例谈数学思想方法的教学策略

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统计与概率的教学一直是高中数学教学的难点，究其根源在于过去的教学大纲片面强调古典概率的计算，过于强调理论的严密性，而忽略了对数学思想方法的研究．现在高中新课标明确提出了要在义务教育阶段学习的基础上，进一步学习统计与概率的思想方法，使学生形成尊重事实、用数据说话的态度，能有效地利用统计分析的方法，科学合理地利用数据信息．同时，让学生了解随机现象，将有助于他们形成科学的世界观与方法论[1]．然而在高中统计与概率中涉及随机思想、统计思想、分类思想、归纳思想等诸多数学思想方法，这些思想方法之间有什么内在联系？教学过程中又如何处理好它们之间的关系？对这些问题若没有清楚的认识，就会让人有一种“不识庐山真面目，只缘身在此山中”的感觉．这样不仅很难让学生真正领会其中的数学思想方法，而且也不可能真正落实新课程所倡导的科学理念．

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1 深刻领会随机思想

对于数学知识的教学，约翰·布兰斯福特认为：“教学要围绕‘大概念’或‘大观点’（big idea）来联系和组织……有效的学习要求教师必须了解他们所教学科的结构（贯穿于其中的思想），并以此作为认知路标来指导学生的作业，来评价学生的进步．”[2]把这句话用在数学思想方法的教学上，就是教学中必须始终抓住数学思想的发展脉络，并围绕这一脉络来组织数学知识和数学思想网络．具体到高中统计与概率中的教学就应该牢牢把握随机思想这一核心思想并围绕这一思想来构建数学思想网络．而要深刻理解随机思想又需要首先对随机思想的发展脉络有比较清晰的了解．为此，有必要对随机思想的发展历史进行简单的回顾．

1.1 要准确把握随机思想的发展脉络

对随机思想的认识要追溯到 17 世纪中叶，当时以微积分和微分方程为主要工具的确定性数学在处理大量具有偶然因素的数学对象时遇到了前所未有的挑战．例如，在研究气体性质时，一方面，由于气体分子不仅数目众多、高速运动，而且还在不断的碰撞中改变方向．如果按照经典数学精确描述的方法，就要对每个分子列出微分方程式，而含有这么多未知量的微分方程组人们根本无法求解．而更为重要的是，在实际情况当中，条件随时随地都会发生变化，还可能存在各种偶然因素的干扰，有些即使是很细微的干扰也有可能产生截然相反的结果．而另一方面，人们并不需要详细知道每个分子在每一时刻和地点的运动情况，而只需要了解大量分子运动的总体性质和特征——体积、温度、压强等．而对由大量成员组成，或者出现大量次数的事件时，人们有必要也只可能通过大量的观察统计，寻找事物发展各种可能性出现的频率，求出平均数值即概率，揭示统计性的平均规律．正是基于这一时代背景，产生了运用随机思想去处理这一类问题的想法，这就是随机思想的最初产生的起源．后来，著名数学家巴斯碦和费马等人从研究赌博开始，运用定量方法对随机现象进行系统的研究，导致了运用定量数学方法研究随机现象的概率论和统计学的产生．此后，经过许多数学家的努力，特别是概率和统计学在社会统计、天文、大地测量的误差计算和流体动力学、热力学与统计物理的研究过程中，到 19 世纪初比较完整的理论体系的形成和 19 世纪末系统公理体系的确立，标志着随机思想的发展从最初自发的萌芽阶段逐渐发展到自觉的实际应用阶段直到最终形成系统的理论阶段．

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1.2 揭示随机思想与其它数学思想方法之间的内在联系

在高中统计与概率中，随机思想与其它一些重要数学思想如统计思想、分类思想、归纳思想等诸多重要数学思想之间存在着密切的联系，准确揭示它们之间的内在联系不仅可以深入领会这些数学思想方法的本质，而且可以深化对统计与概率的理解。

