《利用轴对称解决最值问题》课堂实录

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利用轴对称解决最值问题》课堂实录
                                                               —管城三中数学教研组荆攀老师

课前三件小事
第一项：检查文具是否备齐
第二项：捡拾周围垃圾
第三项：再次调整桌椅距离
（邢校长点评：欣赏课前三看，希望本校老师也能做到课前三看。）
生：起立
生：坐下
师：好，上课。
生：起立，老师好！
师：同学们好，请坐。今天我们一起来学习新的问题—如何解决？首先，我们一起齐读学习目标，我起一个头，学习目标，一二。
生：学习目标：1、为确定线段和最短的点的位置2、为求最短距离或点的坐标。
（邢校长点评：教材目标可准备，目标也可齐读。）
师：明确了学习目标，我们的学习之旅就有了航向，下面我们一起抖擞精神，进入今天的知识梳理。
(话音刚落，4名学生就自主上台板演或批改,其余学生台下练习。）
师：好，停下来，同学们，我们一起来看黑板，黑板上板演的同学和批改的同学一致，他们给出了的结果是相同的，那么这个问题扣了一分，哪个同学批改的呢？好，你来说一说，为什么扣一分呢？
（邢校长点评：规矩到位，习惯养成，引领式教学让问题变得更加美丽。）
生：感觉到他的书写有点不整齐。
师：那我们希望书写的同学，下次书写的时候要整齐。请坐，谢谢！同学们，咱们板演的同学和批改的同学都很认真，给咱们今天这节课开了一个好头，我们先把掌声送给他们。（掌声自由响起）
（邢校长点评：教师以身示范，一句谢谢体现了教师语言的高雅。）
师：下面咱们以小组为单位，来交流一下这类问题解题的方法是什么？下面开始。
（小组自由讨论）
师：好，停下来，学习是灯，展示是油，要想灯亮，必须加油，所以下面我们来展示自己小组的集体智慧，哪一组先来？好，周行华。
生：1、先寻找一条直线两个定点2、当两点在直线的两侧时直接连接两个定点与已知直线相交的点既所求的点。当两点在直线的同侧时，要先做其中一点关于这条直线的对称点，再将此对称点与另一点连接，与已知直线相交的点既所求的点。
师：其他同学有没有要补充的？没有，大家意见都一致，老师的意见也一样，好，请坐，同学们一起来看第三小题，我们看到黑板上展示的同学做的是点B关于直线l的对称点，那做点A的对称点行不行呢？
生：行
师：那么这两种做法做出来确定的点P位置相同吗？
生：相同
师：那么选哪一种更好呢？
生：A

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师：这个要根据实际问题，那这个问题来说，点A距离这个对称轴近，那么我们做点A比做点B要节省一些时间，所以同学们在具体问题的时候选准合适的点是非常重要的，好，同学们！那么这类问题我们已经研究出来方法了，下面我们再明确一下，我们一起来齐读一遍这节课我们要学的关键，老师起1个头，如何确定，一二。
生：如何确定使线段和最短的点的位置。1、先确定一条直线，两个定点。2、当两点在直线的两侧时，直接连接两个定点，与已知直线相交的点，既所求的点，当两点在直线的同侧时，要先做其中一点关于这条直线的对称点，再将此对称点与另一点连接，与已知直线相交的点，即是所求的点。
（邢校长点评：小结时又一次齐读，整齐的声音体现了教学的常态化。）
师：大家读得真整齐，说明大家的意见是相同的，这就是我们今天要学习的主题—利用
轴对称来解决最值问题。有了方法的指导，我相信同学们在接下来的环节当中，一定会过关斩将，逢战必胜。下面我们一起进入练习一，请大家以小组为单位合作完成。
（小组为单位合作完成的同时，教师进行板演。）
师：咱们开始展示集体的研究成果，开始。(话音刚落，就有以小组为单位的同学代表进行板演。)
师：好，停下来，大部分同学已经完成了，我们知道帮助他人温暖自己，赠人玫瑰，手有余香。那么集体智慧研究的结果很宝贵，下面我们掌声有请第一小队的解说员来解说他们的集体智慧，大家掌声有请。
生：同学们，请看黑板，ABC是一个等边三角形，所以它就具有等腰三角形的一切性质，AB是6，AC也是6，因为AD垂直于BC，所以说因为AD垂直于BC，等腰三角形三线合一，D是BC的中点，这是3，这也是3，B是C是关于AD的对称点，在等腰三角形ABE中，根据勾股定理，BE等于三倍根号3。
师：讲完了吗？
生：讲完了。
师：好，谢谢，谢谢第一组的解说员。
