小学数学教师论文 也谈数学教学中的举例

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摘  要：小学生思维发展处于具体运算阶段，认知结构中已经具有了抽象概念，因而能够进行逻辑推理，但仍离不开具体事 物的支持。学生在理解抽象的数学概念或原理时，常常需要借助具体的实例。因而，举例是小学数学教学中一种有效的教学方法。举例需要遵循目标性、启发性、适应性和适量性原则。

关键词：举例  价值  意义  原则   


在教学中，我们常常会借助一些具体的事物对书本知识进行说明和解释，这就是举例。数学是研究数量关系和空间形式的学科。数学的研究对象具有抽象性，相对于某一个抽象层面的数学而言，总能找到与之相对应的具体表征，也就是“例子”来加以阐释。皮亚杰的心理发展阶段论认为：小学阶段的儿童以具体形象思维为主，逐步过渡到抽象逻辑思维。但这种抽象逻辑思维在很大程度上，仍是直接与感性经验相联系的，所以仍需要借助具体的实例来理解和建构。学生对于数学的认识往往是从具体逐步走向抽象，由感性逐步走向理性，由局部认识逐步走向整体把握。举例恰好能把抽象的问题具体化，理性的结论感性化，使复杂的问题变得简单，使陌生的情境变得熟悉。史宁中教授就曾说过：“讲课讲不明白的时候，最好的方法是举例说明。对一个知识是不是理解了呢，最好的办法也是举例说明。”

一、举例的教学价值

（一）理解数学概念

数学相较于其他学科来说，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。概念教学在整个数学教学中具有举足轻重的作用:它不仅是学习数学定律、法则、公式等的基础，也是进行数学推理、判断、证明的依据，还是正确地进行数学运算、有效解决问题的先决条件。在实际教学中，我们常常发现，有些数学概念，学生在生活中鲜少有机会接触到，理解起来比较困难。教学这样的概念时，如果只是照本宣科，读一读说一说，恐怕学生即使记住了，也只是知其然，却不知其所以然。

教学苏教版六年级下册《众数》一课，我注意让学生结合实例，理解众数的含义。

师  你们理解的真棒，众数就是一组数据中出现次数最多的数。（板书）你能试着举个例子向大家说说吗？

生  1、2、3、4、5、5。在这组数据中，5就是众数。

师  都同意吗？看来，一组数据中，一定有一个数是众数。

生  我不同意，如果这组数据是1、2、3、4、5，就没有众数。

师  一组数据中可能没有众数，也有可能只有一个众数，是这样吗？还有补充吗？

生  我觉得还可能出现2个众数。比如1、1、2、2。这组数据中就有两个众数，分别是1和2。

很多学生纷纷点头表示赞同。

生  我觉得有点不对劲啊，如果这样，那刚才举的例子1、2、3、4、5，也可以说众数有5个啊。

师  回头看看众数的概念（指黑板），你是否有新的思考了？

生  众数是一组数据中出现次数最多的数，而1、1、2、2这个例子中，1和2都出现了两次，所以没有众数。

学生第一次接触众数的知识，由于缺乏相关的认知经验，理解起来比较抽象。教学时在揭示概念后，我就让学生举例说明。结果发现了很多在课前没有预设到的问题，如学生们错误地认为出现两次的数据就是众数，这显然是与正确概念相悖的。如果教师一味把概念强加给学生，恐怕学生会口服心不服。于是，我又把这个皮球抛给学生，他们结合例子自然而然地解决了认识中的困惑，对众数的本质有了更加深刻的认识。   

概念教学既要让学生知道概念的定义，更要真正理解和掌握概念的本质属性。在解释和说明某个概念的本质属性时，如果能既呈现正例，又呈现适当的反例，尤其是反映学生在学习过程中生成的反例，则更有助于学生辨析概念，把握概念的本质特征。

（二）灵活驾驭规律

学生学习数学的过程，应该是通过数学思维活动不断探索发现数学规律、应用数学规律解决问题的过程，发现规律与应用规律同样重要。在实际的教学中，我们常有这样的困惑，有些规律如果用文字表述非常繁琐，既不利于学生记忆，也不利于学生应用，所以在平时的教学中，我们要善于利用举例的方法，把抽象的规律变得简单化、形象化，便于学生理解和灵活运用。

