面积是多少平方厘米？很多学生感到茫然：不知道上底和下底，怎么求面积呢？究其原因，是我们老师在最初教学梯形面积的计算时犯下了诸如本文开头设问的错误。并且，书上的例题和习题往往都是已知上、下底和高求面积，怎样在教学的起始阶段避免学生形成上述错误认识呢？笔者一直在思考并寻求良策。这次教学该内容时，我设计了以下的问题：

两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形（如图），但被一块布挡住了，你能求出梯形的面积吗？（图中每格代表边长1厘米的正方形）

课上，学生们展开了颇有趣味的讨论。

“调皮鬼”天伟抢先说：“把这块布拿掉不就知道梯形的上底和下底长多少了吗？”

我不动声色：“这是一个办法。可惜这块布不小心粘上去撕不下来，这梯形的面积还能求吗？”

教室里沉寂下来。在每个人都有一定的想法后，我安排学生小组讨论。讨论后，我请第四小组汇报了他们思考的过程。赵宇杰说：“我们假设了梯形的上底是1厘米，下底就是6厘米，这样能求出梯形的面积是14平方厘米。”潘悦继续说：“我们还假设了上底是2厘米，下底就是5厘米，算出的结果也是这样。”张爽总结陈词：“我们举了几个例子都是这样，所以我们认为梯形的面积一定是14平方厘米。”

我先鼓励他们善于思考，然后追问：“举例是个好方法，但我们不能找出所有的情况。你们从举例中除了发现梯形的面积不变以外，有没有其他的发现？”

纪丞补充道：“我们还发现，梯形的上、下底之和总是7厘米。”

赵宇杰突然大叫：“哎呀！我们‘上当’了，用不着举那么多的例子，因为无论怎样，梯形的上、下底之和都等于平行四边形的底，所以一定是7厘米。这面积也就一定是14平方厘米了。”

第七小组也发表了他们的见解。陈石跑到黑板前，边指边像评论员似的说：“其实，我认为赵宇杰他们小组有点‘只见树木，不见森林’。从整体上看来，这个平行四边形是两个完全一样的梯形拼成的。无论这两个梯形是什么形状，每个梯形的面积都是拼成的平行四边形面积的一半。我们从图中很容易求出平行四边形的面积，7 × 4 = 28（平方厘米），所以梯形的面积是28 ÷ 2 = 14（平方厘米）。”对他的精彩发言，大家报以热烈的掌声。

该小组陈凯佳继续补充：“有的同学可能认为，要求梯形面积就要去找上、下底和高。其实并不是这样。我是受到书上‘练一练’里一道题的启发想到的。这道题有一幅图并告诉我们一个面积是36平方厘米的平行四边形是由两个完全一样的梯形拼成的，求其中一个梯形的面积。知道了拼成的平行四边形的面积，也就知道了其中每个梯形的面积。”

张钰接着说：“我们并不需要知道梯形的上、下底分别是多少，如果能知道梯形上、下底的和与高，照样可以求梯形的面积。”

对学生滔滔不绝的回答，我兴奋不已，水到渠成地总结：“是啊！我们在计算梯形面积时，不要死抱着公式不放，应该灵活根据题中的信息选择合适的方法。可以根据拼成的平行四边形的面积求梯形面积；不知道上底、下底的长，但能找到梯形上、下底的和与高，也能求梯形面积。同学们还想接受挑战吗？”

我留给同学们一道思考题：

下图是一个直角梯形，较短的一条腰长8厘米。两条线段把梯形分成的三个三角形中，有两个是等腰三角形。这个梯形的面积是多少平方厘米？

[反思]

1. 从学生的茫然中反思教学的失误是我们进步的源泉。新知学习一段时间以后甚至到了总复习阶段，我们还是发现不少学生对某些数学知识和方法感到茫然。与其责备学生掌握知识不牢固、不灵活，不如反思初次教学时学生到底经历了怎样的学习过程，先入为主地建构了怎样的数学概念和方法。如果我们静下心来寻思一下不经意间常问的“要求梯形的面积必须知道什么”这样的问题，就会感到汗颜。因为，这实在是一个不能原谅的误导学生的错误提问，这是教师自身被公式牵着鼻子走，从而导致了学生思维的固化和僵化。在我看来，这正是目前的课程改革淡化公式的记忆和机械运用，强调公式的探究经历和实际应用的重要原因。廓清教学失误的原因，会让我们从失误的苦涩中更加理性地思考如何在教学的起始阶段帮助学生建构正确、完善、开放的认知图式。如何更为深刻地理解梯形面积公式的形成过程，如何合理地去用公式而不是套公式，便成为我回到教学起始阶段时重点考虑的问题。我们不是防微杜渐，而是以梯形面积如何计算为载体，发展更为重要的整体意识，形成一些解决问题的策略。

2. 对公式的应用克服机械操练，凸显本质把握是教学的真义。寻思学生面对新问题情境发出的疑问，我们不难发现，对梯形面积公式的机械反复操练也是学生思维定势的重要原因。在形成技能的初始阶段，实在不宜过早地对同一类型的习题进行大量练习。形成对知识和方法的灵活认识更为重要。对梯形面积公式的应用，我们需要从“除以2”的角度引导学生去理解拼成的平行四边形面积与每个梯形面积之间的关系，如已知梯形面积如何求拼成的平行四边形面积和已知拼成的平行四边形面积如何求梯形面积；我们需要通过高相等，上、下底之和一定的一组梯形面积的比较让学生明晰梯形的面积与上、下底之和及高有关，与上、下底分别是多少并没有直接的关系；我们还需要通过如上所述的问题情境让学生形象直观地体会和理解不确定（梯形的上底和下底）之中的确定（上、下底之和），更为深刻地认识拼成的平行四边形在求解梯形面积中的桥梁作用，达到对公式本质的深度把握。我们也需要在应用中沟通求一堆木头（堆成梯形）的根数的方法与梯形面积计算之间的关系，渗透等差数列的求和方法……

