立足新知教学起点积累数学活动经验渗透数学基本思想

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立足新知教学起点积累数学活动经验渗透数学基本思想
胡怀辉 泉州市惠安县聚龙小镇聚龙外国语学校
[内容概要]
      义务教育课程标准（2011版）在继承了传统“双基”的基础上提出了“四基”，增加了“数学基本活动验”和“数学基本思想”。这一课程总目标的变化给我们身处一线的数学教师带来了许多新的思考，同时也为学生实践能力与创新精神的培养注入了强大的理论支持。在“图形与几何”的内容领域，如何结合这一变化，改进和完善我们的课堂教学是值得进行大胆探索与研究的。笔者将从几个课堂片段为切入口，围绕立足课堂新知教学的起点，积累数学活动经验，渗透数学基本思想的三个方面来谈一谈自己的理解与体会。
[关键词]    图形与几何    教学起点    活动经验    数学思想
    一、立足课堂新知教学的起点
    义务教育数学课程标准（2011版）指出：教师的教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础[ 1 ]。心理学家皮亚杰也认为：儿童的几何学习与成人不同，他们不是以几何的公理体系为起点的，而是以已有的经验为起点[ 2 ]。笔者认为，对于小学阶段的“图形与几何”的教学来说，应关注学习认知发展水平与已有经验，关注学生学习思维的最近发展区，从而立足课堂新知教学的起点显得尤为重要。
片段一：北师大版四年级上册“图形的旋转”一课
师：同学们，刚才我们通过动画演示，观察与思考之后概括出了图形旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。现在让我们尝试着在方格纸上画出一个简单图形旋转900后的图形，想不想挑战一下？
    生：想！
师：出示课堂巩固练习。画出三角形AOB绕点O顺时针旋转900之后的图形。
    从学生动手操作后的情况来看，部分学生的练习会出现类似于这样的错例。分析其原因，笔者认为执教者没有立足于课堂新知教学的起点来开展教学，主要体现在以下几个方面：                           
     1、没有考虑到学生空间观念最近发展区的阶段性特点。
    “图形旋转”这一学习内容是学生空间观念从一维向二维转换的过渡，对孩子的思维发展来说意味着一个新的台阶，一次质的飞跃。在这样一个思维发展的转型的阶段，新知教学过程中很容易出现这样或那样的问题。
2、没有重视图形逻辑发展顺序之间所相互带来的影响。
从图形“点——线——面——体”的逻辑发展顺序、平面与立体的空间从属关系来看，线是在面上的。学生如果围绕某个点、根据一定的方向、把一条线段按照一定的角定旋转起来并非难事。但如果旋转的对象从线段变为由线段所围成的面，那么线与线之间在面上就会相互造成干扰，相互造成负面影响，造成概念模糊及视觉偏差。比如图1，线段0A与线段AB、OB在三角形AOB这个面上就会相互产生影响与干扰。
   3、没有注意到已有知识经验对新知学习的“负迁移”作用。
学生已有知识经验对新知学习固然有“正迁移”的作用，但有时也会造成“负迁移”的影响。学生的知识框架系统或教材内容的编排体系都是呈“螺旋上升”的特点。所以，从横向来看，学生在学习旋转之前己经学习了“平移”与“轴对称”的相关知识。这两种图形变换形式与旋转在学生学习过程中很容易造成本质特征的混淆；从纵向来看，学生在第一学段学习时，具体实物大多是围绕一个点或一个轴做圆周运动，如：电风扇、旋转木马等，到了四年级展开新知的学习难免引起学生认知上的误区。所以，要想学生立刻适应一个简单图形旋转900后的这种非圆周性的旋转的概念的确需要一个反应的过程。

