新人教版八年级上册《多边形的内角和》公开课教学设计

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优秀教案展示  《多边形的内角和》教学设计
湖北省咸安区马桥中学　龚文众
一、内容和内容解析

1．内容

多边形的内角和．

2．内容解析

本节课是以三角形的内角和知识为基础，通过组织学生观察、类比、推理等数学活动，引导学生探索多边形的内角和与外角和的公式．通过多种转化方法的探究让学生深刻体验化归思想，以及分类、数形结合的思想，从特殊到一般的认识问题的方法，发展学生合情推理能力和语言表达能力．

教材先是通过作对角线探求任意四边形内角和．这个环节，通过自主学习环节的铺垫及学生的现有知识，把未知的四边形内角和转化为已知的三角形内角和来求解，有效地突破本节课的难点．再作对角线探求五边形、六边形的内角和，找规律探求n边形的内角和公式．这里我增加了一个环节是通过从一个顶点出发作对角线，来达到分割为三角形的目的．从边上、五边形内、外的任意一点出发，与顶点连接，来分割三角形．这个环节我没有直接把方法教授给学生，而是让学生先在学案上自主探索，然后小组合作，探讨，交流，小组汇报展示探索方法．这么做，可以锻炼学生合作交流的能力，同时可以提高语言表达能力．最后通过例题2的处理：得出六边形的外角和为360°如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：n边形的外角和等于360°．

本节课的教学重点是：多边形的内角和与多边形的外角和公式．           

二、目标和目标解析

1． 教学目标

（1）了解多边形的内角、外角等概念．

（2）能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．

2． 教学目标解析

（1）学生能正确理解多边形的内角、外角等概念，感悟类比方法的价值．

（2）引导学生能够从三角形的内角和知识出发，通过观察、类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和的公式．通过多种转化方法能深刻体验化归思想，以及分类、数形结合的思想．

三、教学问题诊断分析

对于多边形的内角和定理的推导是通过作对角线探求五边形、六边形的内角和，通过数据的关系得到边数n与分割三角形个数之间的关系，总结出边数与分割三角形个数是n与n-2的关系，从而得到n边形内角和为(n-2)×180°，体现由特殊到一般的转化思想，显得更加简洁，明了，易懂．这里我增加了一个环节是通过从一个顶点出发作对角线，来达到分割为三角形的目的．从边上、五边形内、外的任意一点出发，与顶点连接，来分割三角形．这个环节我没有直接把方法教授给学生，而是让学生先在学案上自主探索，然后小组合作，探讨，交流，小组汇报展示探索方法．这么做，可以锻炼学生合作交流的能力，同时可以提高语言表达能力．

本节课的教学难点：多边形的内角和定理的推导．

四、教学过程设计

1．复习导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？

2．多边形的内角和

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如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？

可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°．

类似地，你能知道五边形、六边形…n边形的内角和是多少度吗？

观察下面的图形，填空：

五边形 六边形

从五边形一个顶点出发可以引 条对角线，它们将五边形分成 个三角形，五边形的内角和等于 ；

从六边形一个顶点出发可以引 条对角线，它们将六边形分成 个三角形，六边形的内角和等于 ；

从n边形一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将n边形分成 个三角形，n边形的内角和等于 ．

n边形的内角和等于（n-2）·180°

从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求．现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？

分法一：如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．

∴五边形的内角和为5×180°-2×180°＝（5-2）×180°=540°．

图1 图2

分法二： 如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5-1）个三角形．

∴五边形的内角和为（5-1）×180°-180°＝（5-2）×180°=540°．

如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n-2）×180°．

3．例题

例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．

分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？

解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°

又∠A＋∠C＝180°

∴∠B＋∠D= 360°-（∠A＋∠C）=180°

这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．

例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？

解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BCD=180°

∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°

∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA

=6×180°

又∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=(6-2)×180°=4×180°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°=360°

这就是说，六边形形的外角和为360°．

如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：

n边形的外角和等于360°．

对此，我们也可以这样来理解．如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．

4．课堂练习

课本24页练习1、2、3题．

5．课堂小结

n边形的内角和是多少度？

n边形的外角和是多少度？

6．布置作业：

教科书习题11．3第1，3，5，7，10题．

五、目标检测设计

1．十边形的内角和为(　　)．

A．1 260° B．1 440°

C．1 620° D．1 800°

【设计意图】考查学生对多边形内角和公式掌握程度，要特别注意对公式的理解记忆．

2．一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是_______度，外角和是__________度．

【设计意图】考查学生能否灵活运用多边形的内角和与外角和公式，要注意审题．

3．一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________．

【设计意图】本题是告诉内角和求边数，主要考查多边形内角和公式的整体运用．

4． 如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于(　　)．

A．140° B．40°

C．260° D．不能确定

【设计意图】考查四边形的内角和与邻补角问题，解题时需要综合考虑，或许有更好的方法．