数学教学的有效性与开放性

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摘要；“有效的教学”是数学教育领域中一个新的热点问题。这一论题的提出是对于近年来在教学方法改革中所出现的形式主义倾向的一个直接反对，从而就具有很大的合理性；但我们同时又应注意对其内涵的正确理解并防止可能的片面性，即应当坚持数学教育的三维目标，并很好地把握教学的有效性与开放性的辩证关系。

关键词：数学教学；有效性；开放性



    任一较为关心数学教育的人近期可能都会注意到这样一个现象：“有效的数学教学”现已成为这一领域中一个新的热点问题．例如，这正是由教育部北京师范大学基础教育课程研究中心、国家义务教育数学课程标准研制组与新世纪小学数学教材编委会联合主办的“第六届全国新世纪小学数学课程与教学系列研讨会”的共同主题：“新课程背景下小学数学课堂教学有效性的研究”；另外，在近期的各级数学教育刊物上我们也可看到大量以此为直接论题的文章。

上述的发展是否有其一定的合理性或必然性?什么又是“有效的数学教学”的正确含义？在相关的教学实践中我们应如何防止可能的片面性，或者说，应如何更好地促进数学教学的深入发展?以下分别对这三个问题作出具体分析。

严格地说，“有效的数学教学”并不是一个全新的论题，因为，这正是中国数学教学传统的一个重要方面，即课堂教学相对于具体目标的高效率性。第一，中国的数学教学每一堂课都有着十分明确的目标。第二，中国的数学教学就是围绕所说的目标很好地组织起来的。例如，中国的数学课程通常包括“复习”“引入”“讲授”“练习”“总结”这样五个环节，而其中的所有细节，包括时间的分配与板书的设计等，则都是围绕所说的目标精心安排的结果。第三，这事实上也清楚地表明了中国数学教师的实际定位。这正如斯蒂文森(H，Stevenson)和斯丁格勒(J．Stingier)在其合著的《学习的差距》一书中所指出的；“按照中国的教育思想，好的教师主要地应被看成‘熟练的演绎者’(skilled per—former)，就像演员或音乐家一样，他们的主要工作是有效地和创造性地去演绎出指定的角色或乐曲，而不是直接从事剧本或乐曲的写作。”

    值得指出的是，两位作者曾以中国（及日本)为对照对美国学校在教学组织形式方面的低效性提出了尖锐批评。例如，对于一年级和五年级学生的一项调查表明：美国教室中真正用于教学的时间分别为70％和65％；中国则是85％与90％(日本是79％与82％)。

    然而，作为一个新的热点问题，笔者以为，“有效的数学教学”之所以在当前得到人们的普遍重视有其一定的现实原因：这在很大程度上可看成对于近年来在教学方法改革中所出现的形式主义倾向的一个直接批判和反对。例如，“有效课堂：数学教学的朴素追求”就是江苏省邳州市教研室在2005年所组织的一次“教师对话”的直接主题，而由与会教师的以下发言我们可清楚地看到他们的一个共同目标就是克服课程改革中所普遍存在的形式主义弊病：

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“问题情境不应只是绚丽多彩的生活画面，这些都是情境的外部要素，而非情境的本质。……‘问题’可以来自数学系统外部，即现实生活，当然也可以来自数学知识内部，处理得当，同样可以收到良好的效果。”

“目前，一些数学课堂过分追求‘观赏价值’，非常浅显的问题组织学生讨论，不必分组的内容安排小组学习，显而易见的结论要求学生实践、验证……似乎没有讨论就不是‘探索’，不分小组就没有‘合作’，没有实践、验证就不会‘发现’。”

“是不是课堂上学生提出一个教师意想不到的问题、说出一种标新立异的算法就算生成，我认为这是对于‘生成’的一种片面理解。”   

“没有思考而生成的内容都应视为无效的泡沫．数学课上，经常有学生作一些不着边际的猜想，教师绝不能冠以‘有个性’的美名加以赞赏，应态度鲜明地进行引导，以免教学偏离轨道，步入低效的窠臼。”