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    针对以上执教者在新知教学起点把握上的问题，笔者认为在新授环节结束后，不妨把以上动手操作环节的题型进行如下修改：
首先，从学生的空间观念发展由一维向二维的转换来看，可以起到一个过渡的作用，可以做到循序渐进，更有层次性，也分散了学生的学习难点。学生在分层推进的操作中，也感悟到旋转中心、图形大小形状不变，位置方向改变的特点在线和面的旋转上是共通的，是可迁移的。
其次，线在面上，线是面的基础，先旋转“线”再旋转“面”。与旋转中心点O有关键联系的两条线段OA、OB的局部旋转直接影响到三角形AOB这个面的整体的旋转；面又源自于线的发展，学生在整体感知三角形的变换的同时又强化了对线与线相互干扰的排除。从图3、图4旋转线段到图5旋转三角形，其实就是考虑到线与线在面上相互干扰的影响。通过这样针对性的操作训练，之前的视觉偏差情况也会大大减少，让学生更好地把握整体与局部的关系。
    最后，考虑到学生已有知识经验的对新知学习的“负迁移”的作用，设计图6的动手操作练习。其最终目的就是为了让学生发现点0在平移、轴对称及旋转三种运动变换形式中的“变与不变”。在旋转过程中，点0作为旋转中心，位置是固定不变的；而在平移过程中，点0与原图中的相对应的位置也是相同的；最后在画轴对称图形的过程中，点0与原图中的相对应的位置是相对的。不但避免了学生在平移、旋转、轴对称这三者之间关于本质特征的混淆，也让我们体悟到一个点对于它所属的那条线、那个面所带来的“四两拨千斤”的巧妙之功。当图形的变化回归到它最基本的形态时，才发现所有的变化之中蕴含着不变的道理。
立足于课堂新知教学的起点，从起点出发，让学生图形与几何新知的学习扎好根，起好步。而当新的知识经验与认知发展水平到达一定程定时，回归起点，又再次深化了对图形与几何知识整体理解，也强化了操作技能的训练，可谓“磨刀不误砍柴功”。
二、积累数学活动经验                              
    积累数学基本活动经验的提出更加强调了学生的主体地位与主体体验，体现了学生为本的理念。“图形与几何”由于其知识属性与其他领域内容不同，更需要在积累数学活动经验的过程中来发展学生的空间观念。北京教育学院刘加霞教授认为：空间观念的核心是要建立“学生头脑中表象”、“现实物体（空间）”、“几何图形（图像）”三者之间联系。其中，活动主体学生头脑中形成表象是建立空间观念的核心，是认识现实空间以及识别几何图形的桥梁。学生头脑中表象的形成不是将现成的“图”塞进学生头脑中，更不是靠背诵图形的特征以及相关公式就能自动建构出来，而是从经历、感受、活动操作中构造出来的[ 3 ]。笔者也认为，“图形与几何”的教学应充分让学生经历观察、操作、表达、想象等过程。数学活动经验产生于数学活动，具有明显的实践性。教师应引导学生调动各种感官，在活动的每一个环节都获得不同的感受、体验与发现。
    片段二：北师大版五年级下册《长方体的认识》一课
     教师在组织学生认识了长方体的面的特征之后，让每位学生打开课前准备好的信封，里面是四个平面图，请学生判断哪些可以围成长方体。

