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部分预览 §3.6 三角形的中位线(一)
【教学目标】
知识与技能：
1、理解并掌握三角形中位线的概念和性质；
2、经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的数学思想；
3、进一步强化运用中心对称的性质研究平面图形的性质，提高学生的推理能力。
数学思考：
在探索三角形中位线性质的活动过程中，通过对图形的观察、测量，发展学生的几何直觉。通过对证明思路的剖析，发展学生的数学联想能力。
解决问题：
1、能运用三角形中位线的性质解决一些具体的数学问题；
2、通过对例1的引申拓展的总结反思，获得对“中点四边形”的深刻认识。
情感与态度：
1、通过情境问题的研究，提高学生学习数学的兴趣，提高对学好数学重要性的认识；
2、通过三角形中位线性质的探索研究，树立学生的自信心和面对困难解决问题的决心；
3、培养学生独立思考，大胆发表个人见解的学习品质。
【教学重点】
1、探索并掌握三角形中位线的性质；
2、例1的引申和拓展。
【教学难点】
1、运用转化思想解决三角形中位线性质问题；
2、运用中心对称的性质论证三角形中位线的性质。
【教学过程】
一、创设问题情境，产生认知冲突，激发探索欲望。
上初二的小明和小亮是同村一对很要好的伙伴，对数学有共同的兴趣爱好使他们经常在一起探讨数学问题。
双休日的一天，他们相约来到村头的桃花潭，他们在潭边的一棵桃树(A点)坐下。小亮望着对岸的一棵桃树(B点)，忽然对小明提出一个问题：“小明，旁边这棵桃树和对岸的桃树相距多远？”“用工具测量一下，不就行了吗？”小明立即回答。“那你怎样运用测量工具测出两棵桃树的距离呢？”“可以这样：在潭边找到可以直接到达A、B两点的一个恰当的点O，用皮尺连接AO、BO，并分别延长到点C和点D，使AO=OC，BO=OD。用皮尺测量出CD的长就可以知道AB的长了。” 小明边说边在地上画出了示意图(如图1)，
亲爱的同学们，你说小明的测量方案正确吗？有依据吗？(停顿，让学生思考)
小亮对小明说，“你的测量方案可行，而且用全等三角形的知识可以说明他的正确。但我还有一种简便的方法。”“什么好方法？说出来听听!”“我不需要延长AO、BO，只要用皮尺找到他们的中点M和N，用皮尺量出MN的长度我就可以知道A、B两点间的距离了”。(如图2)
小明一听，有点丈二和尚摸不着头脑，就问小亮，“你的测量依据是什么？”小亮固作神秘状，慢言细语地说：“这是嘛，三角形的中位线……”
亲爱的同学们，你知道小亮要说的是什么吗？他的测量方案正确吗？
二、满足学生需求，比较剖析概念，呈现学习新知。
1、介绍“三角形的中位线”的概念。
小亮说的“三角形的中位线”是什么图形呢？就是“连接三角形两边中点的线段”。如图2，线段MN就是⊿OAB的中位线。
简要说明“三角形的中位线”和三角形的高、中线、角平分线”可并称为“三角形四杰”。是三角形中四条重要的线段。
2、剖析“三角形的中位线”和“三角形的中线”
这两个线段都是有“中点”作为端点的线段，只不过“三角形的中位线”的两个端点都是边的中点，而“三角形的中线”的另一个端点是三角形的顶点；一个三角形有三条中线，也有三条中位线。
3、制造问题悬念，指明研究方向。
我们已经知道，三角形的一条中线可以把三角形分成两个面积相等的三角形，它的长度位于相邻两边之差和两边之和的一半之间(前面补充过)，那么三角形的中位线具有什么特殊的性质呢？下面我们就一起走进“探索世界”。
三、组织实践活动，引导观察发现，启发推理论证。
画一画：
1、在方格纸上任意画一个格点三角形ABC，使BC=6；
2、分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；
量一量：
用刻度尺量出DE的长；
猜一猜：
同学们所画的三角形各不相同，为什么中位线DE的长都是3呢？它的长度由谁决定？怎样决定的？(由BC的长度决定， )
验一验：
请同学们再试一试，任意画一个格点三角形ABC，使AC=4，取BA、BC的中点M、N，连接MN，量一量MN的长度，你发现了什么？与上面发现的结论一致吗？
说一说：
你能用一句话概括你的发现吗？(三角形的中位线等于第三边的一半)
想一想：
三角形的中位线除了具有“等于第三边的一半“外，它还具有什么性质？请观察图形、实践测量后再回答你的发现？(三角形的中位线平行第三边)
你是怎么知道的？(预见：① 画的三角形很特殊，三角形的中位线的两个端点正好是格点；② 用三角板“推”出来的；③ 量同位角获得的；)
证一证：
猜想是我们对事物的一种直觉，它还有待于我们对它进行严密的论证。下面我们师生就共同来解决这个问题。
引导策略一：要证明两直线平行，我们可有哪些判定方法？(学生易回答：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行)，这些方法在本题中有发挥作用的余地吗？想一想，这段时间我们证明两直线平行还可以用什么方法？(证平行四边形)？我们怎样才能把三角形转化为平行四边形呢？
引导策略二：要证明“ ”，能否转化为证明两线段相等(这可是我们非常熟悉的形式)？如何转化？(延长DE到F，使EF=DE)，这样论证的结论就变为证明“DF∥BC，DF=BC”(如图3)