在除法的练习中，有一组利用商不变的规律解决的习题：在一道除法算式中，如果被除数乘2，除数不变，商（    ）；被除数不变，除数除以3，商（    ）；被除数乘2，除数也乘2，商（    ）；被除数乘2，除数除以2，商（    ）。

这一组问题，抽象地从规律及其变化的角度分析，恐怕会令不少学生头昏脑涨。倒是有个学生举了个例子，让同学豁然开朗。

生  我觉得可以把这个算式里的被除数想成西瓜，除数就想成人数，商就是每人能分到的西瓜的个数。

师  这个想法挺特别，你能结合问题具体说一说吗？

生  第一个问题，就相当于西瓜总数变成原来的两倍，而人数没变，那么每人分得的西瓜的个数也应该是原来的两倍，所以商也应该乘2。

师  听懂了吗？那谁能用这样的方法说说第二题怎么想呢？

生  西瓜的个数不变，但人变少了，所以每人分的应该变多了，商应该乘3。

师  分析得很有道理，不过后面两个问题两个量都变化了，还能用这样的方法来思考吗？

生  我觉得可以，第三个问题，西瓜总数是原来的两倍，而人数也是原来的两倍，所以每人分到的个数应该不变。

生  西瓜的个数是原来的两倍，而人数却只有原来的一半，所以每人分的应该更多了，商应该乘4。

……

当学生再遇到这样的问题时，可能会第一时间在头脑里浮现分西瓜的画面。抽象的数学问题与实例结合后，就变得形象生动，便于理解和掌握了。数学是以数学符号为主要词汇，以数学法则、定理公式、概念等语法规则构成的一种科学语言。对于这样高度抽象的内容，若既要学生掌握，还要能够举一反三、灵活运用，就要举例。把数学规律形象化、具体化后，能够降低知识理解的难度，使学生灵活掌握。

（三）体验应用价值

数学教学不仅要教会学生数学知识，还要让他们学会用数学知识解释生活现象、解决实际问题，体会数学的应用价值。如果脱离生活学习数学，就会失去数学学习的意义。

教学苏教版五年级下册《圆的认识》一课，我是这样引导学生举例体验应用价值的。

师  圆在我们的生活中无处不在，知道轮子为什么都要做成圆形的吗？

生  因为圆可以滚动。

师  那正方形、三角形等就不能滚动了吗？出示正方形、三角形、圆滚动的动画，

学生哈哈大笑。

师  你有什么想说的？

生  正方形和三角形可以滚动，但是比较颠簸，只有圆滚动起来比较平稳。

师  为什么圆滚动起来比较平稳呢？

生  因为圆是曲线图形。（板书：曲线）

师  那所有的曲线图形都可以做轮子吗？（出示：椭圆滚动，学生又笑。）知道为什么轮子都做成圆形的了吗？

生  所有的点到中心的距离都要相等，才不会颠簸。

师  想一想，车轮的轮轴应该安装在什么位置？为什么？

圆是学生熟悉的图形，在通过对“车轮为什么是圆的”这一具体实例的讨论中，学生加深理解了圆的特点，并感悟到数学在现实生活中的普遍应用。教师应善于从客观存在的大量的数学现象中，分析和挖掘出富含数学因素的有价值的实例，并充分调动学生的生活经验，应用于课堂教学之中。类似的举例，能培养学生观察生活、分析生活、将数学应用于生活的意识，还能提升学生对生活中的数学现象的敏感度，加深学生对数学知识应用价值的体验与感悟。

（四）提升思维水平

数学教学应通过数学知识或解决问题的教学，引导学生学会全面、透彻地思考问题，不断提升数学思维的深度和广度，提高数学思维水平。

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教学苏教版六年级上册《长方体和正方体的认识》一课中有这样一道思考题： 把这个正方体外表涂上红色，如图切开。

