中学数学教学论文构造法在中学数学中的应用

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初中数学教学论文构造法在中学数学中的应用
杨佳镝
摘要：构造法是解决数学问题的一种重要方法，往往能达到化难为易的效果.构造法是一种创造性思维活动，是培养学生创新思维的有效途径,在中学数学数学中有着广泛的应用.本文根据构造法的形式，分别从构造函数，构造方程，构造图形，构造向量，构造数列和构造复数法等六个方面来说明构造法在中学数学中的应用.
关键词：构造法  发展  中学  应用  意义
一、 引言
构造法可以说是在数学产生之时便存在了，直至19世纪末直觉主义学派基于数学可信性的考虑，提出了“存在必须是被构造”的著名观点，首次提出了“构造法”这个术语并推动了构造法的发展.构造法大致经历了三个阶段,第一阶段是直觉数学阶段；第二阶段是算法数学阶段，以马尔科夫的算法数学为代表；第三阶段是“现代构造数学”阶段，以1867年美国数学家比肖泊发表的《构造性分析》一书为开端.
伴随着历史的发展，古今中外有很多著名的数学家都曾经用构造法成功的解决过数学上的难题，例如欧几里得用构造法巧妙地证明了“素数的个数是无穷的”，欧拉通过构造数学模型成功解决了著名的哥尼斯保七桥问题，又如我国《九章算术》中的开方术等等.时至今日，构造法及其应用在数学界仍有着极其重要的地位与作用.
构造法是一种创造性的思维方法，它的实质就是根据题目的结构特征和内在规律，把原问题转化为与之等价的比较简单或易于求解的新问题，使问题柳暗花明、豁然开朗.灵活的运用构造法需要有丰富的知识、较强的观察能力和综合运用能力.基于构造法的这种性质，它对培养学生观察问题，分析问题，解决问题的能力有着重要的作用，更能培养学生的创造性思维，开拓思路，加深学生对数学的理解，体验数学美，激发学生的数学学习兴趣，因此构造法在中学数学中有着至关重要的地位与作用.
构造法是一种灵活的思维方法，没有固定的模式和方法，在中学数学中常用的几种构造法有构造函数法，构造方程法，构造图形法，构造数列法，构造向量法，构造复数法等.
二、 常用的构造法
1、构造函数法
函数是中学数学的主体内容，可以说是贯穿整个中学时代，函数与中学数学的很多内容都密切相关，如代数式、方程、不等式和数列等.
构造函数法是中学数学中常用的一种思想方法，它的实质就是根据问题的本质特点构造一种新的辅助函数，从而使问题简单化，再根据函数的性质加以解决.这种思想方法可以训练学生的思维，增强学生的思维灵活性、开拓性、创造性和综合运用能力.
在中学数学的学习中，我们常常会遇到一些看似复杂，无从下手的难题，此时我们若能看透问题本质，根据题设条件巧妙地构造一个新的函数，常能得到“柳暗花明”“豁然开朗”的效果.
应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题.
例1：试求证   
分析：此题用常规的证明不等式的方法来证明会很困难，我们观察发现不等式左右两边式子的形式相同，从而我们可以构造一个一般的函数形式： ，再利用函数的单调性来证明.
解：构造函数 = ， .