3. 引发认知冲突是发展数学思考、优化认知结构的重要策略。学生在学习中，特别是起始阶段犯错误是正常的，对教师来说是一种宝贵的资源。正如特级教师华应龙所说：“课堂因差错而精彩！”有时候，我们甚至需要“导误”。亦即我们需要通过问题情境引发学生的认知冲突，而不是直白的“告诉”，从而让学生在认知失衡后去实现顺应，达到新的平衡。对学生天真而现实的想法“把布拿掉！”我并没有持否定甚至批评的态度，而是巧妙地通过“粘上去了”的情境，既保护学生的自尊心，又将学生的认知冲突激化。学生的思维经历一定的曲折而产生顿悟“上当了”——走弯路了，进而实现思维上质的跨越：只要知道上、下底之和与高就能求梯形的面积。这样的思维过程不仅是正常的，更是有价值的。学生逐步能从整体上把握问题的本质：无论这两个梯形是什么形状，每个梯形的面积都是拼成的平行四边形面积的一半，因而只要求出平行四边形的面积。在教学中，学生从书本习题中受到启发的思维过程暴露以及自主的反思小结，不仅体现出认知冲突后数学思考的发展，而且显现了学生关于梯形面积的认知已经打破壁垒，走向开放，实现优化与完善

真诚天下

有效数学课堂的情境创设策略




  “让学生在生动具体的情境中学习数学”是新课标的一个重要理念。新教材最大的特点和优点之一就是许多知识的引入和问题的提出、解决都是在一定的情境中展开的。因此，精心创设情境是提高教学有效性的一项重要教学策略。新课程下数学教学必须以学生发展为本，对数学教学提出的要求是：着眼于学生潜能的唤醒，促进学生的自由发展；着眼于学生的全面成长，促进学生认知、情感、态度与技能等方面的和谐发展；关注学生的终身学习的愿望和能力的形成，促进学生的可持续发展。因此在课堂教学中，能使学生积极参与到学习过程中来，对正在学的内容感到好奇，感兴趣，并觉得富有挑战性，产生学的欲望，积极思考，无疑是非常重要的。这是确保教学有效性的重要因素，也是教学成功的重要标志，又是培养学生良好的学习习惯“乐学——会学——勤学”的必然途径。心理学家认为：当一个制定的实验情景已经得到完全的适应，一个人已经全部了解了这个事件时，他就不再有兴趣。或当一个完全新的经验，由于它和一个人的知识结构毫无关联而毫无意义时也同样没有兴趣，而当感性输入和现有认识结构之间具有中等程度不符合时，人的兴趣最高。即“思维活跃在疑路的交*点”。然而，有的教师仅仅追求时尚，为了设计“引人入胜”的“问题情境”，往往会将数学课上成口语交际课，失去了数学课的“味道”。这种现象若任其自然发展，不仅影响数学教学质量，还会导致教师形成新的错误的数学教学观念。那么有效的数学教学究竟需要怎样的情境，又该怎样去创设呢？

（1）情境创设应目的明确。一节课总有一定的教学任务，包括认知技能、数学思考、情感态度、价值观等。这就要求教师提出的问题要紧紧围绕教学目标，而且要做到具体、明确，不能一味笼统地追求热闹。一方面，要及时从生活情境地中运用数学语言提炼数学问题，另一方面，要充分发挥情境的作用，不能把情境创设作为课堂教学的“摆设”。

[案例]有位教师在教完9的乘法算理后，设计了一个应用巩固的游戏情境——“开小火车”。游戏是由老师自己当“火车头”，老师手里拿着许多口算卡片，嘴里说着“呜……”，火车开到哪儿，就指定身边的一位同学回答，回答对了，这位学生就可以拉着老师的衣服跟在后面做“车厢”，下一个同学则接着拉着前一个同学的衣服。“火车”一直在教室里开着，不一会儿，“火车”变得越来越长了，场面也越来越热闹，只见小朋友有的站着，有的笑着，有的在欢呼着……

[分析]：在这节课中，教师创设了符合二年级小朋友年龄结构、心理特征的游戏情境——“开小火车”，以激发学生的学习兴趣和探究欲望。表面上看，学生是动起来了，其主体作用也得到了发挥，同时，师生的距离近了，似乎实施了零距离的对话。但仔细观察便会发现，这堂课只停留在形式上的热热闹闹，并没有激发起学生深层次的思维，一节课下来，学生收益很少。分析问题所在，我认为，这位教师在创设教学情境时，虽然注重了情趣，却忽视了教学内容。因而，尽管学生很投入地参与了，但他们感兴趣的是“开火车”这一活动本身（这一活动本身与教学内容无关）。直到活动结束，学生仍沉浸于对活动本身的兴趣中，而并未进入数学情境。并且，在这样的活动中，教师其实是关注了个别，忽视了全体。

[思考]：我们在设计课堂教学情境时，不仅要注重童趣，更关键的是要紧扣教学知识或技能。“情境”不是让学生为了故事而故事，为游戏而游戏，学生是在各种有趣的活动中体验“数学化”的过程，情境创设要对学生学习有意义。情境是对学生熟悉的或可以理解的，但包含的数学问题对学生又要有富有挑战性的、能引发学生的思考的。同样是这节课我们不妨设计一些练一练、做一做、辨一辨、争一争等情境，来调动全体学生参与，使情境创设更好地为数学教学服务。　

（2）情境内容应从学生的生活和现实背景中提出。把问题情境与学生的生活紧密联系起来，不仅有利于学生理解问题情境中的数学问题，而且有利于学生体验到生活中的数学是无处不在的，培养学生的观察能力和初步解决实际问题的能力。

