26.1 二次函数(B卷)

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一、学科内综合题每题6分,共18分)
1.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.

2.如图所示,在△ABC中,AB=4 ,AC=6,BC=2 ,P是AC上与A、C不重合的一个动点,过P、B、C的⊙O交AB于D.设PA=x,PC2+PD2=y,求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围.







3.如图所示,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ= PR= 3cm, QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线L上,当C、Q两点重合时,等腰三角形PQR以1cm/ 秒的速度沿直线L按箭头所示的方向开始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2.解答下列问题:

(1)当t=3时,求S的值;(2)当t=5时,求S的值;
(3)当5≤t≤8时,求S与t之间的函数关系式.




二、学科间综合题7分)
4.一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说,正常的收缩压p(毫米汞柱) 与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.01x2+0.05x+107;对男性来说,正常的收缩压p( 毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.006x2-0.02x+120.

(1)利用公式计算你的收缩压;

(2)如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱,那么她的年龄大概是多少岁?(1毫米汞柱=133.3224帕)

(3)如果一个男性的收缩压为130毫米汞柱,那么他的年龄大概是多少岁?





三、应用题:(每题9分,共36分)
5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P在线段AB上,P从点A 开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点,点Q从E点开始,沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发,写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式,求出t的取值范围.








6.某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克, 购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现,单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,每天多售出2千克. 在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).设销售单价为x元,日均获利为y元.请你求出y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围.







7.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x. 请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.









8.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品, 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.试销时,发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),如图所示.


(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, 试用销售单价表示毛利润S.




四、创新题:(每题10分,共20分)

(一)教材中的变型题
9.(教材P4第3题变题)已知二次函数y=ax2+(km+c),当x=3时,y=15;当x=-2时,y=5,试求y与x之间的函数关系式.













(二)多变题
10.如图所示,在边长为4的正方形EFCD上截去一角,成为五边形ABCDE, 其中AF=2,BF=1,在AB上取一点P,设P到DE的距离PM=x,P到CD的距离PN=y,试写出矩形PMDN的面积S与x之间的函数关系式.



五、中考题:(19分)
11.(2002,昆明,8分)某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌, 广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米.



(1)求出S与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.



(2)为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)






12.(2004,黄冈,11分)心理学家研究发现,一般情况下, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐步增强, 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知, 学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式:


(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较, 何时学生的注意力更集中?

(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?


(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?







答案:
一、
1.解:S=S梯形ABCD-S△EGD-S△EFA-S△BCF

= ×(3+6)×4- x(4-x)- x(6-x)- ×4x
=x2-7x+18
∵
∴0<x<3,
故S=x2-7x+18(0<x<3).
2.解:

∵AB=4 ,AC=6,BC=2

∴AB2=(4 )2 =48,AC2=62=36,BC2=(2 )2=12.

∴AB2=AC2+BC2.
∴△ABC为直角三角形,且∠A=30°.
连结PB,则PB为⊙O的直径.
∴PD⊥AB.
∵在Rt△APD中,∠A=30°,PA=x,
∴PD= x,
∴y=PC2+PD2=(6-x)2+ = -12x+36(0<x<6).
3.解:
(1)作PE⊥QR于E,
∵PQ=PR,∴QE=RE= QR= ×8=4,PE= =3,
当t=3时,QC=3,
设PQ 与DC相交于点G.

∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴ ,

∵S△QEP= ×4×3=6,∴S= (cm2)
(2)当t=5时,CR=3.
设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP可求出S△RCG= ,
∴S=S△PBR-S△RCG=12- = (cm2)
(3)当5≤t≤8时,如答图所示,QB=t-5,RC=8-t.
设PQ交AB于点H,由△QBH ∽△QEP,得S△QBH= .
设PR交CD于G,由△PCG∽△REP,得S△RCG= (8-t)2.

∴S=12- - =

即关系式为S= .
二、
4.解:(1)根据解答者的性别、年龄实事求是地代入即可.

(2)把p=120代入p=0.01x2+0.05x+107,得
120=0.01x2+0.05x+107.解得x1≈-39(舍去),x2=34.
故该女性的年龄大约为34岁.

(3)把p=130代入p=0.006x2-0.02x+120,得

130=0.006x2-0.02x+120.

解得x1≈-39(舍去),x2=43.

故该男性的年龄大约为43岁.
三、
5.解:∵PB=6-t,BE+EQ=6+t,

∴S= PB·BQ= PB·(BE+EQ)

= (6-t)(6+t)=- t2+18.

∴S=- t2+18(0≤t≤6).
6.解:若销售单价为x元,则每千克降低(70-x)元,日均多销售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意,得

y=(x-30)[60+2(70-x)]-500

=-2x2+260x-6500(30≤x≤70).

即y=-2x2+260x-6500(30≤x≤70).
7.解:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).

又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),

即y=-3x2+252x-4860.
∵x-30≥0,∴x≥30.
又∴m≥0,∴162-3x≥0,即x≤54.
∴30≤x≤54.
∴所求关系式为y=-3x2+252x-4860(30≤x≤54).
8.解:(1)由图象可知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,
代入y=kx+b中,得

解得k=-1,b=1000

∴y=-x+1000(500≤x≤800)

(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,
代入毛利润公式,得

S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)

=-x2+1500x-500000.

∴S=-x2+1500x-500000(500≤x≤800)
四、(一)
9.解:把x=3,y=15;x=-2,y=5分别代入y=ax2+(xm+c),
得

解得a=2,km+c=-3,
∴y=2x2-3.
(二)10.解:如答图,S矩形PNDM=xy,且2≤x≤4.
延长NP交EF于G,显然PG∥BF.
故 ,即 ,∴y=- x+5,
∴S=xy=- x2+5x,即S=- x2+5x(2≤x≤4).
五、11.解:(1)由矩形的一边长为x米,得另一边长为 米,即(6-x)米,
∴S=x(6-x)=-x2+6x,即S=-x2+6x,其中0<x<6.
(2)设此黄金矩形的长为x米,宽为y米,
则由题意,得 ,解得
即当把矩形的长设计为 米时,矩形将成为黄金矩形,
此时S=xy=( )( )= ;
可获得的设计费为 ×1000≈8498(元).
12.解:(1)当t=5时,y=195,当t=25时,y=205.

∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.


(2)当0<t≤10时,y=-t2+24t+100=-(t-12)2+244,
该图的对称轴为t=12, 在对称轴左侧,y随x的增大而增大,
所以,当t=10时,y有最大值240.
当10<t≤20时,y=240.
当20<t≤40时,y=-7t+380,y随x的增大而减小,
故此时y<240.
所以,当t=20时,y 有最大值240.

所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟.


(3)当0<t≤10,令y=-t2+24t+100=180,
∴t=4.
当20<t≤40时,令=-7t+380=180,
∴t=28.57.


所以,老师可以经过适当安排,能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.