学生的算法改变了教师的教法

与你同行

山东淄博淄川松龄小学 马凤琴 郗光忠



进入新课程以来，如何在计算课的教学中，使学生较好地理解算理，掌握算法，实现“为解决问题而能快捷地选择适当的算法”，一直是我在教学中所探求的。在最近的一堂“两位数乘两位数”的计算课上，借“线”搭“桥”，总算寻求到了一点突破口。

一、案例： “两位数乘两位数”（人教版现行小学数学三年级下册）

学生由情境图提出问题，列出算式12×24后，在自主探求算法的基础上：

与你同行

（一）、展示算法
师：请同学们汇报一下，12×24你是怎么算的？
生：踊跃举手，争相发言。在汇报中出现了以下三种算法：


（二）、交流算法

师：会用这样的竖式计算的请举手。（50人中有3位同学举手）你能说一说是怎样学会的吗？（学生已有乘法竖式计算基础：一位数乘两位数）
生4：前几天，俺妈妈教我的。（另外两位也点头示意，是家长教会的。）
师:其他同学能看懂吗？
除了家长教会的三位同学脸上表露出得意之情外，其他同学都悄然无声：有的摇头；有的皱眉；有的脸上毫无表情；有的欲说又止；……。看得出，同学们虽然会一位数乘两位数的笔算乘法，但一时对两位数乘两位数中的“二次乘”，也就是用第一个因数乘第二个因数的十位数字，还是一个盲点，一时还不清楚它的来龙去脉，甚至它的出现还干扰了对一位数乘两位数竖式的理解，因而成为学生一时看不懂的原因。
师：是不是有点看不太懂。
生：齐说：是！（终于盼到老师说这句话了，有台阶下了。）
师：一时看不懂没关系，能提出看不懂的问题吗？
生1：站起来迫不及待地说：这个竖式是怎么算出来的呢？比如，48是怎么算出来的？24是怎么算出来的？（有点不服气，说话的口气中带着强硬）
生2：我知道48是2×24算出来的，我看不懂24是怎么算出来的，又为什么写在48的下面，而且还那样错着牙写（指上面竖式中的48和24）。
生3：算的时候先算什么？再算什么？
生4：48和24重位觉得很乱，有点看不懂？
师：还有吗？
生：没有举手的。
（三）、二次探究
1、归结疑问
课上归结疑惑的时机到了。
师：我们把几个问题概括起来：（一边说，一边板书如下）
问题一：算的顺序是什么；问题二：怎么算；问题三：重位的顺序。
2、激发学生二次探究
师：现在对于这三个问题，是让王麒烨（写竖式的那位同学）讲给大家听，还是我们大家自己先去想一想？（师有意激发学生自主探究欲望）
生：自己想。
师：好吧！在探究之前，我给你们点建议，请你们观察黑板上的三种算法，看看王麒烨的竖式法和陈永灿的分解法有没有联系？有什么联系？会不会对你们解决的三个问题有帮助。
出自这样的设计，我是想用陈永灿的分解法去突破王麒烨竖式法的“算理和算法”的第一步，不知我的预设是不是符合学生们的思路，学生们又能不能发现陈永灿的分解法和王麒烨的竖式法之间的联系，我的心里没底，多少有点紧张。
因为有了教师的引引，增强了学生探究的针对性。
生：此时，都瞪大了眼睛，观察黑板上的三种方法：有的拿起笔在写、在算；有的仰着头在思索，不一会，就有学生断断续续举起了小手。
3、展示二次探究结果，出现“一连三线”突破算法
生1：我找到了，王麒烨的竖式法和陈永灿的分解法是有联系的。
师：有什么联系，你能到黑板上给大家讲一下吗？
我把这位学生请上来的另一个目的，就是期待着这位学生在讲的同时，能用线把对应的式子连起来，而且是讲一步，连起一条线，步步为营，一步一个击破，便于其他学生观察、理解分解法和竖式法之间的联系，便于理解竖式乘法的算理与算法。如果这位学生没有连线的意识，我可以提醒这位学生连线。我随手准备好了粉笔。
生1:快步走到了黑板前，没说话，拿起粉笔就在竖式法和分解法之间画了三条线成如下图：

在黑板上，生1自信的这一画一连，不仅用不着我去提醒，而且一下画出了三条线。生1自信的这一画一连，使课堂上即刻静的出奇，即刻把我和台下所有同学的目光都聚焦在了“三线”图上。顿时，我的心里感到异常的敞亮，异常的兴奋。黑板上生1的一连“三线”图，这不就是我一直在突破“两位数乘两位数”中寻求的东西吗？这不就是我一直要教给学生的三条算理算法吗？而我的课前预设却是讲一步连出一条线，讲三步才能连出这三条线。可我的学生一次连“三线”，比我的“三步一计”设计好多了，比我“步步为营”的思路清晰多了，比我“一部一曲”的过程省时又省力。我看着黑板上的一连“三线”图，自责与懊悔悠然而生，“课前我怎么没有想到这一层呢？……。”在高兴与懊悔的瞬间，我从学生的表情上，凭我多年的课堂教学经验判断，继续沿着学生 “一计三步”的“三线”图展开教学一定比我的课前预设要好。我即刻调整思路，决定放弃课前预设，沿着这位学生的思路走下去。
生1：开始了以下讲述：手先指着竖式上的48，沿线滑动到分解法的同时，嘴里一边说，这个48就是分解法中的2×24=48；手又移到24上，做着和上面同样的动作，嘴里一边说，这个24，它实际上是240（这位同学说的同时，在24的后边添上一个0），就是分解法中的10×24=240；手又移到288上，又一次沿线滑动到分解法的同时，嘴里一边说，这个288，就是把48+240和起来的数，和分解法中的48+240=288是一样的意思。
生1绘声绘色的讲述，再一次聚焦了台下同学们的目光，征服了台下的每一个同学，就是在前面那位有点不服气、说话口气中带些强硬的同学嘴里嘟囔道：这也没有什么“难”得吗？