[案例]这是一位年轻老师执教的一堂随堂课。上完平均数的意义后，老师对学生宣布了一条好消息：下星期学校将要组织学生去春游。顿时，教室里爆发出一阵欢呼声。师：考虑到目前是旅游旺季，游人较多，为使同学们玩得舒心，又确保安全，学校交给老师一个任务——了解观音山等风景区最近的日游客量，选择其中游客最少的一处作为我们春游的目的地。我想请同学们帮忙完成这项工作。接着，老师出示了三个风景区的景点图片及各景区最近一周的游客人数统计表，让学生计算各景区最近一周平均每天的游客量……整堂课，学生们都非常活跃，学习积极性很高，教学进展也很顺利。下课铃响了，正当该老师满意地走出教室的刹那间，许多学生围上来，七嘴八舌地问：“老师，我们下周几去春游？”“老师，我们真的要去游玩吗？”当时老师一片茫然，随便应付说“等以后再说吧！”刹时，学生“啊？！”脸上流露出因感到上当受骗而不满的神情。事后，虽然这堂课受到了许多老师的好评，但学生那失望、不满的神情着实让听课的我心神不定……

[分析]：虽然老师设计此情境时，非常注重数学与生活实际的联系，想让学生明白现实生活中蕴含着大量的数学信息，让学生从周围熟悉的事物中去学习数学和理解数学，进而明确学习数学的价值所在。于是，她挖空心思编造了学生最感兴趣的话题——春游。教学时，此情境设计也确实将学生的学习兴趣推向了高潮，较好地激发了学生追求、探索的欲望。学生是带着期盼、满怀着憧憬上完这节课的。但美丽的谎言终究要被揭穿，也终究要破灭的。当学生明白老师只不过是“说说而已”时，就产生了一种被愚弄的感觉。可以想像，他们以后面对老师创设的教学情景，解决问题的积极性和主动性再也不会像今天一样充满激情。这种明显的“欺骗式”的虚假情境将降低学生对老师的信赖感，也是教师不尊重学生的一种体现，是与“以人为本”的教学理念相违背的。

[思考]：最优化教学是教学活动的理想目标，良好的情境创设是提高教学效果的重要手段，但教学过程受到教师、学生、媒体等许多因素的影响，创设情境毕竟只是进行教学的一种手段，所以在情境创设中要综合考虑各种因素，尤其是客观现实，要考虑其是否为创设情境准备了条件。我们设计的情境要有一定的真实性和现实意义，更要以学生的发展为本，而不能“捡了芝麻，丢了西瓜”。

（3）教学情境应具有时代性、新颖性。我们应该用动态、发展的眼光来看待学生。在当今的信息社会里，学生可以通过多种渠道获得大量信息，教师创设的情境也应具有一种时代气息，上课导入如果总是“猜年龄”“动物王国”，学生就会感觉“厌”了。

[案例]这是一堂校级数学公开课（课前由老师独立备课，教导处未参与）。执教老师伴随着多媒体课件那鲜亮的画面和悦耳的音乐，与学生开展了对话——师：（绘声绘色地）同学们，你们听说过《龟兔赛跑》的故事吗？生：（一个无精打采的声音）听过。师：动物王国又要举行一次龟兔赛跑，可这一次它们是绕着一个圆形的池塘跑……（引出圆的周长）。教师在滔滔不绝地讲着故事，学生中却有人在嘀咕：“又是动物王国……”“这种故事我们都听了几十遍了，还把我们当小朋友看。”一节课下来，学生都昏昏欲睡，参与度不高，效果也就可想而知了。

[分析]：这不禁让人疑惑：儿童不是最愿意到童话中寻找自己的幻想吗？同样都是为学生创设了生动有趣的童话情境，为何[案例]中的童话故事就不能打动学生的心灵、没能调起他们的兴趣呢？其实学生的抱怨“老师把我们当小朋友看”就道破了“天机”——处于不同学段、不同心理阶段的小学生，对情境的兴趣指向存在差异性。低年级学生对美丽生动的童话、活泼有趣的游戏、直观形象的模拟表演特感兴趣，并热衷于充当其中的角色。这符合这一学段儿童天真、爱幻想的天性和心理情境。中高年级学生则更乐于接受自主合作、交流的情境。因此，对中高年级的学生，教师应尽量用数学自身的魅力去吸引学生，让他们感到有趣、有挑战性，激起他们好奇、好胜的心理，使他们产生进一步学习的热情。

[思考]：小学生由于认知、心理年龄等原因，的确需要情境生动、有趣、新颖。但“生动、有趣、新颖”并不是有效情境的标准。关键是这些情境是否有效促进学生“快乐、有效”的学习。只要是基于学生实际、有助于学生实现生活经验数学化的情境就是有效的情境。

（4）情境的形式要有所变化。情境的表现形式应该是多种多样的，如问题情境、活动情境、故事情境、竞争情境等。情境的创设要符合不同年龄段儿童的心理特征和认知规律，要根据不同的教学内容而变化。对低、中年级的儿童，可以通过讲故事、做游戏、模拟表演、直观演示等形式创设情境，而对于高年级学生，则要侧重创设有助于学生自主学习，合作交流的问题情境，用数学本身的魅力去吸引学生。当然我们要防止课堂教学的“唯情境论”倾向，正确认识和科学适度地运用情境教学策略。在公开课、比赛课中，有的教师创设了太多太杂的教学情境，多媒体课件使人眼花缭乱、目不暇接，人为地降低思维要求，变成以机器灌人。有专家建议：并不是每节课都一定用情境引入，对于一些不好创设情境的教学内容，可以采取开门见山的方式，直接导入新课更有效。

总之，情景创设要让情景创设服从教学内容，既要有“数学味”，又要有“应用味”，服务于教学目标，服务于教学重点，情景创设只是一个手段。因此努力提高各种情景创设的效度，让学生在情景中获得体验，唤起情感，激活思维，更好地学习。