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师：同学们，这里有四个平面图，刚才我们在剪开长方体得到它的展开图，认识了长方体相对的面完全相同的特征。现在请大家通过自己的观察与想象，判断一下哪些平面图可以围成长方体，哪些不能？向你的同桌说明理由。（学生在刚开始交流时，教师发现学生的回答有些无序、没有条理，就引导学生标注序号，并且1和2、3和4、5和6相对应。）
师：刚才同学们在全班交流过程中有些混乱，现在我们标注了序号，你再向你的同桌说一说。
生1：我认为第二个平面图是可以围成长方体的。因为我看出三组分别相对的面是完全相同的。
生2：第一个平面图不可以围成长方体。因为它缺少了一组完全相同的相对的面。（学生示意是1和2）
生3：第三个平面图不可以围成长方体。（师：不可以吗？它们三组相对的面不是都完全相同吗？）
生3：有一个面的位置放错了！（师：错了！哪一个？）（学生示意2和3位置在围的过程中会重叠在一起。）
生4：第四个平面图也不可以围成长方体。因为1和6、5和2边长不一样，无法重合成一条棱，所以不能围成。
师：太精彩了！那么如果类似这样的平面图想要围成长方体，应该要注意什么？
学生总结：三组分别完全相同的相对的面；想要重合的边的长度相等；面的摆放位置一定要正确。
师：现在请大家自己再折一折，边折边说能围与不能围的理由。（学生动手操作，并且“自言自语”。）
师：第二个平面可以围成一个长方体，我们都知道它有正、后、左、右、上、下六个面，请你再把这个平面图装进你的心里，在心里折一折，并说一说正面在哪儿？（教师引导学生在说一说，再折一折，最后摆一摆后发现每个序号所对应的面都可以是正面。如：2是正面，1是后面，6是左面，5是右面，3是下面，4是上面。）
从以上片段看得出教师为了积累学生的数学活动经验，发展学生的空间观念可谓是用心良苦，也很有方法。教师通过引导学生观察、操作、想象，表达，让这四者有机融合，从而建构了长方体在学生头脑中的表象。
    首先，观察是积累一切数学活动经验的基础和前提。学生对空间图形最初的感知到头脑表象的形成，再到概念的抽象与概括无不建立在观察的基础之上。教师的四个平面图为学生提供了很好的观察素材，而且是从不同角度展开的。可以从面的完全相同（面与体的关系）、从面的摆放位置（面与面的关系）、从平面图的边的长度能否重合为棱（线与线的关系）等等，使学生对长方体的表象逐步清晰起来。有效并且有质量，没有给人以“走过场、走形式”的感觉。其次，想象是在几何图形与现实物体之间建立起一种转换方式。由物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出实际物体。以上片段教师为学生创设了两次想象的机会。学生判断四个平面图能否围成一个长方体，就需要根据长方体的面、棱及面的所在位置的合理性上进行想像，是在心里对平面图进行“复原”后成立体图形的过程。把第二个平面图围成后的长方体的六个面找出来，再一次让学生进行想象。在以不同的面为正面的的空间转换过程中，建立起了学生的空间思维经验。再者，表达是空间观念界定的重要内容，是完善学生思维过程的重要手段。数学是思维的产物，语言是思维的外壳。在实际的课堂教学过程中，我们常会发现在描述图形的运动与变化时处于一种“欲言还休”的状态。分析原因，其实还是作为教师的我们没有帮助学生搭好表达“脚手架”，没有转变辅助手段。以上片段中，教师发现学生表达无序时，引导学生采用标注序号的方法，让学生的表达从无序到有序，更有条理。表达的方式也很丰富：全班交流，同桌互说，自言自语等。另外，教师在学生说到第三个平面图无法围成长方体时，故意表现出适当的“无知”。反问了学生一句：“不可以吗？它们三组相对的面不是都完全相同吗？”，让自己置身于学生的角色，引起学生共鸣，激发了学生的表达欲望。学生的表达是学生思维过程的体现，“想不明白，自然说不出口”，同时，学生的表达也能提升思维的缜密性。最后是操作。片段中，教师并没有一开始就安排就让学生去折四个平面图这样的操作活动，而是从“思维操作”入手，先建立起空间想象，然后再由“行为操作”来验证学生之前的猜想与发现。学生在特定的数学操作活中进一步体会了长方体局部与整体的关系，并且寻求到解决问题的思路，让学生从当初的获得最基本的感性认识上升到理性认识，让学生“且思且行，意犹未尽”。

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三、渗透数学基本思想
南开大学数学科学学院的顾沛教授认为：数学的基本思想，主要可以有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想。这些数学基本的思想在演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科及其众多的分支；通过数学推理的，进一步得到大量的结论，数学得到了丰富和发展；通过数学模型，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的社会效益，又反过来促进了数学科学的发展；通过数学审美，看到数学“透过现象看本质”，“和谐统一众多事物”中美的成分，感受到数学“以简驭繁”、“化难为易”、“天衣无缝”给我们带来的愉悦，并且从美的角度发现和创造新的数学[ 4 ]。在小学阶段的“图形与几何”的教学过程中有许多内容和机会是可以向学生渗透数学的基本思想的。比如下面这个案例：
片段三：北师大版四年级下册“观察物体”一课
师：有一堆积木从正面、左面看到的形状如下图，请问这堆积木最多有几块？最少有几块？

师：请同学独立思考，用桌面上的小正方体搭一搭并说一说你的是怎么搭的？
    学生在桌面上搭起来，整个过程学生没有遇到什么困难。

       最少                      最多
    师：谁来说一说，你是怎么搭的？
    生1：从正面看，这堆积木有两层，上层的左边有1个，下层的左、中、右各1个；从左面看，这堆积木也有两层，上层的右边有1个，下层左、中、右也各有1个。我的发现是这堆积木最少有6块，最多有10块。
    师：这位同学搭的积木最少的是6块，最多的是10块，相差4块。同学们对比两堆积木，相差的那4块在哪儿呢？
    生2：就是后面“被挡住”的那4块。（学生示意）
    师：好一个“被挡住”！你为什么说它们是被挡住的?
    生2：因为无论是从正面或者左面看都是看不到它们的。
    师：老师也搭了几堆，请看大屏幕。

