初中数学解题技巧方法辅导集锦

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重新认识“钟面角”
湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬
日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角（即“钟面角”）问题可能并没有在意．其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧．

一、认识“钟面角”

要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律．

⑴钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．

⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．

⑶时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：①钟表的时针转速为：30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；③秒针的转速为：6°/秒．

有了这些对钟面角的基本认识，我们就可以探究与钟面角有关的问题了．

二、解决与钟面角有关的数学问题

　　⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度

⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．

⑵观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b°．

例1.⑴从3：15到7：45，时针转过        度．

⑵从1：45到2：05，分针转过        度．

分析：⑴从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），∴时针转过的角度为：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）

    或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：4×30+2.5×6=135°．

⑵从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：20×6°=120°．

    或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．

　　⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角

⑴求差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．

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⑵观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b°．
例2．⑴4：00点整，时针、分针的夹角为．

⑵11：40，时针、分针的夹角为．
分析：⑴4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：4×30°=120°．
⑵①作差法：11：40，以0点（12时）为基准
时针转过的角度为：11×30°=350°
分针转过的角度为：40×6°=240°
∴时针、分针的夹角为：350°－240°=110°
②观察法：11：40分针、时针相隔3个大格，∴时针、分针的夹角为：3×30°=110°
　　⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间
方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解．
相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）
②或：分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角
例3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114页第8题）
在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．

　　分析：⑴重合：设3时x分时针、分针重合．3时整，时针、分针的夹角为90°．即在后x分钟，分针要比时针多走90°，分针才能追及时针重合．

从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角．依题意有
     6x－0.5x=90            解得：x≈16
⑵分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°．依题意有
     6x－0.5x=90+180        解得：x≈49
⑶分针与时针成直角：应分两种情况讨论．
①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走90°．依题意有
     6x－0.5x=90+90180        解得：x≈33
②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走270°．依题意有
     6x－0.5x=90+90180        解得：x≈65（不合题意，舍去）
　　⒋钟面角的综合应用
例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？
分析：△OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OA⊥OB时，h=OB，此时△OAB的面积最大．
12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，△OAB的面积第一次达到最大．此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x．依题意有
6x—0.1x=90       解得x=15
即经过15秒后，△OAB的面积第一次达到最大．

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实数的整数部分与小数部分



湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

在二次根式的化简与计算中，常常出现确定一个实数的整数部分与小数部分问题．确定一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，然后再确定其小数部分．
由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
⑴对于正实数，即实数＞0时，整数部分直接取与其最接近的两个整数中最小的正整数，小数部分=原数－整数部分．如实数9.23，在整数9—10之间，则整数部分为9，小数部分为9.23-9=0.23．
⑵对于负实数，即实数＜0时，整数部分则取与其最接近的两个整数中最小的负整数，小数部分=原数－整数部分．如实数-9.23，在整数-10—-9之间，则整数部分为-10，小数部分为-9.23-（-10）=0.77．
例1．已知+1的整数部分为a，小数部分为b，求a、b的值．
解：∵2＜＜3     ∴3＜+1＜4     ∴a=3，b=+1－3=－2
例2．若x、y分别是8－的整数部分与小数部分，求2xy－y2的值．
解：∵3＜＜4   ∴4＜8－＜5   ∴x=4，y=8－－4=4－
         2xy－y2=y（2x－y）=（4－）（4+）=5
例3．已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
解：∵==+1  又2＜＜3  ∴3＜+1＜4