真诚天下

有效数学课堂的情境创设策略


  “让学生在生动具体的情境中学习数学”是新课标的一个重要理念。新教材最大的特点和优点之一就是许多知识的引入和问题的提出、解决都是在一定的情境中展开的。因此，精心创设情境是提高教学有效性的一项重要教学策略。新课程下数学教学必须以学生发展为本，对数学教学提出的要求是：着眼于学生潜能的唤醒，促进学生的自由发展；着眼于学生的全面成长，促进学生认知、情感、态度与技能等方面的和谐发展；关注学生的终身学习的愿望和能力的形成，促进学生的可持续发展。因此在课堂教学中，能使学生积极参与到学习过程中来，对正在学的内容感到好奇，感兴趣，并觉得富有挑战性，产生学的欲望，积极思考，无疑是非常重要的。这是确保教学有效性的重要因素，也是教学成功的重要标志，又是培养学生良好的学习习惯“乐学——会学——勤学”的必然途径。心理学家认为：当一个制定的实验情景已经得到完全的适应，一个人已经全部了解了这个事件时，他就不再有兴趣。或当一个完全新的经验，由于它和一个人的知识结构毫无关联而毫无意义时也同样没有兴趣，而当感性输入和现有认识结构之间具有中等程度不符合时，人的兴趣最高。即“思维活跃在疑路的交*点”。然而，有的教师仅仅追求时尚，为了设计“引人入胜”的“问题情境”，往往会将数学课上成口语交际课，失去了数学课的“味道”。这种现象若任其自然发展，不仅影响数学教学质量，还会导致教师形成新的错误的数学教学观念。那么有效的数学教学究竟需要怎样的情境，又该怎样去创设呢？

（1）情境创设应目的明确。一节课总有一定的教学任务，包括认知技能、数学思考、情感态度、价值观等。这就要求教师提出的问题要紧紧围绕教学目标，而且要做到具体、明确，不能一味笼统地追求热闹。一方面，要及时从生活情境地中运用数学语言提炼数学问题，另一方面，要充分发挥情境的作用，不能把情境创设作为课堂教学的“摆设”。

[案例]有位教师在教完9的乘法算理后，设计了一个应用巩固的游戏情境——“开小火车”。游戏是由老师自己当“火车头”，老师手里拿着许多口算卡片，嘴里说着“呜……”，火车开到哪儿，就指定身边的一位同学回答，回答对了，这位学生就可以拉着老师的衣服跟在后面做“车厢”，下一个同学则接着拉着前一个同学的衣服。“火车”一直在教室里开着，不一会儿，“火车”变得越来越长了，场面也越来越热闹，只见小朋友有的站着，有的笑着，有的在欢呼着……

[分析]：在这节课中，教师创设了符合二年级小朋友年龄结构、心理特征的游戏情境——“开小火车”，以激发学生的学习兴趣和探究欲望。表面上看，学生是动起来了，其主体作用也得到了发挥，同时，师生的距离近了，似乎实施了零距离的对话。但仔细观察便会发现，这堂课只停留在形式上的热热闹闹，并没有激发起学生深层次的思维，一节课下来，学生收益很少。分析问题所在，我认为，这位教师在创设教学情境时，虽然注重了情趣，却忽视了教学内容。因而，尽管学生很投入地参与了，但他们感兴趣的是“开火车”这一活动本身（这一活动本身与教学内容无关）。直到活动结束，学生仍沉浸于对活动本身的兴趣中，而并未进入数学情境。并且，在这样的活动中，教师其实是关注了个别，忽视了全体。

[思考]：我们在设计课堂教学情境时，不仅要注重童趣，更关键的是要紧扣教学知识或技能。“情境”不是让学生为了故事而故事，为游戏而游戏，学生是在各种有趣的活动中体验“数学化”的过程，情境创设要对学生学习有意义。情境是对学生熟悉的或可以理解的，但包含的数学问题对学生又要有富有挑战性的、能引发学生的思考的。同样是这节课我们不妨设计一些练一练、做一做、辨一辨、争一争等情境，来调动全体学生参与，使情境创设更好地为数学教学服务。　

（2）情境内容应从学生的生活和现实背景中提出。把问题情境与学生的生活紧密联系起来，不仅有利于学生理解问题情境中的数学问题，而且有利于学生体验到生活中的数学是无处不在的，培养学生的观察能力和初步解决实际问题的能力。

[案例]这是一位年轻老师执教的一堂随堂课。上完平均数的意义后，老师对学生宣布了一条好消息：下星期学校将要组织学生去春游。顿时，教室里爆发出一阵欢呼声。师：考虑到目前是旅游旺季，游人较多，为使同学们玩得舒心，又确保安全，学校交给老师一个任务——了解观音山等风景区最近的日游客量，选择其中游客最少的一处作为我们春游的目的地。我想请同学们帮忙完成这项工作。接着，老师出示了三个风景区的景点图片及各景区最近一周的游客人数统计表，让学生计算各景区最近一周平均每天的游客量……整堂课，学生们都非常活跃，学习积极性很高，教学进展也很顺利。下课铃响了，正当该老师满意地走出教室的刹那间，许多学生围上来，七嘴八舌地问：“老师，我们下周几去春游？”“老师，我们真的要去游玩吗？”当时老师一片茫然，随便应付说“等以后再说吧！”刹时，学生“啊？！”脸上流露出因感到上当受骗而不满的神情。事后，虽然这堂课受到了许多老师的好评，但学生那失望、不满的神情着实让听课的我心神不定……

[分析]：虽然老师设计此情境时，非常注重数学与生活实际的联系，想让学生明白现实生活中蕴含着大量的数学信息，让学生从周围熟悉的事物中去学习数学和理解数学，进而明确学习数学的价值所在。于是，她挖空心思编造了学生最感兴趣的话题——春游。教学时，此情境设计也确实将学生的学习兴趣推向了高潮，较好地激发了学生追求、探索的欲望。学生是带着期盼、满怀着憧憬上完这节课的。但美丽的谎言终究要被揭穿，也终究要破灭的。当学生明白老师只不过是“说说而已”时，就产生了一种被愚弄的感觉。可以想像，他们以后面对老师创设的教学情景，解决问题的积极性和主动性再也不会像今天一样充满激情。这种明显的“欺骗式”的虚假情境将降低学生对老师的信赖感，也是教师不尊重学生的一种体现，是与“以人为本”的教学理念相违背的。

