初中数学优质课教案：整式的加减

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整式的加减（第1课时）



天津市静海县大邱庄镇大屯中学　杨绪高



一、教材分析



本节内容是人民教育出版社出版《义务教育课程实验教科书 （五四学制）数学 》（供天津用）八年级  下册 第十章 整式 第一节整式加减 第2小节整式的加减．



二、设计思想



本节内容是学生掌握了“整式”有关概念的延展学习，为后继学习整式运算、因式分解、一元二次方程及函数知识奠定基础，是“数”向“式”的正式过度，具有十分重要地位．



八年级学生已具有了较强的数的运算技能和“合并”的意识（解一元一次方程中用）同时也具有初步的观察、归纳、探索的技能．因此，我结合教材，立足让每个学生都有发展的宗旨，我采用合作探究的学习方式开展教学活动，通过设计有针对性、多样式的问题引导学生，给学生提供充足的、和谐的探索空间让学生学习．通过学习活动不但培养学生化简意识，提升数学运算技能而且让学生深刻体会到数学是解决实际问题的重要工具，增强应用数学的意识．



三、教学目标：



（一）知识技能目标：



1.理解同类项的含义，并能辨别同类项．



2.掌握合并同类项的方法，熟练的合并同类项．



3.掌握整式加减运算的方法，熟练进行运算．



（二）过程方法目标：



1.通过探究同类项定义、合并同类项的方法的活动，培养学生观察、归纳、探究的能力．



2.通过合并同类项、整式加减运算的练习活动，提高学生运算技能，提升运算的准确率培养学生化简意识，发展学生的抽象概括能力．



3.通过研究引例、探究例1的活动，发展学生的形象思维，初步培养学生的符号感．



（三）情感价值目标：



1.通过交流协商、分组探究，培养学生合作交流的意识和敢于探索未知问题的精神．



2.通过学习活动培养学生科学、严谨的学习态度．



四、教学重、难点：合并同类项



五、教学关键：同类项的概念



六、教学准备：



教师：



1.筛选数学题目，精心设置问题情境．



2.制作大小不等的两个长方体纸盒实物模型，并能展开．



3.设计多媒体教学课件．（要凸显①单项式中系数、字母、指数的特征②长方体纸盒立体图、展开图．）



学生：



1.复习有关单项式的概念、有理数四则运算及去括号的法则）



2.每小组制作大小不等的两个长方体纸盒模型．

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七、教学过程

教学 流程	教学 内容	教师行为	学生行为	设计意图
一、	同类项	1、组织教学 2、板书 下列两组单项式 （1）2xy2；-5xy2  (2)-abc2；1/5abc2 问题：（1）各单项式的系数、次数是	观察，动脑思考，小组内讨论归纳,	开门见山,设计有探究价值的问题,激发学生探究的热情,有效的帮助学生理解同类项的概念,培养
教学 流程	教学 内容	教师行为	学生行为	设计意图
一、 观察 探究 归纳 完善	同类项	什么？（2）每组中的单项式含有的字母、次数有什么特点？从中得到什么结论？ 注：1、教师倾听学生交流，指导探究． 2、随学生的发言板书；相同字母，相同字母的指数相同．形成同类项的概念． 3、多媒体课件演示．观察下列各组单项式：（1）4x2y,-x2y (2)-3ac2b,-0.5c2ab,7bac2  (3)5a3,5b3 (4)-125,12 问题：（1）、上列哪组是同类项，哪组不是同类项？为什么？（2）、怎样更好的理解同类项？（提示：系数、字母、指数、字母的顺序） 注：1、随学生的发言板书；与系数无关， 与字母的排列顺序无关． 2、指明几个常数项是同类项． 4、你能写出两个单项式是同类项的例子吗？并在小组内互相交流，验证．	解决问题,发表见解,归纳同类项的概念. 学生做出判断，小组内做交流、商讨 学生动手书写，小组内交流	学生归纳、抽象概括的能力． 为后继学习奠定基础，有利于突破重、难点． 加大问题的难度，强化对同类项的辨别能力，进一步激发兴趣，提高归纳总结的能力，加强对同类项的理解. 设计开发性问题，加深对同类项含义的理解，增强学生的数感和符号感，培养学生的抽象思维能力．
二、类推延展研究方法	合并同类项	语言过度再次组织教学 5、多媒体课件演示：出示问题； 某校前年、去年、今年购买计算机分别为x,2x,4x台，那么三年共买计算机多少台？ （1）、怎样列式？结果是多少？ （2）、你是怎样计算的？用式子怎样计算，用语言怎样描述？ 注：板书x+2x+4x=(1+2+4)x=7x 把系数相加做结果的系数,而字母部分不变 6、计算下列各题 （1）、3x2+2x2=(   )x2 (2)、3ab2-4ab2=(   )ab2 (3)、4x2+2x+7+3x-8x2-2=( )x2+( )x+( ) 7、上列各题是几个单项式的和，通过把系数相加，项数减少了，形式化简了，我们把这种方法叫合并同类项． 示范：4x2+2x+7+3x-8x2-2      =（4x2-8x2）+(2x+3x)+(7-2)      =(4-8)x2+(2+3)x+5      =-4x2+5x+5 注：1、合并同类项时用相同的标记	学生独立思考解决，学生代表发言，在班内交流 学生倾听，理解，梳理合并同类项的方法，规范过程．	从实际问题入手导出本课主题，通过探究原本简单的问题，上升到理论研究，为合并同类项打下基础． 为学生提供参于活动的空间，调动学生主观能动性，做到循序渐进，激发求知欲，进一步渗透合并的方法． 讲授合并同类项的方法：一标二变三合并和计算结果的规范性，有利于学生思维有条理，提高运算速度和准确率，突破本节