    师：请同学们仔细观察，老师搭的与前面这位同学搭的有什么相同的地方？
    生3：老师您搭的和同学搭的都是正面4个，左面4个。
    师：那又有什么不同吗？
    生4：老师您搭的既不是最多的，也不是最少的。
    师：你观察得真仔细，为什么呢？
    生4：因为，您被挡住的部分没有最多，也没有最少。想要搭得最多，那么被挡住的部分就要尽量多；想要搭得最少，那么被挡住的部分也要尽量少。

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从以上教学片段可以看出，教师向学生渗透了不少数学的基本思想。让学生判断最多与最少是几块积木，其实就是在渗透数学“极限”的思想；教师在学生展示其所搭的积木之后，用大屏幕展示自己所搭的积木，让学生观察和发现师生两者所搭的情况相同之处，学生总结出“老师搭的和同学搭的都是正面4个和左面4个”就是在渗透数学“变与不变”的思想。学生最后归纳出：想要搭得最多，那么被挡住的部分就要尽量多；想要搭得最少，那么被挡住的部分也要尽量少。这也就意味着学生已经建立了解决这一类问题的模型，渗透了数学“建模”的思想。当然，如果再深入下去，教师可以引导学生观察左面和正面所看到的形状，可以判断出这堆积木一共有三行和三列。如果把这样一个组合的立体图形转变为一个平面图（俯视图），学生解决这类问题就可以化难为易，化繁为简了，同时也渗透了“转化”的思想。
笔者认为，在小学阶段的“图形与几何”的教学过程渗透数学基本思想应注意以下几点：
1 、数学基本思想强调“渗透”而不是“传授”。小学阶段的数学基本思想强调的是渗透，而不是传授，更不能一味单独与空泛地讲。这就对教师课堂用语提出了更高的要求。数学基本思想的渗透以知识技能的教学为载体，并结合小学生的心理与思维特点等实际情况，不能生拉硬扯、牵强附会，课堂语言的组织不能为了渗透而渗透。从上面这个片段来看，教师虽没有单独讲解数学思想，也没有提及与数学思想相关的词汇，但在课堂组织教学的各个环节，因势利导，拿捏好了分寸。教师虽未特意去“言传”，但学生已有“意会”。
2、数学基本思想应在数学活动中慢慢“感悟”。“图形与几何”的教学因为其知识属性的缘故，学生的学习大多处于观察、实验、猜想、推理、验证的活动过程的状态。因此，数学基本思想的渗透不能脱离学生动手实践、自主探索、合作交流等重要学习方式，而应在其中慢慢感悟。如上面这个片段，如果教师没有给学生动手实践，没有给学生去搭一搭机会，没有给学生互相流的机会，学生是很难体会到“想要搭得最多，那么被挡住的部分就要尽量多；想要搭得最少，那么被挡住的部分也要尽量少”，那么数学推理与建模的思想在这里进行渗透也就显得很空洞。
3、数学基本思想应在学生问题解决过程中体现其价值。新课标突出了由“双能”变为“四能”的问题解决能力和创新精神的培养，在这一前提下，数学基本思想的渗透也应为之而服务。所以，数学的思想应在学生问题解决的过程中体现其价值。顾沛教授认为：在问题解决的过程中，数学思想就会逐渐形成某一类程式化的操作，从而就构成了我们所说的数学方法。如：合情推理法，列表法，图像法等[ 5 ]。如以上片段，把组合立体图形通过数学“转化”的思想变化为一个平面图（俯视图），学生在以后解决同类问题时，这样的一个平面图就演变成了格子图的程式化操作，也是“图像法”的运用。在数学方法操作中，数学基本思想也自然而然地体现出了它的价值。学生掌握了数学方法，也就证明学生己经获得了相关的数学活动经验，并且会伴随学生一生。
    在我们过去的“图形与几何”的教学过程中，对数学基本思想的渗透做得还不太够。学生问题解决能力的提升，学生创新精神的培养与发展没有数学思想的贯穿是不行的。我们要充分调动“图形与几何”教学中的各种素材与资源，渗透数学基本思想。做到“随风潜入夜，润物细无声”，让学生逐渐接受与喜爱上我们的“数学基本思想”。