[思考]：最优化教学是教学活动的理想目标，良好的情境创设是提高教学效果的重要手段，但教学过程受到教师、学生、媒体等许多因素的影响，创设情境毕竟只是进行教学的一种手段，所以在情境创设中要综合考虑各种因素，尤其是客观现实，要考虑其是否为创设情境准备了条件。我们设计的情境要有一定的真实性和现实意义，更要以学生的发展为本，而不能“捡了芝麻，丢了西瓜”。

（3）教学情境应具有时代性、新颖性。我们应该用动态、发展的眼光来看待学生。在当今的信息社会里，学生可以通过多种渠道获得大量信息，教师创设的情境也应具有一种时代气息，上课导入如果总是“猜年龄”“动物王国”，学生就会感觉“厌”了。

[案例]这是一堂校级数学公开课（课前由老师独立备课，教导处未参与）。执教老师伴随着多媒体课件那鲜亮的画面和悦耳的音乐，与学生开展了对话——师：（绘声绘色地）同学们，你们听说过《龟兔赛跑》的故事吗？生：（一个无精打采的声音）听过。师：动物王国又要举行一次龟兔赛跑，可这一次它们是绕着一个圆形的池塘跑……（引出圆的周长）。教师在滔滔不绝地讲着故事，学生中却有人在嘀咕：“又是动物王国……”“这种故事我们都听了几十遍了，还把我们当小朋友看。”一节课下来，学生都昏昏欲睡，参与度不高，效果也就可想而知了。

[分析]：这不禁让人疑惑：儿童不是最愿意到童话中寻找自己的幻想吗？同样都是为学生创设了生动有趣的童话情境，为何[案例]中的童话故事就不能打动学生的心灵、没能调起他们的兴趣呢？其实学生的抱怨“老师把我们当小朋友看”就道破了“天机”——处于不同学段、不同心理阶段的小学生，对情境的兴趣指向存在差异性。低年级学生对美丽生动的童话、活泼有趣的游戏、直观形象的模拟表演特感兴趣，并热衷于充当其中的角色。这符合这一学段儿童天真、爱幻想的天性和心理情境。中高年级学生则更乐于接受自主合作、交流的情境。因此，对中高年级的学生，教师应尽量用数学自身的魅力去吸引学生，让他们感到有趣、有挑战性，激起他们好奇、好胜的心理，使他们产生进一步学习的热情。

[思考]：小学生由于认知、心理年龄等原因，的确需要情境生动、有趣、新颖。但“生动、有趣、新颖”并不是有效情境的标准。关键是这些情境是否有效促进学生“快乐、有效”的学习。只要是基于学生实际、有助于学生实现生活经验数学化的情境就是有效的情境。

（4）情境的形式要有所变化。情境的表现形式应该是多种多样的，如问题情境、活动情境、故事情境、竞争情境等。情境的创设要符合不同年龄段儿童的心理特征和认知规律，要根据不同的教学内容而变化。对低、中年级的儿童，可以通过讲故事、做游戏、模拟表演、直观演示等形式创设情境，而对于高年级学生，则要侧重创设有助于学生自主学习，合作交流的问题情境，用数学本身的魅力去吸引学生。当然我们要防止课堂教学的“唯情境论”倾向，正确认识和科学适度地运用情境教学策略。在公开课、比赛课中，有的教师创设了太多太杂的教学情境，多媒体课件使人眼花缭乱、目不暇接，人为地降低思维要求，变成以机器灌人。有专家建议：并不是每节课都一定用情境引入，对于一些不好创设情境的教学内容，可以采取开门见山的方式，直接导入新课更有效。

总之，情景创设要让情景创设服从教学内容，既要有“数学味”，又要有“应用味”，服务于教学目标，服务于教学重点，情景创设只是一个手段。因此努力提高各种情景创设的效度，让学生在情景中获得体验，唤起情感，激活思维，更好地学习。

真诚天下

新授课:不能忽视学生的经验知识



[教学案例]

    这是一堂一年级”6加几”的数学教学公开课。

    课堂上，教师先通过“熊妈妈分苹果”的故事引入课题，然后提问：“6个苹果加5个苹果究竟等于几个苹果呢?”话音刚落，就有几位学生脱口而出:“11个。”教师瞪了他们一眼，显然有点不高兴。见他们不作声了，教师又继续微笑着对大家说  6加5为什么会等于11呢?好，下面我们一起来学习讨论。”随即转身在黑板上板书”6+5=  “。

    接下来，这位教师先让大家分小组合作讨论如何计算6+5。只见学生有的拿出小棒，非常熟练地操作着；有的交头接耳，热烈地讨论着；还有的在纸上不停地写着画着。几分钟后，教师让大家交流结果，并且说出有什么体验和发现。全班同学纷纷举手发言，课堂气氛空前高涨。一位学生回答．“可以用摆小棒的方法得到6+5=11。’教师非常满意地让他坐下。还有学生兴奋地发现可以用“凄十法”得到11，教师不禁竖起大拇指：“你真聪明，”当另一位学生出乎意料地回菩：“我一看６加5就知道是L1。”教师顿时有点不高兴，“怎么这样回答问题，难道你不需要动脑子思考？”在全班同学的一阵哄笑中，这位学生低下了头。

    [教学反思]

    在这个案例中，执教教师一味注重教师教的作用，而没有意识到学生学习的潜力，无视学生学习的内心感受。有两个细节性问题特别值得关注，当教师提问”6+5＝？时，立刻就有几位学生脱口而出“11个”；集体交流结果时，一位学生出乎意料地回答，我一看6加5就知道是１1。”这两个现象虽然发生的时间不同，但却反映了同一个问题已经有学生能算出题目的正确结果。这不免让人质疑，“6+5＝？’”是这堂课的新授内容，怎么教师没有进行教学，学生就能正确回答出结果?难道是学生预先看了课本上的答案，还是执教教师为了获得听课者的好评，预先上过，带着这些疑问，课后我专门对上课学生做了调查。原来，有些学生已经在幼儿园接触过这种题目，有部分学生是在父母的帮助下学会的。