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则 ，
即函数 在定义域内单调递增,
又因为 ，
所以
故
从而命题得证.
2、构造方程法
方程是数学解题中的一个重要工具，是联系已知量和未知量的桥梁，是整个数学知识体系中必不可少的基石.构造方程法是多种构造法中不可不提及的一种重要的思想方法，它是中学数学中的基本方法之一，简单来说，构造方程法就是在解题时根据问题的结构特征和数量关系，找出相等关系，再运用数学符号将这种相等关系转化为方程,使问题中的隐含关系明朗化，再通过解方程使问题迅速获解.灵活的运用构造方程法的关键是要善于观察、善于发现，认真分析，不断提高对数字及数量关系的敏感度.在运用构造方程法解题时只要能成功建构符合题意的方程或方程组，那么离成功解决问题就只有一步更甚者是半步之遥了.构造方程法在中学数学中的应用十分广泛，用法非常灵活，我们在此仅举个别具有代表性的例子加以说明.
例2：试问是否存在周长为 ，面积为整数的直角三角形？若不存在，请给出证明；若存在，请证明并说明有几个.
分析：题目是关于三角形的问题，有着明显的数量关系，我们可以试着从方程的角度去解决问题.
解：这样的直角三角形有且只有一个.
设这个直角三角形的两直角边分别为  ，斜边为 ，面积为 ，
则有 ，得到
显而易见， 是方程 的两个实根，
因此，   解得
又因为 ，所以
因为 是整数，所以 是整数.
又由 知  或  
当   时，  ，方程组 无解，所以 .
当 时， ，有 ，解得 ， ，
综上，这样的直角三角形有且只有一个.
例3：已知 ，求证
分析：这道题用一般的方法，通过放缩也可以解决，但是稍显繁琐，如果能够构造方程来证明，则一目了然.
证明： 等价于
显然这个一元二次方程有实根
则有 ，即
3、构造图形法
恩格斯曾说“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”.“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系.我国著名数学家华罗庚教授也曾说过：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非.”当我们解决较为抽象的代数问题时，可以通过构造图形将它合理转化为几何问题，这样可以增强问题的直观性，使解答事半功倍.构造图形法是指根据题设条件中的数量关系的几何意义，启发思维，构造某种图形，使题设中的数量关系以直观、形象的方式在图形中得到体现，进而利用几何性质解决问题.若想将构造图形法运用自如，首先我们要熟悉、掌握一些基本的几何构图，然后调整思维视角，观察条件的本质特点再加以合理的联想.巧用构造图形法不仅可以使代数与几何知识相互渗透，还可以培养学生分析、解决问题的能力，综合运用能力，探究能力和建模能力，而且对学生创造性思维的开发与培养也大有裨益，使学生在数学学习中获益匪浅.

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例4：试求 的最小值.
分析：这道题如果用一般方法解决，很难找到切入点.我们观察这道“难题”，根据式子的特点构造直角三角形，将问题简化.  
解：如图 ，作 且 ,  ,  为 上一动点.
设 ,则 ， .若使 的值最小，只需使得 的值最小即可.如图 ,作 关于 的对称点 ，连接 交 于 .
易得 ,从而有 ，解得 ，则解得 的最小值为 ，即 的最小值为 .
4、构造数列法
等差数列、等比数列是中学数学的主要内容之一，不仅数列本身可以自成题目，有时我们还可以运用数列解决看似非数列的问题，这种方法即是构造数列法.构造数列法是指在解题时，通过联想，将题设条件和结论联系起来，恰当地构造一个能帮助解决问题的辅助数列，并利用这个数列的相关性质达到解题的目的.解题的过程包含着多次思维的转化过程，在用从条件到结论的定向性直接思维解题时遇到困难，如果我们分析问题所提供的信息知道它的本质结构与数列有关，就可以考虑用构造数列法加以解决，往往能达到意想不到的效果.
例5：求方程组 的实数解
分析：本题若用解方程的方法按部就班的来解会很麻烦，我们我们通过构造数列来求解方程.
解：因为 ，所以有 ， ， 成等差数列.
设此等差数列公差为 ，则有 ，
将上式代人 得到
即 ，求得
当 时， ， ；
当 时， ，
故原方程组的解为 或 .
例6：求证
分析：我们可以将等式左边看做是一个数列的前 项和，再运用倒序相加法加以解决.
解：设   ，

