教学细节决定教学效果——教学“圆的面积”有感

彭庙

为了让学生关注圆的面积与半径平方的关系，苏教版新课程标准实验教材在“圆的面积”这一课首先安排了下面的探究活动：

不难理解，此探究活动是通过数方格的方法使学生体会圆面积大约是正方形面积(半径平方)的3倍多一些，即π倍。此内容的添加，可谓匠心独运，独树一帜。但在课堂教学中如若处理不当，探究效果将大打折扣。
往年使用此教材，认为学生已获得数方格算不规则图形面积的经验，就放手让学生自主探究。结果，学生按常规将不满整格的都按半格计算。如图1：正方形的面积是16平方厘米，而在1/4圆中，整格有8个，半格有7个，用8+7÷2算出1/4圆的面积是11.5平方厘米，用11.5×4算出圆的面积是46平方厘米。46÷16的商还不足3，得不到圆的面积是正方形面积的3倍多一点，更无法联想到π倍。这时，教师规定其中两个接近整格的都改成按整格计算，但从学生纳闷的眼神中，似乎能读出学生内心的迷茫：数方格算面积的方法怎么变了?为什么要变?
虽然规定其中的两格按整格计算后，理论上可以得出圆的面积大约是正方形面积的3倍多一点。但1/4圆所占的方格比较多，加之学生数方格算不满整格图形的面积原本就容易出错，现在又改变了原有数、算的经验，所以，学生数、算准确性更低，速度也相当慢，教师只得替代学生数、算出正确的结果，等学生将表格填写出来后，半节课的时间已经匆匆过去。
今年再教此内容，想到往年在此处费时费力的情况，不少教师担心时间不够，建议将此内容跳过去，即按传统教材的做法，直接让学生将圆转化成长方形，探究出圆的面积公式。然后重点让学生记住公式，并利用公式解决有关实际问题。笔者没有删繁就简，而是改变了一下探究的细节，结果真正体验到了新教材编排上的魅力。

彭庙

[课堂片段]
出示教材中第一幅图(正方形中无格线)，引导学生观察。
师：看图，你能发现什么?
生：圆的半径是4厘米，正方形的边长是4厘米。正方形的面积是16平方厘米。
生：圆的半径就是正方形的边长。
师：圆的半径的平方就是什么?
生：圆的半径的平方就是正方形的面积。
师：圆的面积与圆的半径的平方即这个正方形的面积有什么关系呢?
教师在正方形里添上边长是1厘米的方格线，接着引导学生观察：这里每个方格的面积是多少平方厘米?这个正方形里有多少个方格?面积是多少平方厘米?
生：每个小方格的面积是1平方厘米，正方形里有16个方格，正方形的面积是16平方厘米。
师：注意观察这个正方形，被分成了两个部分，一部分是空白的，一部分是有阴影的，阴影部分的面积与圆面积有什么关系?
生：阴影部分的面积是圆面积的1/4。
师：我们学过用数方格的方法估算不规则图形的面积，现在如果要估算出这个圆的1/4的面积，即正方形中阴影部分的面积，你认为是直接估算阴影部分的方格方便，还是估算空白部分的方格方便?为什么?
生：估算空白部分的方便，因为空白部分的少，容易看出来。
师：估算出空白部分的面积后，怎么得到1/4圆的面积?
生：用正方形的面积减去空白部分的面积就是上圆的面积。
师：好样的，这样就将复杂的问题简单化了，这在数学上叫什么思想方法?
生：转化!
师：对，是转化!这节课我们就用转化的思想方法探究圆的面积。
师：数一数，估一估，你认为正方形中空白部分的面积大约是多少平方厘米?在这里将不满整格的都按半格计算合适吗?估计后与同座位的同学交流一下。
生：将不满整格的都按半格计算不合适，因为好几个占的太少了。我们估计空白部分的面积比3平方厘米多，但不足4平方厘米。
生：我们估计是3.5平方厘米。
师：他们把空白部分的面积看成是3.5平方厘米，大家认可吗?如果空白部分的面积是3.5平方厘米，那么1/4圆的面积是多少平方厘米?
生：正方形的面积是16平方厘米，16-3.5=12.5，1/4圆的面积大约是12．5平方厘米。
师：好的，我们知道了—1—圆的面积大约是12．5平方厘米，那么这个圆的面积大约是多少平方厘米?
生：12.5×4=50，圆的面积大约是50平方厘米。
师：现在我们再来估算一下，这个圆的面积大约是这个正方形面积的几倍?
生：50÷16，圆的面积大约是这个正方形面积的3倍多一点。接着让学生按上述方法，算出教材中其他两个圆的面积：