    这给我们的课堂教学带来了一些启发。

    首先，应该重视学生已有的经验知识，正确认识新授课。事实上，每位学生都在不同程度上具有一定的经验知识。这也就意味着：新授课知识对学生来说，并不是百分之百的陌生，其中相当一部分知识，学生已经不同程度地有所了解。这种现象在我们的教学中并非个别，类似于在教学“三角形的认识”时，学生或多或少已经对三角形有一定的了解；教学“倍数”知识时，学生对倍数已经非常熟悉；在学习“分数的初步认识”时，学生已经在生活中有了初步感知。正因为平时有了这些知识的积累，学生才能在课堂上配合教师，积极表现，在一定程度上也让教师得以“顺利”教学。

    那么，学生的经验知识为什么会对课堂上的新授知识有很大的影响？主要在于我们的数学，也包括其他学科知识，都是来源于生活，又高于生活的。而学生就是生活的主人，他们无时无刻不在了解生活、感受生活，对世界有自己独特的理解和发现。学生的这种生活经验一旦和课堂新授知识发生联系，会直接对学生的学习起到很大的影响和促进作用。

    既然学生具有一定的经验知识，教师在教学新知识时，就要考虑到这个因素，把握好学情，灵活选择教法。既要让这些经验知识促进新知的习得，又不能过多、重复、累赘。而目前我们的新授课中普遍存在着一个不良现象，无视学生的经验知识，权当学生对新授知识一无所知。于是，每节课“复习、导入、新授、巩固、提高”一个环节也不能少，尤其在新授知识的环节，更是上得细致入微、面面俱到，唯恐学生不知道、不明白。这样往往适得其反，导致的不良自果是１.学生厌倦，不能进一步激发积极思维的热情；2.课堂知识不能突出重点3，增加了教和学的负担。

    因此，教师在教学过程中应尽量了解学生的实际情况阅贴近学生生活的知识、对学生已经耳熟能详的东西，在课堂上并不一定要细致入微、面面俱到。不要担心有的新知识没有教而完不成教学任务，而要做到教学精练，善于把握课堂知识的重点、难点。这就要求教师在教学方法上不能僵化单调，而要灵活机动，不拘一格。比如，“先学后教、当堂训练”就能针对当前“撒网式”教学的弊端，达到精讲精练的效果。

真诚天下

多方验证，旨在殊途同归



波利亚指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那么就应该让合情推理占有适当的位置。”《数学课程标准》也提出要求：“发展初步的合情推理能力，能用实例对一些数学猜想作出检验。”课程改革以来，合情推理受到了教师们前所未有的关注，数学教材中也大量地采用了数学猜想、枚举归纳等合情推理的方法。不可否认，许多重大的数学发现都是在猜想中诞生的，但与此同时，我还看到了一些令人担忧的现象：当学生的猜想与教师不谋而合时，教师喜形于色；在猜想只是得到个别实例的印证而不是普遍印证时，结论匆匆而定……我感到了验证意识的淡化和漠视，验证方法的盲目和缺失。在课堂观察中，我曾见识了两次这样的“验证”。

案例与剖析

案例A  [长方形和正方形的特征]

生猜想：长方形上边和下边相等，左边和右边相等。

师：你能利用学具袋里的长方形纸片来验证这个猜想吗？（学生都拿出指定的纸片进行操作，而后开始交流。）

生1：我量出上边是9厘米，下边也是9厘米，左边是6厘米，右边也是6厘米。

师：其他同学量的结果和他一样吗？

生（异口同声）：一样。

师：通过验证，你能得出什么结论？

生2：长方形上边和下边相等，左边和右边相等。

……

   （这样的处理表面上看是水到渠成，实际上无形中犯了验证的大忌：仅凭很少的实例就作出一般的结论。学具袋里的长方形是生产线上统一制作的，难道仅凭手中一模一样的长方形，量出一模一样的数据，就可以说所有的长方形都有这样的特征吗？虽然说在小学阶段，严密论证是不可能也是不必要的，但如此“轻率概括”式的验证是万万不可取的，甚至会滋长学生不求严谨、不负责任的学习态度。）

案例B  [加法交换律和加法结合律]

教学加法交换律时，教师出示了以下几组算式让学生计算。

    12+25    25+12

    35+47    47+35

    ……

    师：你发现了什么？大胆地猜猜看！（生自由发表意见，师随之用等于号将每组算式的左右两边连接起来。）

    师：是不是像这样的算式都有同样的规律呢？你能仿照黑板上的样子，再写几个吗？

    ……

   （学生写出了很多，也交流了不少。表面上看论据可谓充分，但只消轻轻的一句追问：“学生算了吗？”学生所举的大量实例的价值就遭到了怀疑。原来，他们只是在机械地模仿，举的例子也是漫无目的，甚至不知道教师的本意是让他们通过计算来验证，而不是简单地依葫芦画瓢！如此“验证”，徒具其形，未具其神。如此“验证”，渗透数学思想方法，提升学生的思维水平的目标何以实现？）

    反思与实践

    以上案例是我校教研活动的真实记录，试上的失败促使组内的每一位教师陷入了深刻的思考。两个案例都致力于让学生经历“猜想—验证”的过程，都意识到“枚举归纳”是小学阶段重要的验证方法，但是对于“枚举归纳法”都缺乏深层次的认识。于是我们对相关理论进行了恶补，明白了所谓枚举归纳是“根据一类事物中部分对象具有某种属性并且没有遇到反例，从而推出该类所有对象都具有这种属性的归纳推理。”运用简单枚举归纳推理时应注意：被考察的对象数量越多、范围越广，结论就越可靠。试上之所以失败，症结就在这里。

可以说，解剖课例的过程是痛苦的。但惟其痛苦，才有“凤凰涅磐”般的重生。于是有了第二次实践。

案例A  [长方形和正方形的特征]