（1）随机思想与分类、归纳等确定性数学思想．

随机通常是指事件不可预测．具体来说，随机包含两方面的含义，一方面，单一事件的不确定性和不可预见性（具有偶然性）；另一方面，事件在经历大量数次重复试验中表现出规律性（具有必然性）[3]．虽然随机思想是从解决现实世界中的不确定性问题发展起来的，但随机思想其实不过是高维的确定性问题作低维处理的一种方式而已．比如每次掷骰子的结果，显然应该是其初始条件向量与过程中很多细微因素共同形成的，皆因现时无力探知、掌握和控制它们，这才将其（很多因素）统一地以一个随机因素ξ来表示．其实，确定数学又何尝不是如此，确定性数学模型的建立过程中也丢掉了不少“弱”因素．因此，从实践意义上讲，确定数学也应该是随机的．随机数学与确定数学仅仅只是处理方法上的差别而已[4]．而从随机思想的起源来看，它又是分类、归纳等确定性数学思想的进一步发展和具体运用．事实上，作为定量研究随机思想的概率和统计方法最先起源于归纳法，概率的发展经历了从归纳法到概率归纳法再到概率论的发展过程，而统计思想则是“由局部到整体”、“由特殊上升到一般”，是归纳法在数学上的具体应用[5]．追而溯之，归纳的过程又需要分类、特殊化、一般化等方法的综合运用才能实现．归纳首先按照一定的标准将研究对象进行分类研究，在分类基础上通过特殊化方法将对某类对象的研究转到包含该类中较小的一类对象的研究．特殊化以后还要进一步一般化才能真正完成归纳的过程．

（2）随机思想与统计、概率思想．

作为研究随机现象的学科，概率是从数量的角度来研究大量的随机现象，从中寻找这些随机现象所服从的统计规律，并用严格的数学方法研究各种随机现象的统计规律之间的相互联系[6]．而统计思想则是从一组样本分析、判断这个系统的状态，或判定某一论断能以多大的概率来保证其正确性，或算出发生错误判断的概率[5]．尽管随机思想与统计、概率思想研究的都是随机现象，但随机思想更基本，因为无论是概率的研究还是统计的研究都必须建立在事件的发生具有随机性这一思想前提之上，没有随机思想，就没有统计与概率，研究大量复杂现象也将变成空话．而概率与统计思想则更深刻、更精确，是对随机思想的量化发展．前已述及，随机思想既具有偶然性一面，又具有必然性一面，然而必然性并不会自动显现出来，它总是隐藏在偶然现象背后并通过大量随机的偶然现象表现出来，那么如何来发现和把握偶然现象背后的必然性呢？这就需要依靠统计和概率方法来准确把握偶然现象背后的必然性——统计规律和概率规律．比如抛掷一枚硬币，究竟是正面朝上还是反面朝上通常被认为是完全随机的，这就是随机思想，但这一思想通常是根据经验或直觉得出来的，因此它实际上是一种经验性的随机思想．而如果通过统计的方法去计算出某一次试验中正面朝上和反面朝上的数目，再进一步通过概率方法计算出正面朝上和反面朝上的概率，那么就可以揭示出这一试验背后的内在规律——正面朝上和反面朝上的概率几乎相等．

（3）随机思想与等可能假设．

所谓等可能性假设，它是按照等可能性对研究对象进行分类以便于更好地研究问题．它是一种理想化的假设，它特别适用于复杂事件的研究，当决定一个事件发生的原因很多，而且这些原因本身没有主次之分，或者即使有主次之分，但这些原因对各种可能结果的作用不存在明显的差别时，我们可以理想化地认为各种结果的发生机会是等可能的．如抛掷一枚硬币若干次，尽管每次抛掷时的抛掷位置、抛掷方向、抛掷速度、用力程度以及当时的风力、风向都各不相同，但我们却可以忽略各个具体试验的特殊条件，而把每次试验都看作是等可能性事件．可以说，等可能性假设在统计与概率的研究中有着基础的重要性，这是因为无论是统计中的抽样还是概率中的试验，都要以等可能性思想为前提，或者至少是在局部用到等可能性思想．统计中的抽样总是要尽可能遵循随机或等可能的原则；概率则是对“可能性”的量化，对不确定的、随机的事件及其随机性的度量与估计．