（掌声自主响起）
师：下面我们掌声有请第二队的解说员，来解说第二小题。
生：大家首先看题中的要求是画出四边形PABQ的周长达到最小值时PQ的位置，因为四边形中AB这条边是已经确定的，我们就要想办法让剩下三条边之和达到最小，因为两点之间线段最短，所以要想办法让剩下三条边在同一条线段上，这时我们就做A关于x轴的对称点A撇和B关于y轴的对称点B撇，我们连接A撇和B撇，其中给出的条件是点B、P、Q分别在x轴和y轴外轴上，所以A撇与B撇这条线段与x轴外轴的交点分别是点P和点Q。
师：大家的掌声说明了对周兴华老师的认可，最后我们一起来评判一下这两队集体智慧表现得如何。下面咱们开始，先来说第一题，我们来给提提意见或者建议。
生：第一组我感觉讲得思路不够清晰，而且她说B是C是关于AD的对称点，她没有说连接，直接通过勾股定理求出来的。
师：也就是思路中出现了断链，对不对，还有吗？感谢杨海波同学的提议，秋雅同学以后要注意。
师：还有吗？其他同学，好，后面沈明润同学。
生：他说错了，他讲ABC是等边三角形，
师：是口误吧，对不对？还有吗？
生：没有啦
师：好，非常感谢，共同帮助，共同进步，希望同学们，就在这样互相帮助的情况下共同成长，那么同学们以后在讲解的时候要注意，一个是把思路理清楚，另外要准备好讲解。好，还有没有？没有了，那么第二队有没有给朱兴华老师提意见呢，有没有？好，李亚波。
生：我觉得他讲的题非常的清晰，而且思路非常的明确，而且他们整组整队包括画图都非常的工整，比第一队强了很多。然后他们组我觉得非常的好。
（邢校长点评：学生语言表达流畅，靠的是平时课堂中数学语言的训练，称呼学生为老师，增近了师生距离，使得课堂温馨，孩子自信。）
师：集体智慧展现出来的成果比第一小队要优秀一些，还有吗，其他同学呢？好，群众的眼睛是雪亮的，大家一比较我们就出现了哪一队表现得更好一些，表现不够优秀的同学哪一小队也不要灰心气馁，咱们下面还有机会，那么根据刚才大家的表现我们一致认为第二小队在这一轮的比赛中获胜，大家把掌声送给他们，祝贺他们。
师：同学们，在解决这两个问题的时候，其实我们进一步又验证了我们刚才总结的方法和思路，那么同学们在做题的时候确定这个点的位置是关键，因此我们要在这个图形当中先去找，找一直线和两定点并且判断它们的位置关系，如果说它们如图一所示，两点在直线上两侧，这个时候我们直接连接它与对称轴的交点就确定出来了这个动点的位置，如果说像图2这种情况下，两个点在对称轴的同侧，这个时候我们就要用今天所学的知识，利用轴对称来分别做出其中一个点的对称点然后再连接，利用轴对称的知识来确定这个动点的位置，然后再把它的最小值求出来，那么希望同学们对这个知识咱们在进一步消化和巩固当中能够掌握得更好，那么这两队在展示的时候，第一小队是一个动点的问题，第二小队是两个动点的问题，那么我们在实际运用的过程当中可能会遇到更复杂的问题，同学们要做好心理准备，这个环节整体来说我们同学都很积极，我们掌声送给自己。
师：好，同学们，我们知道骏马是跑出来的，强兵是打出来的，依靠集体的智慧我们第一个环节当中解决的问题非常顺利，下面要展示考验你个人掌握的情况，我们一起进入练习。

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（学生进入练习的同时，又有小分队的同学上来板演答案或批改分数，教师则在一旁板书问题积累。）
师：咱们大部分同学都完成了，我们看黑板上这三个同学展示的题目，先对照一下，看看答案有没有问题？有问题的同学就举手，队员们的意见比较一致，我们下面老师特别想邀请第三小题展示的同学来讲解一下这道题的解题思路，掌声欢迎。
（邢校长点评：练习、操作、批改、点评这些环节都由学生完成，老师只起了引领效果,又一次验证了教师课堂组织手段中习惯的养成。）
生：首先看题，它求DQ加PQ的最小值，然后寻找一条直线AE，有两个点P和D，因为PD它在AE的同侧，所以做P关于AE轴的对称点P撇，由于它是正方形，它的边长为4，AC又是它的对角线，所以4、4勾股定理可以求出来它为4倍根号2，然后因为它要求PQ加DQ的最小值，因为它是等腰直角三角形，所以当DP撇垂直于AC的时候它的值最小，又是DP加PQ的值最小，因为它垂直它，垂直于AC，它是它的中位线，三角形ACD的中位线，它的中位线等于斜边的一半，所以它就为2倍根号2，所以PQ加DQ最小值就为2倍根号2，还有另一种方法，也是通过这个等腰三角形，它为4，也可以通过勾股定理求出来，DP撇，它也为2倍的根号2.
