胡同捉鸡与求算术平方根

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不知谁家的鸡跑到胡同里来了．忽然，从一家院子里跑出来了一个小男孩，他想捉住这只鸡．只见鸡在前面，一会儿快跑，一会儿慢走，小男孩一个劲在后面追，累得满头大汗，也没有捉住这只鸡．这时候，从胡同的另一头走来一个小女孩，两个人一人把住一头，一步一步地逼近鸡．当两个小孩碰面的时候，鸡无处可逃，终于被捉住了．我们用试凑法求的过程就类似胡同捉鸡．
　　首先拿1作答案试一试，因为1×1=1，比要小，看来用1作2的算术平方根偏小了．用2试一试，因为2×2=4，比2要大．看来用2作为2的算术平方根偏大了．


　　经过了两次试验，我们知道的值在1和2之间．


　　用1.5去试，因为1.5×1.5=2.25，也偏大，但是我们看到这个值比1和4都更接近2．再用1.4去试，因为1.4×1.4=1.96，1.96与2仅差0.04，更接近2．必然在1.4和1.5之间，而且靠近1.4．再试1.41，因为1.41×1.41=1.9881，这个值比2小．再试1.42，因为1.42×1.42=2.0164，比2大．的值在1.41和1.42之间．


　　这个试算过程可以一直持续下去，一直算到所需要的小数位．


　　这种“寻找”的想法非常重要，它是用已知去探求、捕捉未知的一种基本方法，在数学中经常会用到．如果把数轴当作一条胡同，把看作跑进胡同里的鸡，用试凑法求的值类似胡同里捉鸡，用两串数把夹在中间，不断缩小两串数的差：


　　1<<2；
　　1.4<<l.5；
　　1.41<<1.42；
　　l.414<<1.415；
　　1.4142<<l.4143；
……


　　需要精确到多少位，就可以精确到多少位．用试凑法求平方根，必须从一大一小两边来逼近．不能像小男孩捉鸡那样，一个人只从一面去捉，这样就难以把鸡捉住．