数学教学公理刍议

窗下听雨

数学思维训练左、右脑协调研究中心 陈振宣 陈永箴



不少学生和家长抱怨说：数学学习化时间最多，精力最大，但收效最微。浙江某地区调查发现对数学学习有厌学情绪的学生占70%，社会的现实不能不引起数学教育工作者的深思。

美国一本《数学教学法》(Max.A.Sobel &Evan.M.Maletsky著)有一段发人深思的话：“在教学上应该有这样一个“公设”（几何作图公理的称为“公设”）：学生对他们真正有兴趣的东西会做得最认真也会做得最好。所以，制造和保持兴趣成了中学数学教师最重要的工作之一。它也是教师所遭遇到最困难的问题之一。

无独有偶中国最古老教学论《学记》中也有一段名言：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”尽管说法不同，视角有异，但实质上说的是教学上同一件事。而且都清楚地告诉人们：减轻学习负担，提高教学质量的关键是激发学习兴趣，改进学习方法，只有让学生对所学内容真正感兴趣了，专注认真了，教学质量上升乃是水到渠成的必然结果。把这一条称为“教学公理”是当之无愧的。

那么又应该如何制造和保持学习的兴趣呢？说说容易，做做难，知易行难。这应该是教育科研中的热点，笔者对此作过长期的思考，做过一些非正规的试验。

1．人是自然的一部分，对自然规律存在天然的好奇心，爱因斯坦说：“这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学的公式组成。”数学中存在奇异美，利用数学中的奇异巧合，自然激发学生固有的好奇心，兴趣油然而生。

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利用两个全等含有30°，60°的直角三角板，在平面上如图1放置，其中。连接CE，其中点为M，判断⊿MBD是什么三角形？
取A点为原点，BAD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图1.则A（0，0），B（a,0），C（a,b）,D(-b,0),E(-b,a).

            图1






说明：这一结论的证明过程既简明又奇妙！
不难发现四边形BCED是梯形，对它的面积计算有两种途径：
   
   
   
即

    这就证明了勾股定理。这不是巧合，而是严格的逻辑证明。

2．有意识搭建创新思维实践平台，让学生享受创新成功的喜悦，是制造与保持学习兴趣的重要途径之一。
创新思维实践一
取4块全等的矩形，长为a,宽为b，将他们围成一个边长为a+b的中空正方形，如图2，中空的小正方形边长为a-b。


从图2易见： 这样获得乘法公式：
。①

通过变量代换：
  解得
代入①的两边，得，即。②
此即平方差公式。
反过来，以代入②，又获得公式①。可见公式①与公式②是等价的。
再观察公式①，当a+b为定值M时，有
。
。
当且仅当a=b时，。从而有。
由此发现如下重要结论：
当a与b的实数之和为定值M时，则ab的最大值为；
当a,b为正实数时，恒有：。
其中称为a,b的几何平均数， 称为a,b的算术平均数，所以两正实数的几何平均数不大于它们的算术平均数，这就是著名的平均不等式。当且仅当a=b时，等号成立。
类似地，当a与b之积为定值n时，那么有：。所以，当a与b（正实数）之积为定值n时，a+b的最小值为。
通过以上分析，凡是勇于动手又动脑的人，都能发现公式①与②和平均不等式以及相应的最大值、最小值，可见发现与证明数学公式和定理并不神秘。
创新思维实践二
你喜欢玩橡皮泥吗？请用橡皮泥做一个如图3的立方体，棱长为a+b.

以a、b为边长，将正方体切成如图4，图5，图6，图7的四块。然后分析计算它们的体积。用长方体的体积等于底面积乘高得：
左前块如图4
a2(a+b)
左后块如图5 ab(a+b)
右前块如图6
ab(a+b)
右后块如图7
b2(a+b)

(图4－图7）
四块体积之和显然等于立方体的体积(a+b)3，所以
）

即
移项得
化简得
即



请看从玩橡皮泥，动手又动脑，大家都能发现乘法公式、数学定理，公式并不神秘，关键是动手又动脑，就能有所发现，有所创新。你会发现原来数学学习并不枯燥，能使你享受到成功的喜悦，这种精神享受是任何物质享受所无法替代的。
从小接受上述良好的数学训练，会把你送入数学的殿堂，使你成为“具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人。”这是数学发现的潜力，是十分可贵的品质。