生：（说完后班级同学的掌声自由响起）
这位同学一气讲了两种解法，下面我们听的同学有什么意见或建议。
生：把点P对称在AC上
师：也就是点P的这个对称点是否落在AC上并不确定？
生：对，没有一定的依据。
师：我们应该怎样说更合适呢？
生：AE是角DAC的角平分线，角平分线上的点到两端的距离相等，所以PQ的对称点会在AC上。
师：有意见吗，同意不同意？
生：同意
师：好，还有吗？
生：没有了
师：好，请坐，其他同学呢？
生：DP应该是AB的中线，不应该是中位线。
（邢校长点评：问题指定，学生解释，老师再继续提醒发现问题，做到了学生问学生答，引领效果十分有效。）
师：DP应该是AB的中线，不应该是中位线，口误对吧。还有吗，请坐，其他同学呢？
好，同学们我们一起来看，亚博同学讲了两种思路，这个题老师特别点出来，是因为它有别于其它两个问题，大家现在来看，在这个题目当中，我们需要求的是QP加QD的最小值，在这个正方形当中D是一个定点，动点是谁呢？点P和点Q，那所以同学们我们在做这个题的时候找了直线，找了AE，动点和定点要区分开，定点是D，动点是P，所以同学们，如果说你没有像亚博同学这么活跃的思维，你这时候应该怎么办呢？我们做点D这个动点关于这条直线的对称点，为什么选定点呢？，因为定点比较稳定。先确定点D关于直线的对称点，然后在讨论如何使它们和最短。这个时候做起来计算会容易些，就是刚才老师在第一环节当中点出来的根据具体问题去选择合适的点。下面的时候，咱们以小组为单位交流一下，在做的时候你有什么问题，组长注意收集问题。
（小组同学相互讨论）
师：下面我们展示一下本小组当中出现的问题。
生：第二题，写抛物线的对称轴应该是X=2，我写的是2.