    从而，“教学的有效性”也就可以被看成从一个角度为促进数学课程改革的深入发展特别是数学教学方法的改进指明了努力的方向。例如，我们显然可从这一角度更为探入地去思考以下的问题：什么是一个好的情境设计?什么是好的合作学习?我们又应如何去认识动手实践对于数学学习的重要意义?等等。另外，以下一些论点的提出也可被看成与教学有效性有着直接的关系：主动探究不能被看成数学学习的主要手段；数学教学可以如此组织以使学生参与到了积极的互动之中但却没有实现任何有意义的数学学习，也会有这样的学生，他认为在别人看来是很有成效的课堂讨论对其而言只是分散了他对于数学概念与所倾向的方法的注意。

综上所述，由于“有效的数学教学”不仅直接关系到了对于中国数学教学传统的很好继承，而且有着重要的现实意义，所以应引起我们的高度重视，包括如何依据现代的教学理论以及课程改革的相关实践对其基本含义作出正确理解，井切实防止任何可能的片面性或极端化。   

“究竟什么是有效的数学教学?”为了对这一问题作出解答，我们首先应认识到这样一点：教学的有效性总是相对于一定的教学目标而言的。其次，就当前而言，我们则又应当明确地强调，作为有效的数学教学，我们不仅应当十分关注如何能够帮助学生很好地掌握各种具体数学知识与技能，而且应高度重视如何帮助学生学会数学地思维，包括由思维方法的学习向数学素养的重要过渡，即充分发挥数学的文化价值。笼统地说，这也就是指，我们应突出强调数学教学相对于数学教育的三维目标的有效性。

    后一主张应当说也有着重要的现实意义，因为，这正是传统的中国数学教学的一个明显不足之处，即往往集中于具体的数学知识或技能的学习，而忽视了数学教育的长期目标，包括思维方法的学习以及情感、态度、价值观的培养。当然，作为问题的另一方面，我们也应看到另一种可能的片面性，如将数学教育的三维目标绝对地割裂开来，从而在实践中采取了简单组合的做法，甚至以一个方面的收获去取代、补偿另一方面的不足，或是在目标的理解上表现出了任意的泛化，如将一般性的思想教育看成数学教学在情感、态度与价值观方面的主要目标，等等。显然，上述现象的存在十分清楚地表明了这样一点：为了真正做到有效的数学教学，我们必须首先弄清这样两个问题：第一，究竟什么是数学思维，我们又应如何帮助学生去学会数学地思维?第二，什么是数学的文化价值?我们在数学教学

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中又应如何很好地体现数学的文化价值?

    就前一方面的工作而言，我们应特别提及数学方法论对于数学教学的重要作用，这也就是指，我们应努力做到以思想方法的分析来带动具体数学知识内容的教学，即通过相关内容的“理性重建”真正将数学课“讲活”“讲懂”“讲深”，使学生能够看到活生生的数学研究工作，而不是死的数学知识，能真正理解有关的数学内容，而不足囫囵吞枣、死记硬背，并使学生不仅能掌握具体的数学知识内容，也能领会内在的思想方法。

  另外，如果说在上述方面我们已经取得了一定的进展(这主要是就中学而言，而如果将注意力转移到了小学数学教学，这就仍然是一个十分紧迫的任务，即如何能够针对小学数学教学的实际作出相关的研究)，那么，如何能够充分发挥数学的文化价值即通过数学学习帮助学生养成积极的情感、态度与价值观就是一个亟待深入研究的重要课题。

    具体地说，我们在此首先应深入地思考究竟什么是数学的文化价值。例如，正是通过与语文教学的对照，笔者才较为深切地认识到了这样一点：如果说语文是一种以情感带动知识学习的“情知教学”，那么数学教学就是完全不同的“以知贻情”，其涉及的情感也完全不同。语文教学中所涉及的是人类最为基本的一些感情，如人世间的爱恨和冷暖，生命的短暂和崇高，社会历史进程中的神奇和悲欢，等等。数学课中我们所希望的则是学生能养成一种新的精神，它并非与生俱来，而是一种后天养成的理性精神；一种新的认识方式——客观的研究，一种新的追求——超越现象以认识隐藏于背后的本质(是什么，为什么)；一种不同的美感——数学美(罗素形容为“冷而严肃的美”)；一种深层次的快乐——由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐；一种新的情感——超越世俗的平和；一种新的性格——善于独立思考，不怕失败，勇于坚持；等等。