三面涂色的小正方体有（    ）个；两面涂色的小正方体有（    ）个；一面涂色的小正方体有（    ）个；没有涂色的小正方体有（    ）个。

学生独立完成，之后讨论有什么发现。

生  如果用n表示正方体的棱长，这几种正方体的个数可以分别表示为“8；（n-2）×12；（n-2）2×6；（n-2）3。

生  我要提醒大家的是，如果是正方体，我们可以这样想，如果是长方体，就不能简单地用这样的式子了。

师  能举个例子说明你的想法吗？

生  如果是一个长宽高分别是5、3、4的长方体（画图演示），三面涂色的仍然是8个，两面涂色的是……

师  思考的真全面，长方体和正方体的计算方法上有类似的地方吗？

生  我觉得方法是一样的，只不过长方体的长宽高各不相同，所以算的时候要分开算。

生  我觉得三面涂色的不一定永远都是8个。比如，长方体的长、宽、高是4、1、1，就没有三面涂色的，要根据题目给出的信息具体情况具体分析。

学生在找出各种小正方体的位置及个数，发现个数与正方体棱长之间的关系，并且用字母表示出一般的规律。之后，拓展到长方体中去，通过举例，不断肯定和否定自己的观点，一步步探索和完善数学规律，闪现着智慧的火花。学生思维的发展直接影响着数学学习的水平。教师要善用实例或引导学生自己举例证明自己的观点和理论，不断深化对问题的认识水平，发展思维。

二、举例的基本原则

数学教学中的举例要恰当、适时和富有启发性。具体应遵循以下几点原则：

（一）目标性原则

教学中，举例的主要目的是为了帮助学生理解数学知识，达成数学教学目标。因此，例子所体现的内容必须与数学本质相一致。例子可以是正面的，也可以是反面的，不过都要有利于达成教学目标。在教学轴对称图形一课时，我让学生举例说说见过哪些轴对称图形，学生们大多举学过的长方形、正方形、圆等，但也有学生标新立异，举的例子是圆柱。显然圆柱的例子可以看成是反例，这说明学生还没有很好地理解轴对称图形的研究范围是平面图形，正好可以借助圆柱的实例，帮助学生进一步加深对轴对称图形的概念的理解。

(二)启发性原则

举例的主要目的应激发学生的好奇心和探索的欲望，引发学生更深层次的思考。例子本身对学生理解数学应具有启发性。

在教学枚举这一解决问题策略时，学生发现“周长相同的长方形，长和宽越接近，面积越大”这一规律，并且提出：在所有的平面图形中，周长相等时哪个面积最大呢？我让学生自己举例思考，结果学生举出了正三角形、正方形、正五边形、正六边形和圆等，并通过计算验证发现：周长一定时，边数越多的图形面积越大。显然，学生所举的例子具有特殊性，因而更便于其发现规律。这样的例子，对学生研究问题而言，是更具启发性的。

（三）适应性原则

教学中呈现的例子应该符合学生的生活经验，通俗易懂，便于理解，不可一味求新。在教学“百分率的认识”时，为了让学生理解百分率的作用，我先让学生举例说说生活中的百分率，有的学生说到涨幅率，税率等，这些百分率多数学生平时接触的机会较少，不易理解，所以我只是简单带过，而选择了“命中率”这一贴近学生生活实际的例子让学生研究。如果例子是学生熟悉的，他们便会有话可说、有话想说，这样的例子，最适合学生理解和掌握，也才能充分发挥例子的“正能量”。

（四）适量性原则

举例虽好，但有时若流连于学生所举的例子而不及时加以引导和提升，既可能浪费教学时间，也会影响学生对数学内容本质的理解。所以，无论是教师提供的例子，还是让学生举例，都应注意典型精当，适可而止。注意把握例子的数量与质量，提高数学教学效率。例如，教学“平均数”时，我让学生举例说说生活中常见的平均数和它所表示的含义，学生举了很多各种各样的关于平均数的例子，虽然积极性特别高，但其中有很多重复的例子。事后反思，当时我应该及时引导，抓住一两个典型例子进行分析，帮助学生加深对平均数意义的理解。

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作者:南京市银城小学 程金晶