获奖课 北师大数学八年级上册《数怎么又不够用了》教学设计及说明

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欣赏 《数怎么又不够用了》教学设计
广东省佛山市华英学校　王　进
                  教材：北师大数学八年级上册第二章《实数》第一节第一课时

一、教学内容分析：

《数怎么又不够用了》是初中阶段的第二次数系扩充的入门课，在七年级学生经历了数系的第一次扩充——在小学的非负有理数知识基础上引进负数，让学生对数的了解扩充到有理数范围。这一章通过引入无理数，将有理数扩充到实数范围内，是初中阶段第二次数系的扩张。本节课也是这第二次数系扩充的最关键的一步——无理数的引入。这一节课主要让学生产生认知冲突，感受到引入新数的必要性，认识到生活中大量存在这样的新数。



二、教学目标：

1．技能目标：知道存在非有理数的数或举出一些例证，能说明现阶段学习的这类数满足的基本特征关系；初步阐明非有理数的数与有理数之间的关系（能否表示为整数与分数及其说明的方法）。

2．能力目标：能把对有理数的理解（如分类、表示、运算及合理性等）应用到研究新的数的过程中；能通过观察、质疑、实验、归纳和猜想得到存在非有理数的数，并能用分类、归纳或形式化证明的方法清晰的说明。

3．情态价值目标：进一步养成求知意识并坚定对归纳成真的信念。

三、教学重点：

1. 教学目标中的知识目标和能力目标；

2. 创设研究“满足的数不是整数和分数即不是有理数”的情境。

四、教学难点：

1. 用有理数的分类验证的方法；2. 分数的再分类； 3. 说明分数都不满足。

五、教学准备：

①   学生准备：准备两个边长为1的正方形，双面胶以及一把小剪刀。   

② 教师准备：教学设计和教案，多媒体课件，教学过程中与预设生成有别的预案。



六、教法、学法：

①  教学方法

师生互动探究式教学，遵循以学生为主体、教师为主导、发展为主旨的现代教育原则，结合八年级学生的心理特征和已有的认知水平开展教学。学生通过熟悉的现实生活情景，发现现有的有理数是不够用的，发现现有的有理数之外还存在非有理数，引发认知冲突，提出需要学习新的知识．引导学生分类讨论，形成师生与生生互动，体现了数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

②  学法指导

学法突出问题引导下的自主探索法：引导学生自己操作并提出问题，通过对新知识的归类不成功而产生对新知识研究的意识和研究的思路与方法，主动探索并建构新知识，即感受并验证非有理数的存在性及其存在的普遍性，也能说明这样的数存在的基本依据和过程。

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七、教学流程框图：

教学内容	教师活动	学生活动或可能反映	教学评价
活动一 ： 通过动手，让学生感受无理数产生的实际背景	让学生将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。 教师补充要求： 1．所剪的块数尽可能少； 2．不允许有多余的部分，所得正方形不允许有空缺。 教师给学生一定的时间讨论合作，在活动中观察学生是否乐意与他人合作交流，是否主动探究，并且给于及时的肯定和鼓励。	1．学生尽可能自己剪拼（在有困难的情况下也可以和同学合作），完成拼图。 2．请同学代表来展示自己的作品，并用语言尽可能表达清楚是如何得到大正方形的。 学生的常有拼图： （一） （二）	运用该背景来引入主要基于以下几点思考： 1．可操作性： 课前让学生准备两个边长为1的小正方形纸片，长度单位学生自定，符合学生的生活实际，学生都可以准备。 2．趣味性： 让学生剪一剪、拼一拼，进行密铺，让每位学生都能动起来感受数学学习的乐趣。 3．问题的开放与收敛： 该活动就是“1+1=2”的几何体现。拼图方式不唯一但也不多。 4．实效性： 两个面积为1的正方形拼得的都是面积为2的正方形，由此可以产生边长是无理数的问题，为本课的引入奠定了基础。
	关于该引入的一点对比： 边长为1的正方形的对角线AC等于多少？再由勾股定理引入“，为多少” 对于无理数的引入方式有很多，比较典型的有： 1．几何的经典引入： 2．代数的直接引入：虽然经典的是由解决图形问题的勾股定理引入，表面上是形的问题，实际上是数的问题。而学生已有代数和等式的知识，或者考虑到在勾股定理时所产生的诸如之类的代数关系，因此可以直接建立问题“，为多少？” 3．北师大教材的设计也是有意义的。第一，学生在以前的学习中，习惯了对图形的操作；第二，教材中第二个实例“做一做”也反映了经典引入的意思。从多样性的图式中产生相同或类似的问题，是北师大教材所倡导的新问题产生的一种方式。 三种方式的引入各有优劣：经典引入常用、高效，但有失创新；单纯代数引入较为抽象，适用于对知识清晰、理解能力强的学生；教材的引入较难理解和提出恰当的问题，但其中的问题更丰富，也是可行的一法。 基于以上理解，我认为学生第一次接触新数，通过一些有趣的活动来提高学生的学习积极性是有必要的，而且教材是学生知识的主要载体，所以我仍然选择了教材的引入。
预计时间：6分钟