学生很容易估出空白部分的面积分别是2平方厘米和5.5平方厘米，又分别算出1/4圆的面积是7平方厘米和19．5平方厘米．很快填出下表：

正方形的 面积/㎝2	圆的 半径/㎝	圆的 面积/㎝2	圆的面积大约是正方形 面积的几倍（精确到十分位）
9	3	28	3.1
25	5	78	3.1

师：填了这个表，你发现了什么?
生：发现圆的面积大约都是正方形面积的3.1倍。
师：对，通过数方格，我们发现这三个圆的面积都是以半径为边长的正方形面积的3倍多一点。你能猜想到什么?
生：所有圆的面积都是以半径为边长的正方形面积的3倍多一点。
生：圆的周长是直径的3倍多一点，是丌倍。圆的面积正好也是以半径为边长的正方形面积的3倍多一点，我猜想也是丌倍。

猜想是否正确呢，后面引导学生用“转化”的方法变“圆”为“方”探究圆的面积，在学生得出圆面积的计算公式S=πr2后，引导学生回头对照图思考，验证先前的猜想是否正确。
师：r2在图中就是谁的面积?

生：r2就是正方形的面积。
师：对，r2是半径的平方，就是以半径为边长的正方形面积。S=πr2说明什么?
生：说明圆的面积就是以半径为边长的正方形面积的丌倍。
师：说明我们开始的发现、猜想正确吗?
师：我们知道一个圆中的哪些条件，就一定能算出这个圆的面积?
生：圆的半径、圆的直径、圆的周长或者以半径为边长的正方形的面积。
师：其中，你最想知道什么条件?
生：以半径为边长的正方形面积。
[解决问题]
(1)一块正方形钢板的面积是80平方分米，在这个正方形里截下一块最大的圆形钢板(如下图)，求这个圆形钢板的面积。

(2)小红家有一张方桌，边长是90厘米。如果把它的四边撑开，就成了一张圆桌面(如下图)，请算出撑开后圆桌面的面积。

往年，学生虽然能熟记圆的面积公式，知道了圆的面积是半径平方的π倍，但在遇到上面这些相关实际问题时，绝大多数学生感到解答困难，无从下笔。在教师不做任何提示的情况下，第(1)题的正确率不足20％，第(2)题的正确率几乎是0，经过教师细致讲解后，差不多一半的同学仍旧恍恍惚惚、似懂非懂。
今年，学生在解答第(1)题时，绝大多数同学能将大正方形平均分成4个小正方形(如下图)，知道其中的一个小正方形的面积就是半径的平方，能很快用80÷4X3．14算出圆形钢板的面积，正确率在90％以上。

第(2)题，也有不少同学能将圆内正方形沿对角线分成4个相同的小三角形，知道
其中的两个小三角形的面积拼起来就是圆内以半径为边长的正方形的面积，即半径
的平方。

所以，有的同学用90×90÷4算出一个三角形的面积，再乘2、乘3．14算出了圆的面积，也有的同学用90×90÷2×3.14轻而易举地算出了圆的面积，正确率在40％以上。经过讨论交流后，95％以上的同学茅塞顿开、豁然开朗。
[教学反思]
往年是让学生直接数、算正方形中阴影部分(即1/4圆)的方格，虽然最终也得出圆的面积大约是正方形面积的3倍多一点，但并不是学生真正自主探究得来的，而是教师匆匆忙忙生拉硬拽的结果，学生体验不深。今年是有意识让学生转化了思路，改成数、算正方形中空白部分的方格，避免了“数方格求面积”方法估算出的半圆面积偏小的缺陷。学生能很快估算出比较合理的答案，然后较准确地得出圆的面积，最终顺利得出圆
的面积大约是正方形面积的3倍多一点的结论，由此再猜想出圆的面积是正方形面积的π倍。通过这次教学，笔者进一步想到，直接数1/4圆所占的方格得到的圆面积偏小，而用数、算空白部分方格再转化的方法得到的圆面积实际是偏大的，那么更准确的面积在这两者之间。若能引导学生认识到这一点，这堂课的思维含量会更高。
教学细节决定教学效果，同样的教材，同样的探究内容，只因改变一点点探究的细节，探究效果迥异。从后面解决实际问题的效果看，更能说明探究方法若差之毫厘，长远的探究效果则差之千里。所以，有效的探究过程需要建立在学生自己的理解和体验的基础之上，教师生拉硬拽的探究过程、简单告诉探究结果、让学生死记硬背探究结论，最终都是低效或无效的。

dyrcj

豁然开朗。