无论从哪个角度进行引导，都要强调⊿CFE和⊿ADE关于点E成中心对称，用中心对称的性质来说明，如果学生用全等三角形的知识来证明要给予肯定，但同时通过比较来说明用中心对称的知识来解释的简捷性。
如果时间允许或学生提出，也可向学生介绍另一种进行中心对称变换的方法，即将⊿ABC绕点E旋转 得到⊿ ，构成一个大的平行四边形 。(如图4)
讨论结束后，呼应开头的问题情境，说明小亮测量方案的正确性。
四、尝试运用新知，感受新辟思路，探究例题本源。
1、直接运用：
如图5，已知D、E、F是⊿ABC三边的中点。
(1)若⊿DEF的周长是20㎝，则⊿ABC的周长为__________㎝；
(2)图中，平行四边形共有______个，分别是_______________；
(3)图中四个小三角形有何关系：_____________； ；
可留下一个思考题：再取⊿DEF的三个中点又得到一个中点三角形，那么这个三角形的周长、面积和⊿ABC的周长、面积又有何关系呢？如果继续下去，你发现有什么规律吗？
2、综合应用：
如图6，已知直角⊿ ， ，点 分别是⊿ 三边的中点。
(1)线段 和 有何数量关系？请说明理由；
(2)四边形 是一个什么四边形？为什么？
3、例1教学：
(1) 唤醒旧知：
如图7，已知： 分别是□ 四边的中点，试问：四边形 是什么四边形？你能用我们过去学过的知识来判断吗？说说你的思路。
(2) 激活新知：
如果用我们刚刚学过的三角形中位线的知识，你又会怎么来判断？说说你的推理过程。
(3)比照思考：
解题后，你有什么感想？
1、运用刚学过的三角形中位线的性质来解决本题比以前用全等三角形知识来说明更简捷，新知好用!
2、运用三角形的中位线的性质来解题，要将中位线置于一个三角形中，如果三角形不完整，要构造出三角形。
你有什么困惑的地方？
“平行四边形”这个条件没有用到。(教师不语，留下悬念)
(4)变式引申：
平行四边形的中点四边形是平行四边形，那么一般的四边形的中点四边形又是什么形状呢(如图 8)？为什么？
(5) 拓展探索：
问题1、一个四边形的中点四边形可不可以是矩形？举一例说明(菱形)。具备什么条件的四边形才能保证他的中点四边形是矩形？(对角线互相垂直)
问题2、一个四边形的中点四边形可不可以是菱形？举一例说明(矩形、等腰梯形)。具备什么条件的四边形才能保证他的中点四边形是菱形？(对角线相等)
问题3、通过前面的研究，你认为中点四边形的形状由原来四边形的什么要素决定？如何决定的？
问题4、讨论到现在，你能明白前面同学们提出的困惑“为什么平行四边形这个条件对四点四边形形状的判断没用”的道理了吗？
第5环节的重心要放在探讨上，使学生获得一个初步的直觉印象和一个大致的推理过程，由于时间的限制，不要提出过高、过细的要求，但要求学生课后对自己的判断要有一个正确的解释并写出推理过程。
五、小结学习心得，反思学习方法，检测学习效果。
1、学生自主小结
在教师的引导下，采用学生交流补充的方式完成本节课的学习小结。教师引导时，要从数学知识、数学方法、数学思想、解题思路、解题规律以及学习品质等多角度、多层次地进行反思总结。
2、课后自我检测(略)
【教学反思】
《§3.6 三角形、梯形的中位线》是苏科版八年级(上册)第三章《中心对称图形(一)》的“收官之作”。是继“中心对称图形的认识”、“中心对称图案的设计”、“几个具体的中心对称图形的性质和识别”之后的知识“深化”和“拓展”，是前面几节知识的“综合”和“提炼”。本章以“中心对称”这根“红线”纵贯全篇，并通过这根红线串联起各大知识块。本章三个单元，以“旋转”开篇，以“中心对称”的几个具体图形展开，最后以“中心对称变换”掀起高潮。数学知识循序渐进，数学能力螺旋上升，数学方法不断强化，数学思想也由“幕后”走上“台前”。如此编排有一气呵成之流畅，也有让学生拾阶而上之自然。符合学生认知规律的内容呈现，让学生在观察中感受中心对称，在探索中经历中心对称，在运用中体验中心对称，“中心对称”逐步“深入人心”。
《三角形的中位线》这一知识点，就是遵循以上几个特点而呈现给学生的。它利用中心对称变换，将三角形的中位线的性质的研究转化为平行四边形性质的研究，既展示了“几何变换”的数学方法，也渗透了“转化”的数学思想，更强化了知识的整合度和关联度。但运用中心对称的性质推理论证三角形中位线的性质毕竟与学生的常规思维有所冲突(尤其是七年级下学期学习过“全等三角形”后，反应更为强烈)，显得有点“另类”，因此，教师在组织本章教学时，要不断强化运用中心对称的性质理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及研究它们的性质、规律等，体现教材的编写意图，为学生能理解和掌握“利用中心对称进行分析论证”发挥强大的推动、促进作用。
本节例1是“三角形中位线性质”的具体应用，本例展现了“三角形中位线”的“迷人风采”和“巨大影响力”，同时也向学生说明了三角形中位线的性质的运用背景和条件，为学生准确熟练地运用三角形的中位线的性质进行解题提供了明证和实例。另外本例也是一道很有研究价值的题目，可通过本题引申和挖掘出“中点四边形”的有关问题。
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发表于 2015-8-8 08:53:06
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