新版八年级数学下册《16.3二次根式的加减》教材分析重难点课标解读

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备课资料 《16.3二次根式的加减》教材分析（第1课时）
湖北省咸宁市温泉中学　廖文涛
二次根式的加减是八年级下册第16章第三节的内容，它是实数的一种基本运算．从教材编排上看共需两个课时，这是第一课时．本课是在二次根式性质和乘除的基础上，进一步学习二次根式的加减运算．




探究二次根式的加减运算方法，教材编写者通过设置一个实际问题的探究来完成的．实际问题引出二次根式的加法运算，使学生感到研究二次根式的加减运算，既是数学内部的需要，也是解决实际问题的需要, 解决这个实际问题可以有不同的方法，除教科书提供的方法外，还可以先分别估计两个正方形的边长，再把它们的和与木板的长比较． 教科书所采用的先求和、化简，然后估计大小的方法是为了引出二次根式的加减运算． 次根式的加减运算方法归纳与总结，要让学生类比整式的加减先用自己的语言尝试表述，最后教师再给予规范．同时要求学生理解次根式的加减运算方法的合理性，并通过一定量的练习加以巩固．



教科书在总结二次根式的加减运算方法后，配备有两个二次根式加减运算的例题． 例1是进行二次根式的加减运算，例2是二次根式的加减混合运算． 在学习这两个例题的过程，要注意让学生体会有理数的运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性等．

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二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的，实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．与分式的运算类似，二次根式的乘除运算比加减运算简单． 乘除运算可直接利用法则（≥0，≥0），（≥0，＞0）和性质（≥0），（≥0），而加减运算则要先化简，再合并“同类项”, 二次根式加减运算的基本依据是二次根式的性质和分配律． 二次根式的加减运算是二次根式混合运算的条件，是初中阶段有关实数运算的一次总结性，进步性综合学习．

本节课的教学重点：应用分配律进行二次根式的加减运算．

本节课的教学难点：找出能合并的最简二次根式（同类二次根式）．

根据以上分析，16．3二次根式的加减（1）建议用一个课时完成．

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《16.3二次根式的加减》重难点突破（第1课时）



湖北省咸宁市温泉中学　廖文涛

（一）找出能合并的最简二次根式（同类二次根式）

突破建议

在二次根式的加减运算中，最后是合并被开方数相同的二次根式(合并同类二次根式)． 但几个二次根式是否可以合并，这一判断没有整式同类项的判断直接． 前者往往需要把每一个二次根式化成最简二次根式，这会造成学生学习的困难． 所以在教学教师引导学生进行类比时，指向一定要明确，由浅入深，总结得出“一化简”、“二判断”、“三合并”的步骤．

例1　下列二次根式中，能够与合并的是（   ）

A．    B．     C．      D．

分析：首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式，然后再判断．因为，，，，，所以可以与合并．故选B．

例2　（1）如何化简+；（2）．

解析：先将算式中各因式化为最简二次根式，再类比合并同类项，将同类二次根式的系数（二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式或因数，它包含前面的符号；当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数）相加减，根指数与被开方数不变：（1）；（2）．总结得出二次根式加减运算的方法：“先化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并．”

（二）应用分配律进行二次根式的加减运算

突破建议

二次根式加减运算的基础是先把二次根式化成最简二次根式，运算方法类似整式加减法，即将被开方数相同的二次根式进行合并，合并的依据是分配律．对于不能合并的二次根式，一定不要遗漏，要抄下来，他们也是结果的一部分．

例1　计算：（1）；            （2）；

（3）；          （4）．

解析：（1）；

（2）；

（3）；

（4） ．

（教学时要注重运算步骤和算理，避免出现下列常见错误：；）

例2　化简：．

解析：原式=．

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《16.3二次根式的加减》教材分析（第2课时）
湖北省咸宁市温泉中学　廖文涛
二次根式的混合运算是本章所学内容的综合运用，运算过程中用到乘法分配律，还需用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，教学中要注意让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系.



教科书中例3是二次根式的加减乘除混合运算，计算过程中都用到分配律. 例4也是二次根式的混合运算，在运算过程中用到多项式的乘法法则和整式的乘法公式. 教学中，要注意让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系，这一点教科书在旁注中给出了提示.



本节课的教学重点是二次根式的加减乘除混合运算.



本节课的教学难点：二次根式运算中，灵活运用多项式乘法法则及乘法公式.



根据以上分析，16.3二次根式的加减（2）建议用一个课时完成．

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《16.3二次根式的加减》重难点突破（第2课时）



湖北省咸宁市温泉中学　廖文涛

（一）二次根式的加减乘除混合运算 ．

突破建议

在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，类比整式混合运算从单项式与多项式相乘、多项式除以单项式、多项式与多项式相乘到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式．

例1　计算：（1） ；（2）；

（3）

解析：（1）利用多项式乘以单项式法则计算，运算过程运用了乘法的分配率，（2）利用多项式除以单项式法则计算，运算过程也运用了乘法的分配率；（3）根据二次根式混合运算顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式 ．

（1）；

（2）；

（3）原式= ．

例2　计算：（1） ；       （2）．

解析：类比多项式乘以多项式，（1）运用多项式乘法法则,(2)运用了乘法公式 ．

（1）原式=；

（2）原式=．

(二)二次根式运算中，灵活运用多项式乘法法则及乘法公式 ．

突破建议

在进行二次根式的混合运算时，应注意：（1）二次根式的混合运算顺序和实数的混合运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的，先算括号的（或者先去括号）；（2）二次根式运算结果要简化；（3）二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等方法简化计算 ．

例3　计算：（1）；（2） ．

分析：（1）先化简，再用乘法公式计算；（2）先分解因式和约分，再进行化简、计算 ．

解：（1）原式=；

（2）原式=

例4　计算：（1）；

（2）；

（3） ．

分析：根据式子的特点，灵活运用乘法公式或逆用乘法公式求解 ．

解：（1）原式= ．

（2）原式= ．

（3）原式= ．