师：对称轴是一条直线，因此写的时候不能只写一个数字，还有吗？
生：没有
师：非常认真，对自己的小错误也不避讳，展现给大家，希望其他同学能避免这种错误，其他小组长有没有问题？
生：我把C点还有A点代入求值的时候求错了。
师：计算错误对不对？还有吗？
生：没有啦
师：好，请坐，计算错误是咱们的一个老问题了，纠缠太久了，每节课都有同学出现这样的问题，好，后面的同学。
生：也是第二题，我在做的时候没有写表达式，直接就把点带进去了。
师：也就是说待定系数法的步骤不够完整，我们知道中招考试对答题的步骤要求是非常的严谨的，所以每一步都要严格按照规范去做，还有吗？好，请坐，其他队呢？
师：高振博
生：我说的也不知道是不是问题？设的时候应该是设直线BC为y=ax+b。
师：很细心，如果我们不强调直线，同学们能不能求它的表达式呢？那么你如果不强调是直线，说明BC它有一个端点是线段，这个时候你应该自变量的取值范围给写出来，对不对？太细心了，掌声送给他。
（邢校长点评：学生说出自己做题时问题的所在，并用掌声鼓励及时发现问题的同学，又一次温馨课堂的再现。）
师：做直线BC的表达式，然后你才可以不写这个自变量的取值范围，如果是线段，同学们就要注意了，它两个端点一定是有自变量的取值范围，好，其他队还有吗？好，同学们这三个环节在我们齐心协力的合作下完成的非常好，我想我们又该休息休息了，因为经过那三个环节，同学们的思想肯定紧张了一些，好，下面我们有请，带操的两个同学一起来，老师来喊口号，我们大家一起动起来，大家掌声欢迎两个带操的同学。你们一边喊同学们一边做。
生：一二三四摇一摇，二二三四扭一扭，三二三四点点头，四二三四伸伸手。

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师：把我们最舒服的动作保持5秒钟。好，路灯要经过一夜的努力，它才会接受晨曦的第一缕阳光的抚慰，沙滩上的脚印非常容易留下，但也非常容易被潮水给它抹去，所以每次学完以后我们都要及时总结一下。下面我们来谈一谈这节课你收获了什么？想一想。谁先来？好，还是亚博，亚博最勇敢！掌声送给他。
生：我学会了在一个图形中，如果有2个定点和2个动点，定点在一条直线上如何来求它的最短距离。
师：你已经掌握了这个题的解题方法了，还有吗？
生：还有在做它的对称轴的对称点的时候，以前我做的都不太符合，以前用的都是直线，现在都用了虚线，我学会了这一点。
师：说完了吗？
生：说完了，好，请坐。
师：讲自己的收获就好，不要担心自己说不好，好，郭子源。
生：我学会了解决最值问题的方法和解题思路步骤。
师：很好，方法思路很清晰了，这节课收获了这些知识，还有吗？
生：没有啦
师：好，请坐，后面沈明润。
生：经过这节课的学习我能更注重细节，更好更准确的过程。
师：说得太好了，注重细节，同学们，又给我们提了一次醒。
师：刚才发言的可都是男同学，我还没有听到女同学的声音呢？好，后面的同学。
生：我知道了，在做完所有的图之后，如果要做图一定要写一个总结性的语言。
师：也就是几何做题要规范，还有吗？好请坐，李敏，说说你的收获。
生：会根据轴对称确定点的位置。
师：这是这节课最根本的知识，根据轴对称确定动点的位置，说得很好，请坐，刚才这几个同学又一次给我们温习了一下这节课我们要掌握的主要内容，在解决最值问题的时候，我们一定要先确定动点的位置，确定动点位置的时候，同学们，注意要把两个动点的问题转化为一个动点的问题，然后利用轴对称做出来其中一个点的对称点，从而解决最值问题，另外的话，同学们，注意这些平时书写包括做题的规范。对称轴是直线，书写的时候不能光写一个数字，计算错误也纠缠我们很久了，再一次给大家敲一个警钟，计算的时候大家要细心一些，希望同学们严格规范自己的解题步骤，因为中招考试我们知道，每个步骤是按点给分的，少了一点就少了这个分。
师：好，同学们，这节课，我们收获了很多东西，但是我们要明白，风帆的自豪是因为风在风浪当中它挺起了胸膛，对本节课的知识你是不是有信心挺起胸膛呢？我们下面一起做进入作业环节，希望同学们独立完成。
（学生在做练习的同时。教师进行批改，小组交换批改，组长走动批改。）
师：组长在批改的过程中有什么问题吗，有没有比较典型性的问题？好，这位同学。
生：我觉得蓝洋同学解题的步骤过于简略。
师：过于简略了，步骤要求还是要严谨，还有吗？好，请坐！其他组呢，好，郭子源。
生：敏刚同学把AB的连线画成了实线了。
师：连接的时候要画虚线，我们说过了，还有吗？好，请坐！
（邢校长点评：绝大部分作业是在课堂上完成，教师批改巡视作业效果，教师批改组长作业，组长批改组员作业，最后收集组员作业中出现的问题进行反馈，使得问题积累在黑板上再次呈现。）
师：这些细节问题再一次给我们提了个醒，每次做题都要细心，同学们，山间的泉水经过一路波折，才能听到美妙的歌声，我们今天的学习之旅到这里就要结束了，希望同学们在今后的学习过程中都像今天这样积极展示自己，表现自己。好，咱们今天的课程到此结束。