随机思想与等可能性假设之间又存在着密切的联系，这种联系主要表现为随机思想与等可能性假设之间既对立又统一．一方面，这两者之间存在着差别，随机思想是人们对现实世界中大量随机现象的一种本质认识，而等可能假设则是人们为了研究问题方便所做的一种理想化假设．前者是一种规律性认识，其正确性已经被大家所公认；而后者只是一种假设，其正确性有待检验．另一方面，这两者之间又存在统一性，随机思想是研究随机现象的立足点和出发点，而等可能假设则是研究随机现象的一种具体方法，它是随机思想在研究随机现象过程中的具体运用．没有等可能假设，随机思想就只能是空想，对随机现象进行定量研究就成为一句空话．事实上，随机往往总会表现为一定程度的等可能性，如果不存在丝毫的等可能性，那么这样的随机又怎么能称得上随机呢？同样，没有随机思想，等可能假设也就成了无源之水，无本之木．比如刚才所提到的抛掷硬币的试验，尽管我们都知道并不存在真正意义上的等可能事件，但我们却可以在不影响结果正确性的前提下假定每次试验都是等可能的，为什么呢？其根本原因就在于我们有随机思想这一思想基础，否则我们就无法进行哪怕是最简单的研究．

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2 进一步揭示其它重要数学思想及其内在联系

在高中统计与概率中不仅涉及很多重要数学思想方法，而且这些数学思想方法之间还存在着错综复杂的关系，廓清这些数学思想方法之间的内在联系，不仅有助于我们准确把握各种数学思想方法的本质，而且有助于我们更好地改进统计与概率的教学，这里择其精要略作分析．

2.1 统计与概率及分类思想

分类思想是一种非常重要的思想方法．恩格斯说：“无数杂乱的认识资料得到清理，它们有了头绪，有了分类，彼此之间有了因果联系……知识变成了科学．”[7]可以说，对自然界的认识是以系统分类为起点，这是自然科学进行理论思维的前提．任何处理大量经验材料的科学研究，都离不开科学的分类，否则就如堕烟海，无从下手．统计与概率的研究也不例外，在高中统计与概率的教学中，分类思想方法对统计与概率的研究有着基础的重要性，深入领会分类思想方法是灵活运用其它各种思想方法的前提．统计与概率中所涉及的许多问题（随机现象）最后往往都要通过分类思想方法转化为确定性问题；比如高中概率的古典概率问题的计算需要应用排列与组合，而排列与组合方法又离不开分类方法．特别是对于一些比较复杂的概率问题，由于试验的复杂性和条件的特殊性，试验结果往往不是等可能出现的，因此，一般很难运用统一的方法进行处理，这时常常要按照一定的标准（通常以等可能性作为标准），采用一定的方法（如按照试验条件或某个典型特征）将试验结果分成若干个便于计算的类来进行计算．再比如统计中的分层抽样问题的计算也需要运用分类方法．这是因为在一些具体的抽样过程中，从总体上来看各个样本之间并不具有等可能性，而在某个局部却可能是等可能的或者可以近似地看作是等可能的，这时可以通过分类方法将总体分成若干个部分，使得在每一部分内样本之间又是等可能的，这样就可以对每一个具体部分进行分别抽样．

2.2 概率思想与归纳思想

归纳法与概率之间存在着非常密切的联系，早在亚里士多德时代，人们就已经对归纳方法有了非常深入的了解和认识，而概率方法的真正被承认是在中世纪以后的事，而且是由于归纳方法和实验方法在实践中遇到了困难才逐渐被人们所注意和重视，归纳法中的概率归纳推理（它是根据一类事件中部分事件出现的概率，推出该类所有事件出现的概率的不完全归纳推理）[8]，就是归纳法发展到极致，是从归纳法向概率法发展的标志，概率归纳推理是由部分到全体的推理，它的特点是对可能性的大小作数量方面的估计．它的结论超出了前提所断定的范围，因而是或然的．从某种程度上来说，归纳是一种特殊的概率，概率方法是归纳法的自然推广，概率是归纳法发展到一定程度的必然产物．概率方法本身是对大量随机事件和随机现象所进行的一种归纳，它是对随机事件发生的结果的归纳，它并不关心事件发生的具体过程；而归纳法不仅关注事件发生的结果，它还关注事件发生的具体过程，它承认事件发生过程中的规律性，并以此为基础来研究事件发生过程中的规律性．它主要适用于少变量因果关系的简单事件所决定的问题，而概率方法则主要适用于多变量因果关系的复杂事件所决定的问题．从归纳法到概率方法反映了人们的认识从确定性走向不确定性的一种历史必然．

