“实际问题与一元二次方程”优质课教学设计

与你同行

教学任务分析

教学目标	知识技能	1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
	数学思考	经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.
	解决问题	通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.
	情感态度	通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
重点	列一元二次方程的方法解有关问题的应用题．
难点	发现问题中的等量关系．

教学流程安排

活动流程图	活动内容和目的
活动1  复习，回顾解应用题的一般步骤 活动2  封面设计问题 活动3  草坪规划问题 活动4  小结，布置作业	回顾解应用题的一般步骤及注意问题. 对比几种方案，探究问题中的数量关系及其变化，活跃思维，提高解题能力. 巩固的同时认识图形变换对解题思路的影响，熟悉面积问题应用题的基本思路和方法. 回顾，总结，提高知识的系统性.

                        

教学过程设计

问题与情景	师生行为	设计意图
「活动1」 问题 通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？	教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充. 在本次活动中，教师应重点关注： （1）学生对列方程解应用问题的步骤 是否清楚； （2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题.	活动1为学生创设了一个回忆、思考的情景，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫.
「活动2」 问题 要设计一本书的封面，封面长27cm ,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）. （1）本题中有哪些数量关系？ （2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？	教师展示课件（或展示图片，如教科书图22.3-1）， 请一位同学朗读题目. 教师提出问题（1） 学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系. 教师提出问题（2） 学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9︰7.	问题（1）（2）都是帮助学生更好的理解题意，为后面的解题做以铺垫.
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？	教师提出问题（3） 学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中，设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示.	问题（3）是活动2的中心环节，通过学生充分的讨论，得出多种不同的方法，激发学生的学习热情，使学生体会解决问题的方法多样性. 在某些解法中，利用图形变换简化数量关系是解决图形有关问题的一种重要手段，为活动3埋下一个伏笔.
（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？	教师提出问题（4） 学生分组，分别按问题三中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解. 题过程和应注意问题. 在本次活动中，教师应重点关注： （1）学生对几何图形的分析能力； （2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理； （3）在讨论中能否互相合作； （4）一元二次方程的解答能力. （5）学生回答问题时的语言表达是否准确.	问题（4）可以使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结 论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验.
「活动3」 问题 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修筑两横两纵，四条小路，横纵路的宽度之比为3：2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？（见教科书习题22.3第10题图）： （1）本题中有哪些数量关系？	教师展示课件（或展示图片） 请一位同学朗读题目. 教师提出问题（1） 学生回答，教师在题目中指出.	在活动2中，学生通过探究与讨论，感受了对题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响，活跃了解题思路. 活动3的设计就是基于这个前提，首先使同学熟悉活动2中的解题思想，在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究.
（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？	教师提出问题（2） 学生思考.因为有活动2的基础，选一位同学回答这一组问题的前3问即可，如有不完全的地方，教师适当补充.第4问让大家适当思考，请同学回答，教师做屏幕演示，特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理.	问题（1）（2）是针对活动2的巩固性练习.但是由于本题的数量关系变形的空间比较狭窄，经过解析之后依然不能得到比较满意的答案.由此激发学生进一步探究的热情.
（3）对比教科书图22.3-1和习题22.3第10题图，它们有什么联系与区别？	教师提出问题（3） 学生分组讨论，教师指导.引领学生 讨论后请一位同学回答. 教师引领学生发现两个图形都存在两横两纵四个矩形，并都有四处重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为9块，所以不容易表示.	问题3是活动3的中心环节，以图形对比的问题为 引导，通过对比两个图形的联系与区别，启发学生以活动2中的封面问题为模型，构建活动3中的草坪问题的解题思路.
（4）有什么方法使本题易于解决？	教师提出问题（4） 学生分组讨论，画图，上台演示. 教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则. 在本次活动中，教师应重点关注： （1）学生在活动1中的学习效果； （2）使学生充分体会图形变换的灵活性； （3）学生对图形的观察、联想能力； （4）教师要强调图形变换中图形改变、位置改变、关键量不变的原则.	在学生充分的思维活动之后，学生会自然产生动手实践的欲望，教师可以给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意对图形变换的指导，可以对部分不太合适的答案也进行一下点评.
「活动4」 问题 通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？ 布置作业： 教科书53页，习题22.3第5、8题; 教科书58页，复习题22第7、10题	教师提出问题，学生回答. 教师总结. 在小结时，教师应重点关注： （1）对知识的归纳，总结，整理能力； （2）知识的横向联结能力以及能否熟练、准确地运用数学语言表达数学思想. 学生独立完成作业，教师批该后应关注： （1）能否正确分析等量关系； （2）能否有效变换图形，简化题意； （3）解题思路是否完整，解题过程是否规范.	点明本课主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，知识脉络清晰.    学生巩固，提高