师：生活中许多物体的面都是长方形的，你能找一找吗？（学生通过观察，直观判断出黑板的面、数学书的面、国旗的面等都是长方形。）

师：这些长方形，有的胖，有的瘦，有的高，有的矮，看起来各不相同，但是它们有没有什么共同的特征呢？请你猜一猜。

……

师：每个同学面前都有一张与众不同的长方形纸片，小组里还准备了各种各样的工具，你们小组能想出不同的办法来验证吗？

学生小组合作，然后全班交流。

生1：我是用量的方法，发现上边和下边都是9厘米，左边和右边都是6厘米。

生2：我也是用量的方法，不过我的长方形比他的小，上边和下边都是5厘米，左边和右边都是2厘米。

生3（一边说一边演示）：我不用量就知道长方形上边和下边相等，左边和右边相等。只要把它上下对折，这两条边就对到一起了，再左右对折，这两条边也对到一起了。

……

师小结：刚才我们对形态各异的长方形，运用不同的方法进行了研究，最终都发现长方形上下两条边相等，左右两条边相等。……

    （三年级学生的思维水平处于具体运算向形式运算过渡的阶段，只有依赖具体事物的支持，充分地经历数学活动，才能作出有价值的猜想和验证。教师首先引导学生寻找生活中形态各异的长方形，通过观察、比较、联想等数学活动作出符合一定经验与事实的猜想。进而为学生提供了不同的长方形纸片，通过操作、分析、归纳等数学活动完满地演绎了长方形特征的探究过程。在这个过程中，学生不仅感受到探究对象的丰富性、探究方式的多样化，更体验到了数学推理的合情性。）

案例B  [加法交换律和加法结合律]

    为了防止学生机械模仿，教师先示范着现场编出两个算式。

    师：这两个算式是否相等？怎样才能知道？（强调计算）然后郑重其事地在中间划上了等于号。

    师：请你再写几组这样的算式，并且算一算，看看刚才的猜想是否正确？

学生举例、计算，教师有选择、有顺序地组织交流。

……

师：上面的例子都是两位数加两位数，还有不同的例子吗？

在教师的启发下，学生又举出了两位数加一位数、一位数加一位数、三位数加三位数等不同的类型。

    师：刚才的例子计算起来都不困难，谁能举个难一点的数？

在教师的“鼓动”下，同学们跃跃欲试，举出了更大的数。最后借助计算器，猜想同样得到了验证。这时学生的兴致调到了极高点。

师：别急！我们不举更大的数了。还有一个非常特殊的数在暗自伤心呢！怎么把它给忘了呢？包含0的算式是否也符合这个规律呢？你能举个例子吗？

师：有没有不符合这个规律的例子？你能举出来吗？

……

学生的视角在教师的引领下，不断地得以延展。

接下来，加法结合律的猜想及验证过程顺畅自然，一气呵成。

（虽然教师对“验证”只字未提，但我们可以感受到学生时时刻刻、真真切切地在经历验证的过程。随着教师组织的逐步深入，学生的思维也随之逐步优化。从理论上讲，再多的例子也只是不完全归纳，但我们仿佛看到广阔的数学王国展现在学生的视野中，一位数加一位数、两位数加一位数、两位数加两位数，甚至更大的数和特殊的0，都满足这样的规律而且没有人能举出反例，我们有理由相信枚举归纳的结论是正确的。在这个过程中，学生不仅获得了数学结论，更重要的是学会了获得数学结论的思想方法。）

体会与启示

1．丰富的数学活动素材为多方验证提供物质基础。

验证结论是否可靠，在一定程度上取决于所枚举事例的数量和范围。所以，在运用枚举法进行教学时，教师要十分重视对学习材料的选择和设计，尽量增加枚举的数量，防止千人一面；同时要十分重视对学习活动的优化和组织，尽量扩展考察的范围，防止以偏概全。在生动活泼、精彩纷呈的数学活动材料的刺激下，学生的个性才能得到张扬，潜能才能得到挖掘。只有这样，才能作出有价值的猜想和多方法、多方位的验证，从而尽可能地增加结论的可信度。

2．丰厚的数学活动经验为多方验证积淀思想方法。

    如果枚举时只注重“量”而忽略了“质”，只注重了广泛的“发散”而忽略了典型的“提炼”，那么学生的思维水平就永远无法提升。教师适当的引导和点拨，犹如醍醐灌顶般促进学生的思维从合情推理水平向逻辑推理水平过渡，帮助学生积累从感性认识跃向理性认识的经验。在这样的数学活动过程中，学生获取的不仅仅是数学基本知识和基本技能，更重要的是数学基本思想和基本活动经验，尤其是，难能可贵的探究的品质将在学生的心灵生根、萌芽。

真诚天下

端点可以擦掉吗



    ［教学片段］

    1. 回忆线段。

    师：（出示一条线段）这是什么？

    生：线段。

    师：线段有什么特点呢？

    生：有两个端点，有限长。

    师：还有吗？

    生：线段是直的。

（教师引导学生填写表格中线段的特点：两个端点、有限长）

    2. 认识射线。

    师：（将一条线段一端擦掉）我将线段的一个端点擦掉，变成了什么线？

    生：变成了射线。

    师：射线有什么特点呢？

    生：只有一个端点，也是直的。

    师：射线只有一个端点，还能度量吗？那它还有什么特点？

    生：射线不能度量，无限长。

（教师根据学生回答填写表格：一个端点、无限长）

    师：你能用手比画一下射线是怎样的吗？

    （学生从一点向一端比画）

    师：你能举出生活中像射线这样的例子吗？

    （学生举例后，教师举出例题场景图，让学生感受射线的特征）

    师：你能画一条射线吗？

    （学生画射线，教师指导画法）

    3. 认识直线。

    师：（将一条线段左端擦掉）我又将另一个端点擦掉，这又变成了什么？

    生：变成了直线。

    师：直线又有何特点呢？

    生：没有端点，无限长，也是直的。

    （教师根据学生回答，在表格里填写直线特点：没有端点、无限长）

    4. 组织比较。

    师：观察表格，在哪里添上“相同点”和“不同点”？

    （学生到黑板前添写）

    师：直线、射线和线段之间有什么联系呢？小组讨论一下。

    生：线段向一端延长可以得到射线，向两端延长可以得到直线。

    师：回答的很好。还有吗？（学生面面相觑）

    教师在直线上画出一点，引导找射线；又画出一点，引导找线段，教师提示学生发现： 线段和射线都是直线的一部分，同时完成表格中“联系”一栏。

    [思考]