教学 流程	教学 内容	教师行为	学生行为	设计意图
二、类推延展研究方法		标住同类项，再用交换律、分配律、结合律运算，整式的呈现形式改变了但他的值未改变．2、计算结果按某字母降幂（升幂）的形式排列． 8、多媒体演示 下列计算对不对？如果不对，错在哪里？该怎样计算？ (1)、3a+2b=5ab （2）、5y2-2y2=3   （3）、2ab-2ba=0 （4）、3x2y-5xy2=-2x2y 注：1、倾听学生交流，特别关注学生能否正确的辨别同类项（一些变式），在合并同类项时只注重系数忽略字母和字母的指数． 2、对问题及时引导、点拨．	学生独立思考判断，小组交流，发表见解．	课的重点． 培养学生运用知识的能力，进一步巩固同类项的含义和合并同类项的方法，为运用做好基础．
	整式的加减 （例1）	9、多媒体演示 例1：做大小两个长方体纸盒大小如下（单位：cm） 长 宽 高 小纸盒 a b C 大纸盒 1.5a 2b 2c (1)、做这样两个纸盒共用料多少平方厘米？ （2）、做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？ 做好演示引导： （1）、用准备的纸盒展示做纸盒的过程并提问：这两问实际是求什么问题？先要解决什么？怎样解决？怎样列式呢？ （2）、到小组内指导、点拨学习． （3）、利用多媒体课件再次演示长方体纸盒的制作过程，并标注长、宽、高，做好引导． （4）、引导学生列出代数式，让他们尝试去计算，做好个别指导． （5）、让学生代表到黑板上展示，教师订正，板书规范解题过程． 注：关注去括号的计算，特别是（2）中，要视学生的情况而确定是否精讲． 10、引导学生归纳整式加减运算方法并板书．	学生观察、思考，小组内交流探究，列代数式，初步尝试解决 得到答案的进行验证，其他学生再次思考解决 学生列式，独立计算，小组交流过程、结果，互相检验纠正 学生尝试归纳．	体现了“学数学，用数学”的基本理念，让学生体会到数学是解决实际问题的基本工具，增强应用数学的意识． 把抽象的问题直观化，有利学生观察分析，从而提高分析、归纳的能力． 帮助学习困难的学生理解，让每个人在数学上都有收获，从中突破本题的难点，培养学生空间图形的概念． 调动学生学习探究，实践的主动性，培养交流探究的意识，突破本节课的难点． 突破重、难点，完善知识体系，提高学生归纳概括和运算的能力．
	整式	11、让学生代表到黑板演算，巡视其他学生，个别指导．
教学 流程	教学 内容	教师行为
三、 巩固强化，形成技能	加减运算教材第9页 3题	展示学生计算结果，纠正错误，给 予点评．		及时反馈学习效果，便于优化课堂教学，提高课堂效益，更好的达到目标．
四、 归纳总结完善体系	课堂小结布置作业	12、本节课你学到了什么知识？有了什么新的认识？ 注：让学生口述，补充、纠正，梳理知识框架，对学生表现给予充分鼓励和肯定． 13、布置作业：教材8页1、2题，    9页7题．		调动学生的主动参与意识，初步形成评价和反思意识． 加强强化训练，发现问题，查漏补缺，提高能力．
五、 板书 设计	10、1、2整式的加减 同类项：含有相同字母，且相同字母的指数相同（两相同） 例1：（题目见课件） 于系数无关，于字母排列顺序无关（两无关） 解：小纸盒的表面积：（2ab+2bc+2ca）cm2 （1）2xy2；-5xy2  (2)-abc2；1/5abc2                  大纸盒的表面积：（6ab+8bc+6ca）cm2 合并同类项 即合并为一项 （1）（略） 把系数相加做结果的系数,而字母部分不变 （2）做大纸盒比小纸盒多用料（单位：cm2）     4x2+2x+7+3x-8x2-2                                   （6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）      =（4x2-8x2）+(2x+3x)+(7-2)                          =6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca      =(4-8)x2+(2+3)x+5    （一标二变三合并）            =4ab+6bc+4ac      =-4x2+5x+5                                    法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来 付版（学生演算题目） 在用加减号连接；然后去括号，合并同类项．

