初中数学教材编写者文章 有价值的问题从何而来

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培训资料  有价值的问题从何而来
人民教育出版社　章建跃
对于发现和提出问题能力的培养，我们强调了一般思想观念的引领作用，提出了“有含金量的问题，需要有一般的观念来引领，有一定的数学思想作指导，有一定的思维策略作支撑”，“注重一般观念的思维引领作用，可以提高思维的系统性、结构性……使发现和提出问题变得更加水到渠成”等观点。进一步地，如何使这些观点体现在日常教学中？下面从数学的整体观出发进行探讨。

整体是事物的一种真实存在形式。数学是以整体的形式而存在的。数学的整体性体现在代数、几何、三角之间的相互联系上，同时也体现在知识的前后逻辑关系上。由此，从数学的内在逻辑看，有价值的数学问题可以从两个方向考虑：从同一数学学科内在的逻辑发展必然性中产生，或从不同数学学科的联系中产生。

第一个方向以“数及其运算”为例。从数学内部看，数系的构造与逐步扩充：自然数系──整数系和分数系──实数系──复数系，可以看成是为了解决“运算”问题而发展的。具体而言，从自然数系到整数系和分数系，使x+5=2、3x=2能解了；再到实数系，使x2=2能解了；再到复数系，使x2=－1能解了。扩充过程中，在定义新的范围内的运算法则时，始终贯彻了一个原则，即“使算术运算的运算律保持不变”。在每一次扩充过程中，对于“为什么要引进新的数？”“新数的意义是什么？”“有哪些性质？”“如何定义运算？”“如何有效、有系统地算？”等等都是有价值的问题。不过，随着扩充的深入，可提出的问题也更丰富。例如，虚数概念的产生源于解多项式方程，是数学内部发展的需要。如果仅从“数及其运算”看，只要由定义i2=－1，再结合多项式的运算法则就可以完成，似乎没有多少值得“玩味”的问题了。但复数发展史表明，有价值的问题源于“如何表示虚数？”在对“负数开平方”的质疑声中，数学家在努力设法让大家“看到”这样的数。经过近三个世纪的努力，高斯等人给出了用“复平面”上的点表示复数。由此，进一步的、有价值的问题层出不穷：复数运算的几何意义、复数的三角表示、指数表示、复数与向量、复数域中的多项式方程……实际上，这些问题已不局限于“数及其运算”的范围内了。在这一方向上的教学，要采取以旧引新的方法引出内容，要在思想方法的一致性上给予明示，并要加强类比与联系。

第二个方向以“倾斜角与斜率”为例。解析几何是方法论，是沟通代数与几何的产物，坐标法是其基本思想，直角坐标系是实现“几何问题代数化”的基本工具。因此，在阐述坐标法思想（可以专门上一堂“绪论课”），提示“从刻画最简单的几何图形──直线开始”后，提出“如何在直角坐标系中刻画一条直线？”是最自然的问题。接着，因为有坐标系为“参照系”，并要培养用坐标系刻画几何对象的习惯，提出“过坐标系内一点有无数条直线，它们的区别在哪里？”“怎样描述直线的倾斜程度？”“为使任意一条直线都有唯一确定的倾斜角，应怎样规定倾斜角的范围？”“如何用代数方法表示直线的倾斜程度？”“如何用两点的坐标表示直线的斜率？”……这些问题的提出，体现了“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的思想，在沟通与联系中，引导学生用新的眼光看已有知识，从研究对象的基本关系出发，分析其表现形式，从而发现和提出了一系列有价值的问题。根据上述分析，本期展国培老师在《提升数学核心概念教学的立意》中给出的教学设计是值得借鉴的。

顺便指出，抛物线定义的教学，不必纠结于是否有“第二定义”，从离心率的取值范围出发提出“当e=1时是什么曲线？”是自然、简洁且最有价值的。

当然，从解决实际问题的需要出发，也是引导学生发现和提出数学问题的基本途径。这一提出问题的过程，要增加一个“数学化”的环节。例如，为了刻画各种“周而复始”的运动变化规律，要通过问题，逐步引导学生把目光聚焦到“匀速圆周运动”，并进而到“单位圆上的匀速圆周运动”，实现用x=cost和y=sint对单位圆的自然而动态的描述。