    ，
两项相加得，


所以 ，即问题得证.
5、构造向量法
向量是高中数学的必修内容之一，它融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是联系代数与几何的桥梁和纽带，是中学数学知识的交汇点，是联系众多知识的媒介.利用向量这一工具解决函数、三角函数、不等式、解析几何、立体几何等类型的题目，可以使问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究，使一些复杂的问题简单化，从而能够简洁、巧妙地解决问题.构造向量法是一种新颖、独特的思维方法，灵活自如地运用向量法需要我们熟悉掌握向量的相关知识，对数学知识有全面系统的掌握与认识，了解什么样的问题可以用构造向量法来解决.构造向量法为中学数学增添了新的活力，为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角，是高层次思维的反映.应用构造法解题可以发展学生思维，提高学生综合运用知识的能力，更能挖掘学生的潜力.
例7：如图，在 中，点 是 中点， ,  与 的交点是 ,求 的值.
分析：在中学数学中我们常常会用平面向量的知识来解决关于三角形的问题，从而使问题简单化，易于理解                     
解：设 ,  
则 ，

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因为 、 、 和 、 、 分别共线，
所以存在实数 和 ，使得
，
则
又因为
根据平面向量基本定理，有 ，解得
所以 ，即
例8：如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， ,  ,  底面 .
证明 ；
若 ,求二面角 的余弦值.

分析：立体几何的问题我们用一般方法可以解决，但是有时可能比较麻烦甚至是无法解决，如果我们能建立合适的空间直角坐标系，用向量的方法加以解决，往往易于理解，思路清晰.
解： 因为 , ,
由余弦定理得 .从而
故
又 底面 ,可得
所以 平面 .因此 .
如右图，以 为坐标原点， 的长为单位长， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ，则  , , , ,   
设平面 的法向量为 ，则
即 ，因此可令
设平面 的法向量为 ，则 ，可取
则 ，即二面角 的余弦值为 .
6、构造复数法
复数由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等数学家的工作，复数的概念逐步为大家所接受.复数是中学数学的重要内容之一，它有很多表示法，如向量表示、三角表示、指数表示等，它的多种表现形式决定了复数应用的广泛性，复数沟通了数学的各个分支.
复数在中学数学中与其他内容有着广泛而密切的联系.复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题可以通过观察、联想转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂，但常常会使问题简单化，利用复数的表示形式及其性质可以很容易的解决，正所谓是“退一步开阔天空”.构造复数法是一种独特的数学方法，它具有简洁、易懂、令人耳目一新的特点.
例9：求证 ，其中 ，
分析：这是一道表面看起来很复杂的题，乍看之下仿佛没有一点头绪，只要我们认真观察不难发现，根号里的式子都是两个数的平方和，令我们联想到复数的模.

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证明：令 ， ， ，
则 ， ， ，
因为 ，且
所以  
即
三、        结束语
   波利亚曾说：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去接近堡垒”.这说明解题是一个不断化未知为已知，再利用已有知识解决问题的过程，而构造法是多种解题方法中富有创造性的方法,具有较强的灵活性和技巧性.构造法体现了数学中发现、类比、化归的思想，渗透着猜想、探索、特殊化等数学方法.构造法重在“构造”，而若想熟练、巧妙的构造，则需要学生熟悉整个数学体系，熟练掌握基础知识，具有敏锐的观察力，创造性的想象力，活跃的灵感和综合运用的的能力，在解题过程中不墨守成规,大胆去探求解题的最佳途径.构造法解题可以提高学生分析问题，解决问题的能力，开拓学生求异思维能力，使学生的思维由单一型转化为多角度，培养学生的创新思维，使学生获得的能力不断“内化”到他们的认知结构中，使能力在他们的行为中得到充分的展现.构造法作为一种重要的思想方法在中学数学中有着重要的地位与作用，运用构造法解题常能找到很多构思巧妙，独特创新，简洁有效的解题方法，还可以从中欣赏到数学之美，感受解题之乐.构造法为数学带来了活力，增添了色彩，注入了生命.