    正因为此，数学课与语文课也就有着不同的评价标准：语文课往往充满激情，数学教学则更加提倡冷静的理性分析；语文教学带有明显的个性化倾向，数学则追求普遍的知识，从而数学教学也就必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”的过程。最后，数学学习同样涉及了人的本性，但这井非是普遍的爱，而是人类固有的好奇心、上进心(童心)，即一种希望揭示世界最深刻奥秘的强烈情感。

    从而，如果说语文教学的一个有效手段就是通过朗读创设出好的学习情境，即要求学生带着感情去读，读出感情来，那么，数学教学中调动学生好奇心、上进心的主要手段就在于如何能档提出恰当的问题，具有挑战性同时又适合学生认知水平的问屈，具有启发性的问题，从而不断激发学生的好奇心，使之积极地去从事学习，不仅能够学到知识，也能够学会思维，包括养成健康的情感、态度与价值观。

    容易看出，以上的分析事实上也就包含了对于“数学教学应当如何充分发挥数学的文化价值”的具体解答：与上面所提及的割裂、取代、简单组合等做法相对立，我们应当清楚地看到在数学教育的三维目标之间所存在的相互渗透、互相促进的重要联系，从而，就如我们应以思维方法的分析带动具体知识内容的教学，我们也应通过具体数学知识的学习促使学生养成一定的数学素养。

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显然，从后一角度去分析，我们也就应当特别强调教师自身在这方面的感染力量。这就是指，“文如其人”；没有“数学味”的教师不可能真正上出具有“数学味”的数学课。   

最后应强调的是，除去学生的个人素养以外，我们还应从更为广泛的角度去理解数学的文化价值。具体地说，这正是东西方文化的一个重要差异，即数学在其中占据了完全不同的地位。由于数学在西方文明的形成和发展中发挥了特别重要的作用，特别是构成了解释世界的一种理性方式，因此，在所说的意义上西方文化可被看成一种“数学文化”；与此相对照，由于数学在东方文明中并不占据如此重要的地位，而只是一种实用技艺，因此，“儒家文化”对于东方文化而言就是一个更为恰当的名称，而这事实上也就是现代科学何以未能在东方得到顺利发展的一个重要原因。

    显然，从这样的角度去分析，以下论述就是十分重要的，或者说，十分清楚地表明了数学教师所应承扭的历史责任：“历史已经证明，而且将继续证明，一个没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”在充分肯定“有效的数学教学”的重要性的同时，我们也应清楚地看到这一做法也具有一定的局限性。对此我们仍可联系中国数学教学传统作出具体的分析。

    首先，这也正是传统的中国数学教学的一个明显不足之处，即表现出了过强的规范性。具体地说，由于教育的规范性质，所以，在中国的数学课堂上教师始终占据主导的地位，特别是，尽管也强调了教学的启发性以及学生的参与，但教师所希望的又总是课程能够按照事先设计的方案顺利地得以进行，特别是，学生能按教师的思路去进行思考，并最终牢固地掌握相应的数学知识和技巧，包括教师所希望学生掌握的数学思维方法。从而，总的来说，这在很大程度上就可说是“大框架下的小自由”，也即往往未能给学生的主动创造(以及学生间的互动与交流)留下足够的“自由空间”；进而，如果教师缺乏自觉性的话，就更加可能出现教学处于教师的绝对支配之下，而学生的主动性和创造性受到严重压制的局面。