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八、教学反思：



通过课堂实践，我认为从以下几点达到了预期目标：



1.我把知识的呈现顺序改变，一上课就研究同类项并由学生自己探究归纳，有效的调动了学生学习主动性提高了学生观察、归纳、探究的能力同时为更好的突破重难点打下了坚实的基础．



2.采用合作探究的学习方式不但活跃了课堂的学习氛围更有效的提高了学生的学习效率，使知识的呈现始终在合作探究中产生，形成．不但提高了课堂的教学效益而且培养了学生合作探究、交流协作的意识和能力．



3.采用教学实物教具和多媒体课件的演示（长方体纸盒）有效的解决了学困生求表面积的困难,同时培养了学生空间立体图形于平面图形的关系及观念．



4.习题的选择和运用有效的提高了学生的运算能力．



同时在课堂中也产生了一些困惑．如：如何合理安排一堂课的教学时间，力求课堂环节的完整美？组织学生共同合作，小组探讨是调动学生参与学习，主动、积极学习的好途径，但是给学生讨论的时间和空间应该如何把握？如何更好的关注学习困难的学生？等问题都有待在以后的教学实践中探索，完善，提高．

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P是MN上的任意一点． 　　 师：很规范，尤其注意点明：P是MN上的任意一点． 师：结合命题的结论，求证怎么写？ 生：求证：PA=PB 师：修改自己的错误．分析怎么进行证明？ …… 生：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等，用SAS证明△PCA≌PCB 师：请列举出全等的三个条件 生：AC=BC，∠PCA＝∠PCB＝90°，PC=PC 师：回答很好．谁能口头证明？ （学生纷纷举手，提问一4号学生） 生：因为MN⊥AB，所以∠PCA＝∠PCB＝90°. 又因为AC＝BC，PC＝PC，所以△PCA≌PCB(SAS)． 所以PA＝PB(全等三角形的对应边相等) 师：回答很棒，请坐． 师：现在，我们不仅直观认识到，而且证明了线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．结合黑板的图请思考怎样用几何语言叙述此定理？ （生思考，小声交流后举手） 生：因为MN⊥AB，AC=BC，P是MN上的任意一点．所以PA=PB 师：很好，还有不同叙述吗？ 生：因为MN是AB的垂直平分线，P在MN上．所以PA=PB 师：可以，还有不同意见吗？ 生：因为PC⊥AB，AC=BC．所以PA=PB 师：很简洁，好．请在P24页定理旁做好笔记，并结合图形理解记忆． 生：（迅速做笔记，小声记忆）… … 师：你能写出上面这个定理的逆命题吗? （独立思考，小组内交流，教师引导回顾定理的“如果……那么……”形式） 生：逆命题是如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等 师：很完整．谁能把它描述得更简捷? （学生思考） 生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 师：（老师板书到黑板上）回答很好，请坐．那么这个逆定理是真命题吗？为什么？ （学生先思考，再交流） 生：是真命题． 师：（引导）如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请说出已知、求证． 生：已知：如图，线段AB，PA＝PB． 求证：P点在AB 的垂直平分线上． （师生共同画出图形,思考交流怎样证明） 师：（引导）欲证P点在AB 的垂直平分线上，可以过P做一条直线，证这条直线垂直于AB且平分AB，因为过P的直线无数条，所以我们可以过P做一条直线垂直于AB，或平分AB，再证． 生：（积极讨论，相互讲解，有了证法的小组举手）… … 师：（巡视发现问题及时指导，几分钟后提问）请说出你们的想法． 生1：可过点P作已知线段AB的垂线PC． 因为PA＝PB，PC＝PC. 所以用HL定理可以证出Rt△PAC≌Rt△PBC． 所以AC＝BC， 即P点在AB的垂直平分线上． 　　　 师：可以吗？ 生：可以． 师：有不同证法的请说说 生2：可以取AB的中点C，过PC作直线． 因为AP＝BP，PC=PC，AC＝CB， 所以用SSS公理证出△APC≌△BPC． 根据全等三角形的对应角相等可以得到∠PCA=∠PCB． 又因为∠PCA+∠PCB二180°， 所以∠PCA=∠PCB＝90°，即PC⊥AB． 所以P点在AB的垂直平分线上． 　　　　　　 师：听明白了吗？ 生：明白了． 师：说的很严谨，很好．还有不同证法吗？ 生3：还可以过P点作∠APB的角平分线. 因为AP＝BP，∠1=∠2，PC＝PC. 所以用SAS公理证出△APC≌△BPC ． 再根据全等三角形的对应角相等，对应边相等可以得到AC＝BC，∠PCA＝∠PCB ． 