八、教学过程：

教学内容	教师活动		学生活动或可能反映		教学评价
活动二：让学生感知无理数，并且合理推理它不是有理数（共分三个环节）
第一环节: 教师提问引导，探讨“研究大正方形边长a是什么数”的方法	师问：现在得到大正方形，你想对这个大正方形提一些什么问题吗？	生（可能从形状、大小、位置等方面提问）：关于大正方形的面积、边长、周长、对角线等问题。			让学生提问是为了培养学生主动提问的意识。
	师问：有些元素比较容易确定（如面积，对角线等），那么它的边长a为多少？（可以由易到难分析以上各元素，但最终边长是基本量）	学生直观感知，并且说出自己的看法。			让学生直观感知并且各抒己见。
	对于新事物的认识，我认为可以从两个方面来思考： 1．从未知： a2=2，a是多少？我们不知道，但可以通过计算：1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，…。在获得1.4＜a＜1.5的认识之后，继续计算1.412，1.492，…，类似这样逐步寻找。当多次计算找不到时，会产生怀疑（质疑是数学人的优秀品格），产生“这个数好象不是我们已经知道的数”的想法。 2．从已知：我们已经学了什么？现在的新事物和以前所学的有什么关系？ 尝试把a这个数归类，而归结的类应该是已经学过的有理数。能不能归类，实际上判断所给的数是否符合有理数定义或运算特征。如果能确定这个数是有理数，它就归类在有理数。如果不能确定这个数不是有理数，它又是什么数呢？ 现在我们并不知道能不能确定这个数是否是有理数，因此先假设它是有理数，然后再分类判断不可能，这样就说明存在非有理数的数。本段话的思想就是反证法的思想，虽然不能面向全体学生讲用反证法形式化的证明这个数不是有理数，但反向思考是根据先前的事实确定是否发现新的事实的有效方式，在教学中要渗透这样的思想。
	师问：我们以前学了哪些数，你还记得它们是怎样分类的吗？ 在学生回顾有理数的分类后，整理一个分类结构图（用附页进一步解释）			生：以前所学的数都是有理数，有理数分为“整数和分数”，整数和分数还可以再分类，如整数分为“正整数、负整数、0”	回顾有理数及其分类，为后面探究做知识铺垫。
	师问：大正方形边a是不是有理数，你怎样来说明？			生：有理数分为整数和分数，可以分别讨论它是否为整数和分数？	依据数的分类探讨研究方案，在此渗透分类讨论思想。
预计时间：6分钟
第二环节:讨论a是否是整数	师问：a是整数吗？	由a2=2，而12=1，22=4，12<a2<22 ，得1<a<2，a不是整数。 （这是从数的角度进行说明）			学生自然的反应是从数的角度来说明，然而这个数所产生的背景启发我们也可以用形的“度量性质”来说明，这能让学生初步感受形与数的联系性。同时用证明初步培养学生严谨说理的习惯。
	附带说明：还可以从图形的数量特征证明a不是整数。 教师按下图进行构造分析（为什么这样构造？这是课本拼图的最简形式，是能够反映数量关系的图式，与经典的引入殊途同归），证明如下： 证明：在三角形ABC中  AC=1，BC=1，AB=a，由三角形的三边关系得AC-BC＜a＜AC+BC。所以0＜a＜2，且 a≠1。所以a不是整数。 注：也可能根据直角三角形的三边关系得AC＜a＜AC+BC，所以1＜a＜2，即a不是整数。
预计时间：4分钟