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2.3 统计思想与特殊化思想

所谓特殊化思想方法，它是将研究对象或问题从一般状态转化为特殊状态进行考察和研究的一种思想方法．波利亚曾说过：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小子集或仅仅一个对象．”特殊化思想方法的哲学基础是矛盾的普遍性寓于特殊性之中．而数理统计思想方法是通过对样本的研究来把握总体内在规律的一种研究方法，换句话说，统计是通过对特殊事物的认识来把握一般性规律．因此，从某种意义上来说，数理统计思想方法是一种特殊化思想方法．若将这两种数学思想方法作一比较则可以发现，前者主要处理确定性问题，它更侧重过程和对具体方法的把握；而后者则主要研究随机现象，它更强调对结果和整体思想的把握．事实上，数理统计思想方法并不局限在具体的方法层次，它主要是从思想层次来把握，可以说数理统计思想方法是一种真正意义上的特殊化思想方法，它是特殊化思想方法发展的高级阶段．如果把通常意义上的特殊化思想方法说成是一种狭义的特殊化思想方法，那么统计思想就是一种广义的特殊化思想方法．

3 启 示

3.1 把握数学思想发展脉络有助于恰当把握教学的起点

把握数学思想的发展脉络，有助于及时了解学生随机思想发展的具体阶段，并为确定统计与概率的教学起点找到科学依据．事实上，在统计与概率的教学中常常会发现学生们在尚未学习统计与概率之前头脑中就存在一些有关统计与概率的潜观念，这些概念中有些本身是错误观念，如果在教学前教师对学生头脑中的这些潜观念没有很好的了解，那么在进行教学时可能会无的放矢，甚至会事倍功半．比如，有些学生，尤其是年级小的学生往往依据自己的直觉或自己的信念考虑问题，在进行抛骰子的试验中，他们或强调抛掷方法决定抛掷结果，或坚持说世界上没有不公平的骰子．有些学生甚至在面对的证据充分显示某一骰子很可能有偏向的时候，也还是不愿接受该骰子是不公平的这一说法[9]．对于这种现象，最好的办法就是在新内容的教学之前采取措施消除、避免和纠正学生头脑中已有的错误观念．

3.2 把握数学思想发展网络有助于选择恰当的教学方法

把握数学思想网络还有助于我们对统计与概率中的数学思想方法有一个整体的、明晰的认识，有助于我们从宏观上准确把握这些数学思想方法究竟体现在哪些章节、体现到什么程度，在具体教学中如何螺旋上升．同时，还有助于我们进一步弄清每一数学事实背后各体现了哪些数学思想方法、体现到什么程度，在具体教学中应该渗透还是介绍、抑或突出，从而选择恰当的教学方法．比如，如果我们知道统计和概率是对随机思想的发展和量化，而且知道学生在义务教育阶段就形成了丰富的随机思想，那么我们在高中统计与概率的教学中就应该采取自上而下的教学方法，让学生的随机思想由经验上升到理性，而且可以进一步设计相应的教学情境来促进学生头脑中经验的随机思想向量化的随机思想——统计与概率思想发展．

3.3 构建数学思想网络使学生形成正确的数学观与世界观

无论是随机思想还是统计与概率思想都是以现实世界中的不确定现象作为其研究对象，构建数学思想网络有助于学生深入领会这些数学思想，并在此基础上学会运用这些思想去处理和解决现实世界中的不确定性问题，尽快实现从形式思维向辩证思维的过渡，最终形成正确的数学观和世界观．比如，深入领会随机思想可以使我们改变单纯强调确定性的错误倾向，深化对数学本质的认识，更好地把握确定性与随机性之间的统一，认识到随机问题不过是高维的确定性问题作低维处理的一种方法而已．再比如，深入领会等可能性思想，不仅是理解和掌握统计与概率的基础，而且有助于我们深化对现实世界的认识，认识到现实世界既具有确定性的一面，同时还具有不确定性的一面，进而形成在确定性与不确定性的辩证统一中来把握现实世界的、正确的认识世界的态度．同时，还有助于我们形成公平、公正、平等的世界观，进而促使我们更好地认识世界和改造世界。