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4、趁热打铁再次突破“二次乘”法

师：就像这位学生说的一样，竖式的计算也没什么“难”的！那你们能进一步说出在两种方法的计算过程中，都有什么计算特点吗？

目的是突破“二次乘”的算法，体会竖式不但是用分解数的方法算，还能用口诀算的简捷性。

生：看着“三线”图中的算式，沉思一会。

生1：我觉得他们都是先算2×24，再算10×24，最后算48＋240（是连线帮助了这位学生较快地找到了计算的顺序）

生2：我觉得分解法中的48和竖式中的48算法是一样的，都是用口诀，二四得八，二二得四这样的顺序算的。（有一位数乘两位数的基础，容易想到怎样算）

师：那240呢？

生2：摸了摸头，有点不好意思。

师：是不是有点拿不准，不好意思说。

生2：点头默许。

师：谁来帮帮这位同学。

生3：走到讲台上。（一位优等生）很自信的说：分解法中的240是口算出来的，想24个十是多少；而竖式法中的240，先不看那个0，是用口诀，一四得四，一二得二算出来，再在后面添上那个0。算法是不一样的。

师：为什么4要坐在十位上，2要坐在百位上呢？

生3：因为12中的这个1是表示1个十，10乘4得4个十。（师在竖式的一边板书，10×4=40）所以4要坐在十位上；一二得二，是表示10乘20，是20个十，也就是2个百，所以2要坐在百位上。（师板书：10×20=20个十=2个百）

师：同学们，对冲位问题还有疑问吗？

生：脸上洋溢着微笑，告诉老师疑问已经化解。

（四）、二次体验 巩固算法

师：大家想不想再用竖式算一次，体会一下它的优点。

生：想。

学生们都愉悦地拿起笔，在练习本上很快地算了一次。

师：同学们，12×24=288的三种算法，你们现在更喜欢哪一种算法？

生：齐答，竖式。

师：理由是什么？

生1:竖式法可以用口诀算，觉得比较容易。我还发现240后边的0不用写，这样更简单。

生2：我觉得既不麻烦又准确，只要一位一位地有顺序的乘就行。

师：同学们，我觉得在计算中只去乘还不够，还应该注意些什么？

生1：我认为应该注意不要冲错位。比如，用1去乘24时，一四得四，这个4要重着十位上的数字写，不要重着个位写。一二得二，这个2要冲着百位写，不要冲着十位写。

师：说的好，计算时要注意用12个位上的2去乘24的每一位得出来的数分别坐在什么位上，用12十位上的1去乘24的每一位得出来的数分别坐在什么位上。请同学们先看一看竖式，再默默想一想，12×24的竖式是怎么算出来的。

在回顾中结束了本环节的教学，我也在从未有过的“轻松“中圆了我多年想“突破算理”的梦。

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二、课后反思---是学生的连线改变了教师的教法

在过去几次教学本环节时，我都感觉“费力”、“费时”，精神特别累；感觉学生理解起来也特别“费劲”。也许正因为学生理解起来特别的“费劲”，才激发了我探究的欲望，才孕育了今天学生课堂上的突破之举；也许正是探求已久未果，当课堂上出自学生的一连“三线”图一出现，即刻才有了“众里寻他千百度吧，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”的喜悦，才有了即刻舍弃课前预设，沿着学生思路走的决断；才有了学生的理解起来“不怎么费劲”、也没有什么“难”得吗。课堂上的这一切都是因“三线”图一出现来，是学生的连线改变教师的预案，是学生的算法改变了教师的教法。

下课了，愉悦未尽的心情促使我又一次研读了教材。教材提供的拆数法是学生在学习中最容易出现的多种算法中的一种，而受一位数乘两位数的认知影响，竖式法在学生的学习过程中可能出现，也可能不出现。但不管竖式法出现或者不出现，都是以拆数法为基本法去理解竖式法的“算理和算法”的。这就证明拆数法和竖式法之间存在着必然的联系，而这种必然的联系，因竖式出现的可能性的存在，这在教材上是显现不出来的，这也就是暗藏的那根线，这也就是教师在处理本环节教学中，要突破算理和算法依据的那根线。正因为这根线看不见，摸不着，才出现了教师“讲得多”、“费劲”；学生理解“难”的现象。一旦当两种方法都出现在课堂上时，如何把这根暗藏的线，变为让学生能看得见，摸的着的东西呢？几次研读教材中的老问题又一次跳了出来。可是，这一次我却使有备而来。本案例中那位学生的一连“三线”图，一下子把 “暗线” 变成了“明线”，一下子给予了完整的诠释，并且一步到位，让原本静止的、独立的分解法和竖式法之间变得有了动感、有了联系，让抽象的知识变得直观起来。

读过了教材，我感谢课本的编者，给我们埋下了构建知识结构的暗线。回顾本环节的教学，我感谢我的学生，把 “暗线” 变成了“明线”， 帮我解开了困绕已久的困惑。然而，静思想来，我最应该感谢新课改，因为它为我们教师的教与学生的学搭建了一个创造的平台。