教学内容	教师活动	学生活动或可能反映	教学评价
第三环节: 讨论a是否是分数	师问：a 不是整数，是分数吗？	部分学生可能回答“是”。	此环节是本节课的难点，对于部分学生难度较大，我让学生由“具体到抽象”，由“特殊到一般”，通过大量式子的感知，从而达到难点的突破，在此也让学生体会数学中“特殊到一般”这种认识问题、研究问题的方法。
	师问：你能找出a 是分母为多少的分数？	可能有困惑（反映了学生是否有把分数用分母从小到大分类的程序性思考）。
	师引导：我们可以从分母最小的分数开始找？	是否注意到这里的分数只需要考虑正的分数！
	①a是分母为2的分数吗？	计算： 结论：a不是分母为2的分数。
	② a是分母为3的分数吗？	计算： 结论：a不是分母为3的分数。
	③ a是分母为 4 的分数吗？ 想一想：为什么省了一些计算？ 在过程中思考简约的做法是好的习惯！本问题的简约是基于对数的运算的认识（直接从它不是整数来排除是不够的！）	计算： 结论：a不是分母为4的分数。
	④ a是分母为 5或者6的分数吗？	计算(心算和笔算)或者猜测。 结论：a不是分母为5和6的分数。
	⑤ a是分母为多少的分数？	发现、归纳：任何最简分数的平方还是一个分数，因此，a不是(任何分母的)分数。
与环节二和三并行的环节	师问：你能用有理数的形式化定义（p和q互质）证明a不是有理数吗？（针对理解能力强或了解了反证法的学生提问）	类似于课本37面的证明。	为成绩好的学生提供更大的空间，充分发挥他们的聪明才智，促使他们有更好的发展。
小结：	1．a既不是整数，也不是分数，说明 a不是有理数，也说明“数又不够用了”（板书标题），我们需要引入新数，新数叫什么名字，有什么特点？我们后面会逐步学习。 2．一个数学对象是什么的问题，实际上是一种归类，要归到某一类中，就必须符合某一类对象的定义或特征。 通过本节课，请你好好体会这个意思！ 3．本节内容采用的是对有理数分类的方式，说明新数既不是有理数的整数类，也不是有理数的分数类。 4．具体的说明是用归纳的方法，我们要坚信归纳的作用。 5．理解能力强或了解了反证法的学生可以阅读课本37面，了解（或者直接）用有理数的形式化定义（p和q互质）及反证的方法说明a不是有理数。
预计时间：15分钟

教学内容	教师活动	学生活动或可能反映	教学评价
活动四: 了解数学史，体会数学文化	让学生阅读材料，并说出自己的感受： 公元前500年，古希腊的毕达哥拉斯( Pythagoras) 学派认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述。 这学派成员希伯索斯(Hippasus) 发现边长为1的正方形的对角线的长不能有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他在逃回家的路上，遭到毕氏成员的追捕，被投入大海。他为发现真理而献出了宝贵的生命。但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并给予了证明。 师问：通过阅读上面的数学故事，你有什么感受？ 注：如果课堂需要调控，时间过紧的话，本活动也可以作为课外的要求。	生：通过阅读这个故事，我了解到这种不是有理数的新数的出现在数学发展史上的意义，我也觉得希伯索斯非常伟大，他勇于质疑，不畏强权，永求真理，这种求真的精神值得我们学习。	本材料来源于数学课后阅读材料，让学生了解数学史，同时也可以培养学生敢于质疑，勇于挑战，不畏强权，永求真理的科学求真精神。
预计时间：4分钟
活动五: 反馈测评，再现研究，巩固新认知	一、学生观察图2-1后回答下面问题： (1) 如图：以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2) 设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ (3) b是有理数吗？	生： （1）面积为5 （2） （3），， ，不是整数，任何最简分数的平方仍然是最简分数，所以不是分数。综合不是有理数。 注：在不是分数的说明时，可能仍然用课本里对分数分类验证的方式。	1．它是我们前面活动的运用和巩固。让学生再次经历无理数的感知和推理过程。 2．它也是前面活动的拓展，让学生意识到这种不是有理数的新数还存在其他事物中，初步感受到无理数存在的普遍性。
预计时间：4分钟