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3．改造历史名题，揭示数学思维方法的奥秘，展示数学的魅力，是制造和保持对数学浓厚兴趣的另一有效途径。荒岛寻宝
有两位武林高手，无意中来到一座荒岛，发现一个山洞，他们两人仗着武艺高强大胆进入洞中，开始是羊肠小径，十分黑暗，峰回路转，豁然开朗，展现出一广阔的大厅，足有几百平方米，他们四处查看，发现壁上有小储藏室，其中有一小铁盒，且被锁上，打不开，于是就把这个小铁盒带出洞外，用石头把锁打断，盒中有一块布制的图，上面说明荒岛南端有一广场，标明有两颗大树A和B，另有一土台（C）上装有绞架。从绞架直行至一颗大树A，记住所走步数，然后左转弯（即按顺时针方向旋转90°）前进同样步数到一点D；再从绞架C走到另一棵树B，记住所走步数，右转弯（即按逆时针方向旋转90°）向前走同样步数到达点E，最后说在DE的中点M处埋有巨大宝藏。两人大喜，迅速到荒岛南端，果然有一广场，确有两颗大树，但绞架因年久失修，已经风化得无影无踪。两人空有一身武艺，却无法找到宝藏地点的准确位置，空欢喜一场，于是只好在广场乱挖一气，空手而回。
亲爱的读者，在失去绞架的确切位置的条件下，是否还能找出宝藏的埋藏地？两位武林高手，空有一身绝技，但无科学知识，只好遗憾而归。而我们已经了解直角坐标系的知识，掌握了点的简单旋转的规律，完全有能力找到宝藏的确切位置，你愿意试一试吗？

图8
分析：图8是示意图，取AB的中点O为原点，A、B分别在file:///C:/DOCUME~1/fubo.PEP/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif轴的正、负半轴上，其坐标分别为A(a,0)B(-a,0)，绞架C所在地已失去，不妨用未知数（x,y）表示它的坐标。按点的旋转变换规律你就可以找到D、E的坐标，然后求DE的中点M的坐标，你会发现点M的坐标与x,y无关，很容易找到点M的所在地。
解：取大树A、B的连线为file:///C:/DOCUME~1/fubo.PEP/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif轴，AB的中点O为原点，A、B的坐标分别为A(a,0)B(-a,0)绞架C的坐标为（x,y），其中x,y都是未知数（设而不求）
点C绕点A按顺时针方向旋转旋转90°到达D，分别过C、D作x轴垂线，垂足为H、F，在
AD=AC,
所以FD=HA=a-x。所以点D的坐标为（a+y,a-y）。
过E作x 轴的垂线，垂足为G。在

GB=HC=y,所以点E的坐标为（-a-y,a+x）。
所以DE的中点M的坐标为。
所以点M在file:///C:/DOCUME~1/fubo.PEP/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif轴上到原点的距离为AB的一半，这样与点C（绞架）的位置无关。我们在失去绞架的条件下，只要量一量AB间的距离，AB的中点0沿着与AB垂直方向，向上走距离a即到达宝藏的埋藏地M。
这一事例说明知识就是力量。知识经济时代的到来是必然的趋势。学习科学的价值是不容忽视的。
这是笔者原创的实例。在课内或课外指导学生阅读交流，可以激发学生的学习热情。在教学中注意开发这类资源，是贯彻“数学教学公理”的措施之一，也可能有助于增效减负的实现。
在当前急功近利与应试教育盛行的社会氛围中，我们能做些什么有益于数学教育改革的工作呢？中央领导一再要求在工作中贯彻科学发展观，数学教育中是否应该提倡按数学教育科学规律进行日常教学呢！以上所述只是个人观点，提出来，请大家讨论，希望能引出广大教师的真知灼见。
参考文献：
1．Max.A.Sobel &Evan.M.Maletsky著《数学教学法》九章出版社
2．陈振宣、章志强著《数学启智》上海辞书出版社