谈谈“好的数学问题”的标准

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在数学命题中，关键是怎样设计出“好的数学问题”，下面举一例来说明。
    例：张大叔准备搭建几个大棚用来种植香瓜。（如图1）每个大棚长20米，横截面是一个半径2米的半圆。请你帮他算一算：
    （1）搭建大棚时每0.5米要用一根竹条支撑，那么搭建这样一个大棚共需要多少根竹条。
    （2）覆盖在一个这样的大棚上的塑料薄膜大约要多少平方米？（含两端的横截面）
    （3）这样的一个大棚内的空间大约有多大？
    （4）像这样一个大棚可种植香瓜的面积是多少平方米？
    （5）预测一下，如果每平方米收香瓜15千克，每千克售价3元，那么一个大棚种植的香瓜可卖多少元？
    在一个主题情境的统领下，精心设计一些有坡度、有联系的题组练习，沟通了知识间的联系，有利于扩展学生原有认知结构，突出了综合运用，培养了学生解决实际问题的能力。可以看出，上述习题具有以下特点：
    1．联系实际生活，培养学生解决实际问题的能力。
    以某一主题情境由浅入深安排的题组练习，使学生感到生活中处处有数学，学好数学知识可以解决许多生活中的实际问题，有利于激发学生的学习兴趣，使学生体验到数学知识的广泛应用性。
    2．注意知识的综合运用，积极训练学生的数学思维。
    将各部分有关联的知识融为一体，使学生能够从整体上把握所学的数学知识，有利于强调和突出知识的综合运用，培养学生思维的灵活性和广阔性。以上这道题的设计，就巧妙地将侧面积、表面积、容积、面积等概念融合在一起，并且要通过适当的“转化”思想才可以解决问题。学生在分析这些问题时，只有通过邻近知识之间的横向比较，从而分清所求实际问题究竟是运用什么数学知识，才能达到灵活运用知识的目的。这样的习题设计，进一步引导学生加深了对各部分知识的理解程度，同中求异，异中求同，对比分析，将学生的思维逐步引向深入。
    3．体现训练的层次性，更好地促进学生发展。
    以某一主题情境由浅入深安排的题组练习，可以有效运用“一题多变、一题多用、一题多解”的策略，充分发挥了习题的多种发展功能。使不同层次的学生都能够体验到学习的乐趣，有效激发了学生学习的热情和积极性，更好地让全体学生都得到不同程度的发展。
    总之，习题设计要有利于引导学生积极参与调查、测量、计算等各项实践活动，经历解决问题的过程，要注意应用所学的知识和方法解决实际问题，加强对知识的理解，形成必要的技能，获得用数学知识解决问题的思考方法，了解数学与生活的广泛联系，增强对数学学习的兴趣。以上这道题，就给我们提供了一个范例。那么，“好的数学问题”的标准是什么呢？
    笔者结合郑毓信教授所著的《数学思维与小学数学》一书的学习，认为“好的数学问题”的标准一般有以下特点：

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1.具有较强的探索性。与学生实际水平相适应的，是大多数学生力所能及的。
    2.具有一定的启示意义。好的问题应当有利于学生掌握相关的数学知识和思想方法。即以思想方法的分析带动具体数学知识的教学，并真正促进学生对于数学基础知识和基本技能的掌握。
    3.具有多种不同的解法，甚至多种可能的答案。即一个好的问题应当具有较大的“开放性”，从而更加有利于学生创新精神的培养。
    4.具有一定的发展余地。即好的问题可以引出新的问题和进一步的思考。
    5.具有一定的现实意义。与学生的实际生活有着直接的联系，从而使学生感到数学是一种有意义的活动，也即能够更为清楚地认识数学的价值。
    6.一个好的问题应鼓励、促进同学之间的合作。特别是，能够容忍不同意见并善于欣赏别人，从而就能通过积极的互动不断取得新的进步。
    7.问题的表述应当简单易懂。特别注意从学生的角度去进行分析，即如应当融入学生的生活语言、他们所熟悉的生活现象和事物等。
    当然，以上所列举的7条标准显然不可能在每一个问题中都得到充分体现，但这是我们数学教师在命题中应当把握的具体的努力方向。