教学内容	教师活动	学生活动或可能反映	教学评价
活动六： 游戏互动进一步体会无理数存在的普遍性	右图是有16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，请分别找出两条长度是有理数的线段和两条不是有理数的线段。	学生寻找的有理数： 学生寻找不是有理数的数：	1．该活动能增添知识的趣味性，提高学生的学习积极性。也能进一步让学生感受到无理数的普遍性 2．前面都是对新数正面的认识，对于新概念的学习应该让学生学会主动寻找适合新概念的对象，这里让学生初步学会辨别有理数和无理数，为后面课程打好基础。
预计时间：4分钟
活动七：  回顾与 总结:	1．让学生自己从知识上总结：本节课我们学到了什么知识？	生：学到了生活中存在着不是有理数的新数，并且它大量存在。	知识是关键，但是我们不光要让学生学到知识，还以知识为载体让学生学到一种数学研究方法和一种数学讨论问题的方式，这样才能真正做到“以学生的发展为本”的教学理念。 本课明显的反映了知识是如何产生，反映了人们的问题意识和思考方式，也反映了数学研究的一般思考和方式方法。
	2．师生共同从方法上总结：本节课除了知识上，方法上我们也来回顾和总结一下。
	教师提问：在讨论大正方形的边长是否为有理数时，我们是怎样讨论的？	生：是分为整数和分数两种情况来讨论的。
	总结：“分类讨论”的数学说理方法。
	教师提问：在研究大正方形的边长是否为分数时，我们怎样研究的。	生：是从最简单，最特殊的分母为2的分数，再到分母为任意数的分数。
	总结：“特殊到一般”的研究方法。
预计时间：2分钟

附：有理数概念的回顾

1．有理数的（类合并）定义：

整数和分数统称有理数

2．有理数的分类（类分解说明）：

    注：根据不同的标准，可以有不同的分类，如可以分类为有限小数和无限循环小数。

3．有理数的表示（形式化）：

整数与分数都可以用的方式表示，即有理数可以用表示。

注：在初一刚学习有理数时，没有学习代数，所以形式化的表示未学。但是在学习初一教材104页的“做一做”时，除了用字母表示以前学过的公式与法则外，应该用字母表示有理数！！！

板书设计

几句感受：

在老师的引导下，依靠教材和老师提供的材料，象科学家发现真理那样，去“发现”知识，从而体验到那种“发现”的兴奋、喜悦、自信和自豪等多种情感，同时有效地训练了他们的直觉思维、探究能力和积极参与意识，这样的课堂就是我所追求的师生共同成长、学生可持续发展的高效课堂！

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《数怎么又不够用了》教学设计说明
一、从教材和知识地位来说明：

〈〈数怎么又不够用了〉〉是我们初中阶段的第二次数系扩充的入门课，本章在有理数的基础上引入无理数，将有理数扩充到实数范围。本节课也是这第二次数系扩充的最关键的一步——无理数的引入。并且这一节课主要是让学生定性的分析无理数。   

教材整章的整体设计思路：无理数的引入——无理数的表示——实数及其相关概念（包括实数运算），本节共两个课时：先设置具体的活动求面积为2的正方形的边长，提出问题：它可能是整数吗？它可能是分数吗？让学生亲身经历这些活动，在讨论中引起认知冲突，感知生活中确实存在不同于有理数的数，产生探求的欲望：它不是有理数，那它是什么数？再让学生进一步借助计算器充分探索，得出它是一个无限不循环小数，从而给出无理数的概念。这与历史上无理数的产生和发展过程是一致的，符合人的认识规律，同时让学生体会到抽象的数学概念在现实世界中有其实际背景。

二、从学生实际情况来说明：

通过前面的学习，学生已建立了有理数的概念及其相关的运算法则。此年龄段的学生有较强烈的“自我”和自我发展的意识,喜欢表现自己，对与自己的直观经验相冲突的现象,对”有挑战性”的任务很感兴趣。因此我抓住这一特点，在学习素材的选取、学习活动的安排上设法给学生提供“做数学”的机会。使学生在这些活动中表现自我，发展自我从而感受到有理数的局限性和引入新数的必要性。

三、从教学目标来说明：

一些教学目标经常被局限在知识目标上，而课标要求关注学生的知识发生、发展过程，并且关注学生在探究知识中的数学经验和情感经历，以及在数学活动所表现的能力水平。但是同时我也发现一些教学目标似乎定得太空，远远超出45分钟所能完成的任务，根据学生实际情况和对本课知识的理解，我把教学目标定位为：

1．技能目标：知道存在非有理数的数或举出一些例证，能说明现阶段学习的这类数满足的基本特征关系；初步阐明非有理数的数与有理数之间的关系（能否表示为整数与分数及其说明的方法）。