    越来越多的教师都开始重视在教学中对教材进行加工和重组，追求对教材的突破和超越。然而，创造性地使用教材必须建立在充分把握教材编写意图的基础上，不能随意改变教材本来的意图，违背学科特点及教学规律。

    1. 线段的端点能擦掉吗？

    线段的端点擦掉就能变成射线或直线？点无大小，线无粗细，线是由点组成的。线段是有限长的，它的两头就是端点，我们可以画出其图形：直线、射线是无限长的，我们无法画出真正的射线及直线图形，只能画出它的一部分来代替。为了区别三种线的画法，许多教师（包括教材）都在强调端点，将其画得又大又深，甚至用两道“竖杠”来表示：一条线段。这样表示，在刚学线段时的确有助于学生直观地把握线段的特点，即线段有两个端点。但是学生根据直观感知获得的表象，必须通过抽象和概括，剔除次要的、非本质的属性，把握本质属性，才能形成概念。学生对线段的表象如果始终停留在两端两个“大黑点”或两道“竖杠”上，重视了端点的“形”，而忽视了“有限长、无限长”这一本质。这样，学生对线段的认识则仍然浮于表面。事实上，线段的端点能擦掉吗？即便你能擦掉一段，也会出现新的端点，永远都是线段，岂能擦掉端点就变成射线或直线？

    2. 新知识的生长点在哪里？

    有效的学习往往是建立在学生已有经验基础上的。教学过程就是要成为不断激活学生已有经验的过程。要促进学生自主学习，首先要找准新知识的生长点。

    从数学上讲，线段、射线和直线这三个概念中，直线是不定义概念，射线是直线上的一点和它旁边的部分，线段是直线上两点间的一部分。由于直线、射线的概念比线段更抽象，且小学生形成“无限”的观念有一定的难度，从“有限长”向“无限长”过渡更符合小学生的认知规律，因此，小学是按线段→射线和直线的顺序分段教学的。第一学段引导学生从生活经验出发认识线段，第二学段再通过将线段延长感知“无限长”，引出射线和直线。由此可见，线段的“有限长”才是射线、直线教学的最佳切入点。教材按“直观—表象—概念”的线索，由生活场景中的彩灯射出的光线引入，引领学生认识射线的过程是合理而恰当的。教师通过擦掉线段的端点，直接引出射线及直线，忽略了射线及直线“无限长”这一本质属性，之后再回到例题的场景图中观察生活现象，感知“无限长”，既有知识性的错误，也有悖于学生的认知规律。

    3. 内容完整就完美吗？

    数学教学既要考虑数学本身的特点，更应遵循学生学习的心理规律。学生学习数学有一定的阶段性。为了引导学生认识线段、射线和直线的特征，尽快帮助学生形成知识系统，教师采用了列表对比的方式，清晰地呈现线段、射线和直线的相同点与不同点，这当然无可厚非。但对于线段、射线和直线之间的联系本节课是否需要深究呢？其实，学生通过线段向一个方向延长就会变成射线，向两个方向延长就会变成直线已经体会它们之间的联系了。难道非要让学生得出“线段、射线都是直线的一部分”的结论？学生通过线段认识射线、直线，刚刚建立射线、直线的表象，再逆向地由直线回到射线、线段是困难的，也有违教材编排的初衷。这种提高教学要求，一味追求完整知识系统的做法，实在是得不偿失、事倍功半。为了深化学生的认识，教材在本单元复习中专门设计了相关习题，揭示线段、射线和直线之间的关系，以形成知识系统。这种分层安排、逐步渗透的方式，更利于学生建构数学模型，形成概念。

    由此可见，有效的教学设计首先建立在教师对教学内容的正确认识和理解的基础上。这种认识和理解，既基于教师对教材编写意图的研究和体会，也与教师自身的数学素养息息相关。其次，有效的教学设计还需要研究学生的学习心理，把握学生的认知规律。这样，才能使教学活动符合学生的认知需求，从而切实促进学生的主动建构。笔者尝试对这一教学内容进行了改进设计。

    ［改进建议］

    （在第一学段教学线段概念时，不要将端点刻意用“大黑点”或“竖杠”来表示）

    1. 出示画好的一条直线，量出它是20厘米，问学生画的是什么？有何特点？重点强调“有限长”。

    2. 出示例题场景图，观察彩灯射出的光线，揭示“射线”。

    3. 闭眼想象射线“从一点出发，直直的，无限长”。

    4. 教师强调把线段的一端无限延长可以得到一条射线。引导学生通过想象、对比说出射线的特点。

    5. 学生画3厘米的线段，再延长成射线。感受到不能画出射线的全部，只能画出一部分来代替射线图形。

    6. 提问：要区别画出的哪条是线段哪条是射线，怎么办？引导在端点处加着重点（最好用色笔点端点，点与线要同粗）。

    7. 学生再次尝试画线段和射线，并试举出生活中可以看作射线的例子。

    8. 由线段向两端无限延长引出直线，展开想象后，说说直线的特点。

    9. 引导画直线的一部分代替直线，强调画法。

10. 引导比较，完成表格，主要强调线段、射线、直线的相同点和不同点。至于它们之间的关系，学生能说出线段通过延长可以变成射线或直线即可。

    （单元复习时，根据进一步揭示线段、射线和直线的联系，形成知识结构）