∴a=3，b=+1－3=－2

∴a2+b2=32+（－2）2=18－4
例4．设x=，  a是x的小数部分，b是-x的小数部分．则a3+b3+3ab=．

解：由x==+1   而1＜＜2    ∴2＜+1＜3

∴x的整数部分为2，小数部分a=+1-2=-1

又∵-x=－－1    ∴-3＜－－1＜-2

∴－x的整数部分为－3，小数部分b=－－1―（―3）=2－

∴a+b=1

∴a3+b3+3ab=（a+b）（a2-ab+b2）+3ab= a2+2ab+b2=（a+b）2=1


（发表于《数学辅导报》（九年级）2009年7月第2期）


作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．

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余角、补角纵横谈



湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

余角、补角是几何图形中两个重要的数量关系角概念，与角的位置无关．它们分别与两个特殊角直角、平角联系起来，在分析几何图形角的关系时占有十分重要的地位．借助余角、补角的概念，我们可以探究出它们很多有用的性质．由于余角、补角是数量关系角，而方程所表达的是一种相等的数量关系，因此借助方程求解余角、补角问题是最常用的思想方法．
一、正确理解互余、互补
⑴互余、互补是指两个角的数量关系，而不是三个或更多角的关系．
两个角的和等于90°（直角）时，称这两个角互为余角．而三个或更多角的和也为90°（直角）时，则不能称它们互为余角．
两个角的和等于180°（平角）时，称这两个角互为补角．而三个或更多角的和也为180°（平角）时，则不能称它们互为补角．
⑵余角、补角都是一种“相互”关系．
如∠1、∠2互余，即∠1+∠2=90°，此时∠1叫∠2的余角，而∠2也叫∠1的余角．
同时一个角∠α的余角都可以用90°－∠α来表示．
⑶余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．
余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．因此考虑两个角是否互余、互补，只考虑角的大小，而不需考虑这两个角是否有公共顶点、公共边等关系
二、余角、补角性质的探究
①两角互余，则这两个角必都为锐角；
②两角互补，则这两个角不可能同时为锐角或钝角．（只可能1锐1钝或两个角都为直角）
③一个角的余角必为锐角；
④一个角的补角可能为锐角、直角、钝角．（其中锐角的补角为钝角、钝角的补角为锐角、直角的补角还是直角．）
⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90°
⑥同角或等角的余（补）角相等
三、巧用方程求解余角、补角问题
两点注意：
⑴正确设未知数并用含所设未知数的式子表示出相关的量：一般设某个角为x，根据余角、补角定义，则这个角的余角为90－x，这个角的补角为180－x．
⑵依据已知条件,寻找出正确的相等关系，列出方程．
例．⑴互余且相等的两个角，各是多少度？
⑵已知∠A和∠B互为余角，∠A与∠C互为补角，∠B和∠C的和等于周角的．求∠A+∠B+∠C的度数．
分析：⑴设其中一个角为x，由两角互余，则另一个角为90－x．
又这两角相等，∴x=90－x   解得  x=45
⑵设∠A=x，依题意∠B=90－x，∠C=180－x
由∠B和∠C的和等于周角的，∴（90－x）+（180－x）=×360
解得   x=75    ∴∠B=90－x=15    ∠C=180－x=105
∴∠A+∠B+∠C=75+15+105=185°

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如何确定函数自变量的取值范围



湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题．
初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型：
　　一、函数关系式中自变量的取值范围
在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0．
例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？
⑴y=2x-5； ⑵y=； ⑶y=； ⑷y=； ⑸y=（x-3）0
解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；
⑵为分式形式：分母2x+1≠0　∴x≠－
∴x的取值范围为x≠－；
⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0  ∴x≥
∴x的取值范围为x≥；
⑷既含分母、又含算术平方根，故
∴x≥－2且x≠0
x的取值范围为：x≥－2且x≠0
⑸含0指数，底数x-3≠0  ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．
　　二、实际问题中自变量的取值范围．
　　在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：
　　⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．　　
　　⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．
例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：

	甲种车辆	甲种车辆
载客量（单位：人/辆）	45	30
租金（单位：元）	400	280

设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．
      y=400x+280（6-x）=120x+1680
∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680
⑵自变量x需满足以下两个条件：
  240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240    ∴x≥4

费用不超过2300元：120x+1680≤2300     ∴x≤5
∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5
　　三、几何图形中函数自变量的取值范围
几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．
例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x
①x表示等腰三角形腰长：x≥0
②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y   即2x＞20-2x  ∴x＞5
③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10
∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10


作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数哩天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．

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一次函数的“最值”



湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

一次函数y=kx+b中，x、y均可取一切实数．如果缩小x的取值范围，则其函数值就会出现最大值或最小值．
一次函数的“最值”由一次函数的性质决定，与其k值、自变量的取值范围密切相关：
⑴k＞0时，y随x增大而增大．因此，x取最小值时，y有最小值；x取最大值时，y有最大值．
⑵k＜0时，y随x增大而减小．因此，x取最小值时，y有最大值；x取最大值时，y有最小值．
k值、自变量的取值范围与函数最大值、最小值的对应情况如下表：

x	y=kx+b
	k＞0	k＜0
x≤m	x有最大值，y有最大值 y最大值=km+b	x有最大值，y有最小值 y最小值=km+b
x≥m	x有最小值，y有最小值 y最小值=km+b	x有最小值，y有最大值 y最大值=km+b
m≤x≤n	x=m时（最小），y最小值= km+b； x=n时（最大），y最大值=kn+b	x=m时（最小），y最大值= km+b； x=n时（最大），y最小值=kn+b

求一次函数的最大、最小值，一般都是采用“极端值法”．即用自变量的端点值，根据函数增减性，对应求出函数的端点值（最值）．
请看以下实例．
例1．已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数取值范围是-11≤y≤9．求此函数的解析式．
解析：x的取值范围与函数y的取值范围的对应情况，由k值的符号确定．故应分类讨论．
⑴k＞0时，y随x增大而增大．x=-2时，y=-11；x=6时，y=9．
∴
解得
∴y=x-1
⑵k＜0时， y随x增大而减小．x=-2时，y=9；x=6时，y=-11．
∴
解得
∴y=－x+14
例2．康乐公司在A、B两地分别有同型号的机器17台和15台，现在运往甲地18台、乙地14台．从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表；

	甲地（元/台）（18）	乙地（元/台）（14）
A地（17）	600（x）	500（17-x）
B地（15）	400（18-x）	800（x-3）

⑴如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）关于x（台）的函数解析式；
⑵若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？
解析：⑴y=600x+500（17-x）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13300
⑵由①x≥0；②17-x≥0；③18-x≥0；④x-3≥0  ∴3≤x≤17
∵k=500＞0，∴y随x增大而增大，x取最小值时，y有最小值．
∴x=3时，y最小值=500×3+13300=14800（元）
故该公司完成以上调运方案至少需14800元运费．调运方案为：由A地运往甲地3台，运往乙地14台；由B地运往甲地15台．


作者简介：宋毓彬，男，44岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《中学数学》、《中学生数学》、《数理天地》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章70多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．

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五种辅助线助你证全等



湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．

一、截长补短


一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．


例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．

　　　　　　　　　　　　　　


分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．


证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．


∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°


∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．


显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°


在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC


∴△DOC≌△FOC， CF=CD


∴AC=AF+CF=AE+CD．

二、中线倍长


三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．


例2．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（
）．


分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．

　　　　　　　　　　　　　　　　


解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．


延长AD至E，使DE = AD=x．


∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD


∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB


∴BE=AC=5


∵在△ABE中   AB-BE＜AE＜AB+BE


即7-5＜2x＜7+5     ∴1＜x＜6

三、作平行线


当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．


例3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


分析：要证DF=EF，必须借助三角形全等．而现有图形中没有全等三角形．由等腰三角形条件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．则△DBH为等腰三角形．


证明：作DH∥AE交BC于H．


∴∠DHB=∠ACB，


∵AB=AC，∴∠B=∠ACB


∴∠DHB=∠B，DH=BD


∵CE=BD    ∴DH= CE


又DH∥AE，∠HDF=∠E  


∠DFH=∠EFC（对顶角）


∴△ DFH≌△EFC（AAS）
∴DF=EF

四、补全图形


在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．


例4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　


分析：题设中只有一条已知线段AD，且为直角边，而要求的BE为斜边．要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形．


证明：延长AD、BC相交于F．


由BD为∠ABC的平分线，BD⊥AF．


易证△ADB≌△FDB   ∴FD= AD=a  AF=2a     ∠F=∠BAD     


又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°


∴∠ABD=∠FAC   


∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠CBE


∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC


∴△ACF≌△BCE（ASA）
∴BE=AF=2a

五、利用角的平分线对称构造全等


角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．


例5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD．

　　　　　　　　　　　　　　　　


分析：由角的平分线条件，在BC上截取BE=BA，可构造△ABD≌△EBD，从而AD=DE．则只要证明DE=CD．


证明：在BC上截取BE=BA，连接DE．


由BD平分∠ABC，易证△ABD≌△EBD


∴AD=DE    ∠A=∠BED


又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°


∴∠DEC=∠C，∴DE=CD


∴AD=CD