又因为∠PCA+∠PCB＝180°，所以∠PCA＝∠PCB＝90°． 所以P点在线段AB的垂直平分线上． 　　　　　　 师：分析很详细．明白吗？ 生：明白． 师：老师有一个问题：过P作线段AB的垂直平分线PC可以吗？谁能帮帮老师？ 生：（很兴奋，积极讨论）…… 生1：不可以． 生2：可以． 生1：（到黑板上画图，讲解）如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB．所以过P作AB的垂直平分线是不可能实现的． 　　　　　 师：很精彩！这里作辅助线时不会即垂直又平分，只能满足其中一个条件．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．谁能用几何语言叙述出这个逆定理？ （思考片刻，积极举手） 生：因为PA=PB，所以点P在线段的垂直平分线 师：在课本P25页定理旁边做好笔记．结合图形理解记忆． 生：（做笔记，小声记忆）…… 师：还记得怎样用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线吗？ 生：（迅速那出直尺、圆规，开始尝试） 师：（找两名3号同学板演展示，老师巡视） 　　　　　　　 师：小组内纠错，同组2号同学给黑板上的做法批阅． 生：（相互讲解，改错） 师：（强调）画弧时半径要大于AB的长；因为两点确定一条直线，所以必须要四弧两交点．请你思考这样作出的CD为什么是AB的垂直平分线?请与同伴进行交流． 生：（交流气氛很高，小组内展开积极讨论，一段时间后，举手抢答） 生： 从作法的第一步可知 AC＝BC，AD＝BD． 所以根据线段垂直平分线的逆定理得到C、D都在AB的垂直平分线上 再根据两点确定一条直线知CD就是线段AB的垂直平分线 师：回答很棒，应用了线段垂直平分线的逆定理． 师：请看黑板回顾本节课的内容，你有什么收获？ 生1：学会了证明线段垂直平分线的性质定理，清楚了它的几何语言推理 生2：我还知道了线段垂直平分线的逆定理及证明，会了几何语言推理 生3：我知道了尺规作线段垂直平分线为什么正确 生4：我知道这节课学习的两个定理是互逆定理 师：同学们的收获不小，老师很高兴．下面考考你，完成P25页随堂练习1、2，习题2、3，每题各有两名学生板演展示（教师巡视，对特别学困生个别指导） 生：（安静的，很投入的思考，书写） 师：小组内交流你的疑问，同组的小组长到黑板给同学批阅 生：（讲解，讨论，改错） 师：（点拨提升）随堂练习2，点C、点D的位置有两种：C、D在线段AB的同侧，或C、D在线段AB的异侧．分情况进行证明． 生：（反思改错） 师：同学们学习的不错．下面请完成达标作业（试卷） 1．M、N、A、B 是同一平面上的四个点，如果 MA=MB,NA=NB，则点　　　　、　　　　　在线段　　　　的垂直平分线上． 2．设线段AB的垂直平分线MN交AB于点C，P是MN上不同于点C的一点，那么 △ PAB 是　　　　三角形，PC是这个三角形的　　　、　　和　　　． 3．到一线段两个端点距离相等的点（ ） A只有一个   B 有有限个    C 有无数个    D 以上都不对 4．已知： △ABC中AC＝AB=14,BC=10. AB的垂直平分线MN交AC于D, 求△BCE的周长． 　　　　　　　 5．一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的 村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M、N的距离相等？ 生：（迅速独立完成） 师：（ 巡视，发现问题，便于及时反馈） 师：订正答案，第1题的答案是？ 生：点M、N在线段AB的垂直平分线上 师：关键画出图形，确认谁是点，谁是线段两端点．第2题的答案是？ 生：△ PAB 是等腰三角形，PC是这个三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线 师：第3题的答案是？ 生：选C 师：为什么？ 生：因为到一线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线上的点有无数个，所以选C 师：解释的很好．说出第4题的思路 生：因为DE是AB的垂直平分线，所以BE=AE，所以BE+EC=AE+EC=AC=14，又因为BC=10，所以△BCE的周长=BE+EC+BC=AC+BC=14+10=24． 师：分析很清楚，你们明白了吗？ 生：明白了 师：说出第5题的作法 生：作MN的垂直平分线CD，交AB于点P，则点P就是符合要求的点． 师：有没有不同意见？ 生：先连接MN，再作MN的垂直平分线 师：很好，请坐．把5个题目中你出现的问题进行改正． （教师根据课堂表现、达标情况评价出优秀小组，下课铃响） 师：反思这节课你的收获、你出现的错误，课后进行整理．