    值得指出的是，中国的文化传统也为上述现象的出现提供了合适的“土壤”。由于中国历来是一个中央集权的国家，因此在教育系统中也就很容易出现以下的“一层卡一层”的现象：大纲(课程标准)“卡”教材——教材的编写必须“以纲为奉”；教材“卡”教师——教师的教学必须“紧扣教材”；教师“卡”学生：学生必须牢固地掌握教师所授予的各项知识和技能。这样，作为最终的结果，所有的有关人员，包括教师和学生，其创造性才能就都受到了严重压制。

    从而，在突出强调“有效的数学教学”的同时，我们也就应当大力提倡“开放的数学教学”。

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  具体地说，对于所说的“开放的数学教学”我们事实上可以从多个不同的角度去进行分析，在此所强调的则主要是教学思想的开放性，这也就是指，我们在教学中应当给学生留下足够的自由空间。例如，从这一立场出发去分析，我们在教学中显然就不应人为地去追求任何一种强制的统一或过分的规范，而应让每个学生都有一定的自主性，即我们不仅应当允许学生在学习的过程中表现出一定的“路径差”，而且也应给各种不同的意见(特别是教师事先未曾预料到的意见)以充分的表达机会，包括让所有学生对于所说的不同看法都能有一个理解和评价的机会；另外，无论就问题的提出还是就其表述而言，我们又都应当十分重视如何能给学生留下足够的“探究空间”，而不应将学生的思维活动局限于一个事先画定的狭小范围。

当然，就现实而言，我们也应注意防止相反的倾向，即将“开放”错误地等同于“完全放开”，完全放弃了教师所应发挥的指导作用，或是将“创新”错误地理解成“标新立异”，从而就只是重视了多样化而忽视了必要的优化。   

由此可见，这里的关键就在于如何能够很好地去处理教学的有效性与开放性两者之间的辩证关系。进而，就当前而言，主要的问题则又在于如何能够密切联系实际的教学活动积极地去开展研究。例如，在笔者看来，以下就是两个十分重要的课题：第一，在教学中应当如何去引导学生的主动探究?第二，我们应如何有效地去培养学生提出问题的能力?

    例如，正如前面的论述所已指明的，提出问题的能力不仅应当被看成创造能力的一个重要内涵，而且也是与数学学习密切相关的情感、态度与价值观(好奇心、上进心)的一个具体体现，更集中地体现了一定的数学思维。从而，从这样的角度去分析，以下一些在现今的数学教学中经常可以看到的做法就实在是过于简单了；今天你们想学什么?你还能提出什么问题?你们能否自己设计一个问题?……毋宁说，我们在此应清楚地认识到这样一点：正如解决问题能力的培养，学生提出问题的能力也不可能自然而然地得以形成，而必然地有一个逐步养成的过程，更需要教师有意识地去加以引导和培养。从而，在教学中我们也就不应采取“完全放开”的态度，即认为“学生所提出的一切问题都是有意义的”，甚至将教学方法的改革错误地概括成“过去是教师提问题学生答，现在是学生提问题教师答，将来是学生提问题、教师帮、学生答”。恰恰相反，我们应将努力提高学生提出问题的能力看成数学教学的一个重要目标，并将这方面的工作渗透、落实于具体数学知识的教学中。例如，这正是数学思维的一个重要特点：数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，而是希望能够获得更为深入的理解，后者又不仅直接导致了对于严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地去从事进一步的研究，如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论?这些事实能否被纳入某个统一的数学结构?等等；数学家们也总是希望能达到更大的简单性和精致性，如是否存在更为简单的证明?能否对相应的表述方式作出适当的改进?等等。从而，在教学中我们也就不应满足于问题的解决，而应积极地去从事新的研究，包括提出新的问题。

    显然，上面的分析事实上也就清楚地表明了教师在这方面发挥示范作用的重要性，这就是指，如果教师自身不善于在教学中提出适当的问题，我们就不可能很好地帮助学生学会“数学地提出问题”。

    正是基于这样的认识，笔者以为，这事实上也就可以被看成正确处理“教学的有效性与开放性”的一个关键因素：教师在教学中应当善于依据具体的教学内容、教学对象与教学环境提出恰当的问题。