2．能力目标：能把对有理数的理解（如分类、表示、运算及合理性等）应用到研究新的数的过程中；能通过观察、质疑、实验、归纳和猜想得到存在非有理数的数，并能用分类、归纳或形式化证明的方法清晰的说明。

3．情态价值目标：进一步养成求知意识并坚定对归纳成真的信念。

四、从教法、学法上来说明：

教法和学法是不能分割的。教法中包含着学法，学法里体现着教法，二者共处于教学过程之中。

①  教学方法

师生互动探究式教学，遵循以学生为主体、教师为主导、发展为主旨的现代教育原则，结合八年级学生的心理特征和已有的认知水平开展教学．学生通过熟悉的现实生活情景，发现现有的有理数是不够用的，引发认知冲突，提出需要学习新的知识．引导学生分类讨论，形成师生与生生互动，体现了数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．

②  学法指导

学法突出问题引导下的自主探索法：引导学生自己操作并提出问题，通过对新知识的归类不成功而产生对新知识研究的意识和研究的思路与方法，主动探索并建构新知识，即感受并验证非有理数的存在性及其存在的普遍性，也能说明这样的数存在的基本依据和过程。

五、教学诊断分析

   本节课是学生在认知上的一次突破，学生接受“生活中存在不是有理数的新数”并不困难，而真正困难的是如何推理无理数的存在性，这里需要数学的“分类讨论”（分别讨论整数和分数），对于整数部分学生推理并不困难，但是对于分数部分的环节是本节课的难点，对于部分学生难度较大，老师要给学生台阶让学生逐步探究，通过分母为2的分数到随后的分母为n（n为正整数）的分数，让学生意识到“任何最简分数的平方都是分数”，不可能为整数，对于优生可以让其尝试用数学符号论证，但不作统一要求。

六、教学设计的几个体现点：

1．数学活动的可操作性和趣味性：本节课在数学活动设计中我抓住八年级学生特点，紧密联系生活，从学生熟悉的，感兴趣的问题入手，让学生在动手实践中学习数学知识，从而增强学生的学习的主动性。

2．让学生尝试提出数学问题：在活动设计中我尝试用给出背景，由学生来提数学问题的方式，并且根据知识的回顾与分析，让学生说出研究方案。这样培养学生提数学问题的意识，让学生学会提出有研究价值的问题。

3．注重数学方法的渗透：在学生有效掌握数学知识的同时，我引导学生认识到“分类讨论”的数学说理方法以及“特殊到一般”的数学研究问题的方法，让学生以知识为载体，学到一些受益终身的数学方法。

4．将课堂主动权充分还给学生：本节课以数学活动课形式教学，让学生进行合作学习，也让学生自主探究，在操作中探索，在研究中解决问题。教师的角色为组织者、引导者、合作者。在教学活动中我尽量引导、组织学生活动，并真正参与学生的讨论中，让学生成为问题的探索者和解决者,真正成为学习的主人。

  5．注重各种情景创设方式的对比：在教学设计中，我认真对比各类问题情景的引入，针对学生实际，以及各种情景引入所产生的课堂效果，择优选择比较适合学生的情景。

七、教学预期效果分析

1.在本节课的设计与教学实施中我突出以学生的“数学活动”为主线 ，通过创设问题情景，激发学生的学习积极性，向学生提供了比较充分的从事数学活动的机会，引导学生动手操作、回顾旧知识、分类讨论。让学生充分感受了知识的产生和发展过程，他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得了较为广泛的数学活动经验，充分体现了“课堂教学是活动的教学,学生是活动的主体”.

2.在教材的处理上，从学生学情入手，注重各数学活动的层次性，让更多学生有机会参与到数学活动中来。注重数学方法的渗透，让学生不光学到知识，还要让学生以这节课为载体学到一种数学研究方法和一种数学讨论问题的方式。

3.在本节课的教学过程中，教师要观察学生的数学思维水平，看看能否合理推理无理数的存在，能否用语言表达出自己的思维过程，观察学生是否主动参与活动、是否独立思考、是否乐于与同伴交流等，并对一些学生进行适当及时激励性的语言评价。而且对学生的评价还可以再优化，并且在评价的形式上可以更多样化、主体多元化，充分调动学生参与评价，形成生生、师生评价的氛围.